高中数学平面向量习题及答案

1、第二章平面向量一、选择题1在 ABC 中，AB AC，D ，E 分别是 AB，AC 的中点，则 () A AB与AC共线BDE 与CB共线C AD与AE相等D AD 与BD相等(第1题)2下列命题正确的是() A向量 AB 与 BA 是两平行向量B若 a， b 都是单位向量，则a bC若 AB DC ，则 A， B，C， D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点 A( 3，1) ，B( 1，3) ，若点 C 满足 OCOA OB ，其中， R ，且 1，则点 C 的轨迹方程为 () A 3x 2y110B( x 1) 2

2、 ( y 1) 2 5C 2x y 0D x 2y 5 04已知 a、b 是非零向量且满足( a 2b) a，( b 2a) b，则 a 与 b 的夹角是 () AB C 2D 563365已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上 ( 不包括端点 A，C) ，则 AP () A ( AB AD ) ， ( 0， 1)B( AB BC ) ， ( 0，2 )2C ( AB AD ) ， ( 0， 1)D ( AB BC ) ， ( 0，2 )26 ABC 中， D ， E， F 分别是 AB， BC， AC 的中点，则 DF () AEFEDBEFDECEFADDEFAF7若平面

3、向量 a 与 b 的夹角为60， | b| 4， ( a 2b) ( a 3b) 72，则向量 a 的模为 () 第1页共9页A 2B4C6D128点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点 O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点9在四边形 ABCD 中， AB a 2b， BC 4a b， CD 5a3b，其中 a， b 不共线，则四边形 ABCD 为 () A平行四边形B 矩形C梯形D 菱形10如图，梯形 ABCD 中， | AD | | BC |， EF AB CD 则相等向量是 (

4、) AAD与BCBOA与OBC AC 与BDDEO与OF二、填空题(第 10题)11已知向量 OA ( k ，12) ， OB ( 4，5) ， OC ( k ，10) ，且 A，B，C 三点共线，则 k 12已知向量a ( x 3， x2 3x 4) 与 MN 相等，其中M( 1， 3) ， N( 1， 3) ，则x13已知平面上三点A，B，C 满足 | AB | 3，| BC | 4，| CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB的值等于14给定两个向量a ( 3， 4) ， b( 2， 1) ，且 ( a mb) ( a b) ，则实数m 等于15已知 A， B， C 三点不共

5、线，O 是 ABC 内的一点，若OA OB OC 0，则 O是ABC的第2页共9页16设平面内有四边形ABCD 和点 O， OA a， OB b， OC c, OD d，若 a c b d，则四边形ABCD 的形状是三、解答题17已知点A( 2， 3) ，B( 5，4) ， C( 7， 10) ，若点 P 满足 AP AB AC ( R ) ，试求 为何值时，点P 在第三象限内？18如图，已知ABC， A( 7， 8) ， B( 3， 5) ，C( 4，3) ， M， N，D 分别是AB， AC，BC 的中点，且MN 与 AD 交于 F，求 DF (第 18题)第3页共9页19如图，在正方形A

6、BCD 中， E， F 分别为 AB， BC 的中点，求证：AF DE ( 利用向量证明 )(第 19题)20已知向量a ( cos ， sin )，向量 b (3 ， 1) ，则 | 2a b| 的最大值第4页共9页参考答案一、选择题1 B解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反向2A(第1题)解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对若 AB DC ，可能 A， B，C，D 四点共线，故 C 不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对3D解析：提示：设 OC ( x， y) ， OA ( 3， 1) ， OB ( 1， 3) ， OA ( 3， ) ，OB

7、 ( ，3 )，又 OAOB(3 ，3 )， ( x， y) ( 3 ， 3) ， x D 3，又 1，由此得到答案为y34 B解析： ( a 2b) a， ( b 2a) b， ( a2b) aa2 2a b 0， ( b 2a) b b22a b 0， a2b2，即 | a| | b| | a| 2 2| a|b| cos 2| a| 2cos解得 cos 1 2 a 与 b 的夹角是 35A解析：由平行四边形法则，AB AD AC ，又 AB BC AC ，由 的范围和向量数乘的长度， ( 0， 1) 6D解析：如图，AF DE，DFDEEFEFAF (第6题)第5页共9页7 C解析：由

8、 ( a 2b) ( a3b) 72，得 a2a b 6b2 72而 | b| 4， ab | a| b| cos 60 2| a| ， | a| 2 2| a| 96 72，解得 | a| 68D解析：由OAOBOBOCOCOA，得 OAOBOC OA,即OA( OC OB)0，故 BC OA0， BCOA，同理可证 AC OB， O 是 ABC 的三条高的交点9 C解析： AD AB BC CD 8a 2b 2 BC ， AD BC 且 | AD | | BC | 四边形 ABCD 为梯形10D解析： AD 与 BC ， AC 与 BD ， OA 与 OB 方向都不相同，不是相等向量二、填

9、空题11 2 3解析： A， B， C 三点共线等价于AB ， BC 共线，AB OB OA ( 4，5) ( k ， 12) ( 4 k ， 7) ，BC OC OB ( k ， 10) ( 4，5) ( k 4， 5) ，又 A， B，C 三点共线， 5( 4 k ) 7( k 4) ，k 2 312 1解析：M( 1，3) ，N( 1， 3) ， MN ( 2，0) ，又 a MN ，x32x1解得2或x4x 3x40x1第6页共9页 x 113 25解析：思路1：AB 3， BC 4， CA 5， ABC 为直角三角形且ABC 90，即 AB BC ， AB BC 0， AB BC B

10、CCACAAB BCCACA AB CA( BC AB)( CA)22 CA 25思路 2：AB 3， BC 4， CA 5， ABC 90， cos CAB AB 3 ， cos BCA BC 4 CA5CA5根据数积定义，结合图(右图)知ABBC0，4BC CA BC CA cos ACE 45 ( ) 16，3CA AB CA AB cos BAD 3 5 ( ) 9 AB BC BC CA CA AB 0169 2514 23 3解析： a mb ( 3 2m，4 m) ， a b ( 1， 5) ( a mb) ( ab) ， ( a mb) ( ab) ( 3 2m) 1 ( 4m

11、) 5 0m 23 315答案：重心D(第 13题)解析：如图，以OA ， OC 为邻边作 AOCF 交 AC 于第7页共9页(第15题)点 E，则 OF OAOC ，又OAOC OB ， OF 2OE OB O 是 ABC 的重心16答案：平行四边形解析：a c b d，a b d c， BA CD 四边形 ABCD 为平行四边形三、解答题17 1解析：设点P 的坐标为 ( x， y) ，则 AP ( x， y) ( 2， 3) ( x 2，y 3) AB AC ( 5， 4) ( 2，3) ( 7， 10) ( 2， 3) ( 3， ) ( 5， 7) ( 3 5， 7) AP AB AC

12、 ， ( x 2， y 3) ( 3 5， 1 7)x235x55317即47yy要使点 P 在第三象限内，只需55047解得 1018 DF ( 7 ，2) 4解析：A( 7，8) ，B( 3，5) ，C( 4，3) ，AB ( 4， 3) ， AC ( 3， 5) 又 D 是 BC 的中点，(第 18题) AD 1( AB AC) 1(43，35)22 1 (7，8)( 7， 4)22又 M，N 分别是 AB， AC 的中点， F是 AD的中点， DF FD 1AD1( 7， 4)(7 ，2)2224第8页共9页19证明：设AB a， AD b，则 AF a 1 b， ED b 1 a22 AF ED ( a 1 b) ( b 1 a) 1 b2 1 a2 3 a b22224又 AB AD ，且 AB AD ，a2b2，a b 0 AFED0， AFED(第 19 题)本题也可以建平面直角坐标系后进行证明20分析：思路 1： 2ab ( 2cos 3 ， 2sin 1) ， | 2a b| 2 ( 2cos 3 ) 2 ( 2sin1) 2 8 4sin 43 cos 8，又 4sin 4 3 cos 8( sin cos