高中数学竞赛专题之数列

1、高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、 竞赛的重点， 现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 a1 , a2, , an , 是等差（等比）数列，那么ai , aij , ai kj ,仍是等差（等比）数列。性质 2：若 an 为等差数列，且kkkki lljl，那么ailla jl（脚标和相同则对应的l 11l11项的和相同）；若 an 为等比数列，且kkkailka jl （脚标和相同则对i lj l ，那么l 1l1l 1l1应的项的积相同） 。3：若 an 为等差数列，记kkk性质S1ai , S2ai k , Smai

2、(m 1) k ,，那么i1i 1i 1 Sm 仍为等差数列， an 为等比数列， 记 P1kai , P2kai k , Pmkai(m 1) k ,ll 1，1l 1那么 Pm 仍为等比数列。性质 4：若 an 为等比数列，公比为q，且 |q| 1，则 lim Sna1。n1q例 1、若 an 、 bn 为等差数列，其前n 项和分别为 Sn ,TnSn2n，若3nTn1则 liman）A.1B.6C.24（D.nbn339例 2、等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）A.130B. 170C. 210D.260例 3、 an 、 bn 为

3、等差数列，其前Sn3n31n 项和分别为 Sn ,Tn ，若31n3Tn（1）求 b28 的值， （ 2）求使 bn 为整数的所有正整数n。a28an例 4、在等差数列 an 中，若 a100 ，则有等式a1 a2an a1a2a19 n , (n 19, nN ) 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 bn 中，若b91，则有等式成立。例 5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。例6、设( 十进制） 位纯小数 0.|只取 0或1，1,2,1 ，na1 a2an aiin anTnM n是 M n 的元素个数，Sn 是所有元素的和，则 limSn。Tnn例7、设 A=

4、1,2, n, Sn 是 A的所有非空真子集元素的和，Bn 表示 A的子集个数，求Sn的值。lim 2nn Bn例8 、 设 数 列 an 的 前n 项 和 为 Sn2an1, ( n1,2,) ， 数 列 bn 满 足b13, bk1akbk , (k 1,2,) ，求数列 bn 的前 n 项和。方法：首先找出 an 的通项式，在找出 bn 的通项式9、设 an 为等差数列， bn 为等比数列，且 b122, b32a2 ) ，例a1 , b2 a2a3 , (a1又 lim (b1b2bn )21 ，试求 an 的通项公式。n例 10、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 Sn3

5、 (a n1), ( nN ) ，数列 bn 的通项2式为 bn4n3，（1）求数列 an 的通项公式，（2）若 d a1 , a2 ,an , b1 , b2 , bn , ，则称 d 为数列 an 与 bn 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 d n ，证明： d n 的通项公式为d n32n 1 , ( n N ) 。例 11、 n 2 (n4) 个正数排成n 行 n 列：a11 , a12 , a13 ,a1na 21 , a 22 , a23a2na n1 , an2 , a n3 ,ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知a2

6、4 1, a4213+ ann 的值。, a43，求 a11 + a22 + a33816作业：1、将正奇数集合1 ，3，5， 由小到大按9 ， 11， 13， 15， 17.，则 1991 位于n 组有 (2n-1) 个奇数进行分组：组中。1、3 ，5，7 、2 、 在 等 差 数 列 an 中 ， 公 差 d0 ， a2 是 a1与 a4 的 等 比 中 项 ， 已 知 数 列a1 , a3 , ak1 , a k2 , a kn ,成等比数列，求数列 kn 的通项公式。3、设正数数列 an 满足 2Snan1, bnan22an 3 ，（ 1）求数列 an 的通项公式，（2）设22222

7、(bnm nam bnmnM am) ，试求 M 的最小值。二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（ 1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；（ 2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力； （ 3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。第一数学归纳法： 设 T(n) 是一个关于自然数n 的命题， 满足以下条件：（ 1）T (1) 是成立的，（2）假设 T( k) 成立能推出 T (k1) 成立，则命题对一切自然数n 都成立。第二数学归纳法： 设 T(n) 是一个关于自然数n 的命题， 满足以下条件：（ 1）T (1) 是成立的，（2）假设 T (1) ，T (2

8、) ， T (k) 成立能推出 T ( k1) 成立，则命题对一切自然数n 都成立。解题思维过程：尝试观察归纳、猜想证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。nn例 1、已知对任意自然数n，有 an0且a3j (a j ) 2 ，求证 ann （ 1989 年高中）j 1j1例 2、用 Sn 表示 1,2,3,2 n 的各数的最大奇数因子之和，求证：Sn1(4 n2)3例 3、设 an 是正数数列且满足Sn1 (an1 ) ，求数列 an 的通项公式。2an方法：尝试观察归纳、猜想证明例 4、已知数列

9、 xn 满足： x11，当 n 1时，有 4( x1 xn 2x2 xn 13x3 xn 2nxn x1） (n 1)( x1 x2 x2 x3xn xn 1 ) ，试求数列 xn 的通项公式。方法：尝试观察归纳、猜想证明例 5 、一个数列 Vn 定义如下： V0 2, V15 ,Vn 1 Vn (Vn21 2) V1 , (n 1) ，证明：21( 1)n 2 n对于自然数 n，有 Vn 2 3。这里 Vn 表示不超过 Vn 的最大整数。（ IMO18-6 ）方法：变化形式1a ，这里 0a 1，求证：对所有的自然例 6、设数列 an 满足： a1 1 a, a n 1a n数 n，有 an

10、1。（ 1977 年加拿大数学奥林匹克）例 7、已知 a1 , a2 ,an 是 n 个正数且满足 a1 a2an 1，求证：（2 a1）（2a 2）（2 a n） 3n例 8、已知a, b 是正实数，且满足111 ，试证：对每一个自然数n，有ab(ab) na nbn2 2 n2n 1三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和类型：（1） anaan 1 b ，化归成 ana(an1) 型；（ 2） an 1cand b n ，化归成 anb nc(an 1b n 1 ) 型；（ 3） anca n 1d b nr ，化归成 anbnuc

11、(an 1bn 1u) 型；（ 4） anpa n 1cnd ，化归成 annupa n 1(n1)u 型；（ 5） anca n 1，化归成11d 型；da n 1canan1c（6） anpa n 1 qa n 2 型例 1、已知数列 xn 满足：x11， xnxn 1 ,且 4xn xn1(xnxn 11) 2 ，试求数列 xn 的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式例 2、设数列 an 满足： a11, an 13an4 ，求 an 的通项公式。例 3、设数列 an 满足： a1a2 1, an 21an , ( n 1,2, ) ，求 a2004 。an 1例 4、设数列 an

12、满足： a11, (n1) an 1a n n ，求 a2005 。2、变换（代换） ：三角代换、代数代换例 1、已知 a02 , an1a n 1，求 an 。方法：观察特点，联想到正切公式1an 1例 2、数列 an 满足： a11, a n 1 1 (1 4an 1 24an ) ，求 an 16方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式例 3、设 a1 , a2 ,an 满足关系式（3 an 1 )(6an ) 18, 且 a0n13 ，则aii 0方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式例 4、给定正整数n 和正数 M ，对于满足条件： a12an2 1M 的所有等差数列a

13、1 , a2 ,an ，试求 San 1an 2a2 n 1 的最大值。方法：根据特点，三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列 xn 满足： xn 2 axn 1bxn 0 .（ 1）其中 a,b 为常数，若有等比数列 xn 满足等式（ 1），则 x 必满足相应的方程：f (x) x2ax b 0（. 2），称此方程（ 2）为（ 1）的特征方程。数列 xn 的通项公式与特征方程的根有如下关系：当 a24b 0 时，方程（ 2）有两个不相同的实数根 q1 , q2 ，则数列 q1n 、 q2n 均是（ 1）的解，并且对任意常数 c1 , c2 有 c1 q1nc2 q2n

14、 也是（ 1）的解（通解）， c1 , c2 由初值确定。当 a24b 0 时，方程（2）有两个相同的实数根 q1 q2 ，则数列 q1n 、 nq1n 均是（ 1）的解，并且对任意常数 c1 , c2 有 c1q1nc2 nq1n 也是（ 1）的解（通解）， c1 , c2 由初值确定。当 a2 4b 0 时，方程（ 2）有两个共轭复根 q1 , q2 ，则数列 q1n 、 q2 n 均是（ 1）的解，并且对任意常数 c1 , c2 有 c1q1n c2 q2n 也是（ 1）的解（通解） ， c1 , c2 由初值确定。例1、求斐波那锲数列 xn 的通项公式：x0x11, xn 2xn 1x

15、n 。方法：利用特征方程求解注：设数列 xn 是 k 阶线性递推数列， 其特征方程为 f( x) 0 ，设其前 n 项的和 Sn ，则 Sn 是 k+1 阶线性递推数列，其特征方程为( x 1) f ( x)0例 2、已知数列 xn 满足： x1 1, x27, xn 2xn 13xn 2 ,( n 3) ，求此数列的前n 项和。例 3、设数列 an 、 bn 满足： a0 1, b0an 17an 6bn30) ，0 且8a n7bn（ nbn 14求证： an 是完全平方数（ n=0,1,2, ）方法：将其转化为只与an 有关的递推式4、利用函数不动点原理求解数列通项公式定理 1：设 f

16、( x)axb, (a 0,1) ，数列 an 由初始值 a0f ( x0 )及 anf (an 1 ) 确定，那么当且仅当 x0是 f(x) 的不动点时，数列 anx0 是公比为a 的等比数列。定理 2：设 f (x)axb (c0, adbc 0) 数列 an 由递推关系 anf ( an 1 ) 确定，cxd设函数 f (x) 有两个不动点 x1 , x2 ，则：（1）当 x1x2 时，则数列 anx1 是等比数列，公比为acx1；anx2acx2（2）当 x1x2 时，则数列 1 是等差数列，公差为2c。anx1ad例 1、设数列 an 满足： ( 2an )a n 1 1, (nN

17、) ，求证： lim an 1。n例 2、设数列 an 满足： 3an 1 an4, (n 1), a1 9，前 n 项和为 Sn ，则满足不等式| Sn n 6 |1的最小整数 n=。125例 3、设正数列a1, a2 , an满足2an 1, (n2) ，且a0 a11，an an 2an 1 an 2求数列 an 的通项公式。方法：变形、转化形成熟悉结构例 4、运动会连续开了 n 天，一共发了 m 枚奖牌，第一天发 1 枚加上剩下的1 ，第二天发 2枚加上剩下的 1 ，以后每天均按此规律发放奖牌，在最后一天，即第7n 天发 n 枚而无剩余，7问运动会开了几天？共发多少枚奖牌？5、利用高阶

18、差分数列求数列通式定义 1：（差分数列）对于数列 an ，称a n an 1 an (n 1,2,3 ) 为 an 的一阶差分， an 为 数 列 an 的 的 一 阶 差 分 数 列 ； 数 列 an 的 一 阶 差 分 ：2 anan 1an (n1,2,3)，称 2 an 为数列 an 的的二阶差分数列；一般地，称k ank 1an 1k 1 an ( n1,2,3 ) 为 an 的 k 阶差分，称 k an 为数列 an 的的 k 阶差分数列。例 1、求数列 0， 1，4， 11， 26，57， 的通项公式。例 2、求数列 -2， 1， 7，16， 28， 的通项公式。定义 2（高阶等

19、差数列）若数列 an 的的 k 阶差分数列 k an 是一个非零常数列，而 k+1阶差分数列 k 1 an 是一个零常数列，则称 an 的的 k 阶等差数列。m定理 1：设 an 是 m 阶等差数列，则 anCni1i a1 ，约定 C nm0, m n 。i 0定理 2：数列 an 是 m 阶等差数列的充要条件是a n 是一个关于 n 的 m 次多项式。定理 3、数列 an 是 m 阶等差数列，它的前n 项之和为 Sn ，则 Sn 是 m+1阶等差数列，m 1且 SnC nii a1i 1nk 4例 3、求的求和公式，并给出证明。k1定理 4 ：给定 a1 ,且 an 1anf ( n),

20、(n1)，其中0, f (n) 为关于 n 的函数， 则此一a nn 1nn 1f ( k)阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为：a1k 1k 1例 4、已知数列 an 满足： a11, an 2an 1n 2, (n2) ，求数列 an 的通项公式。例 5、已知数列 an 满足： a11, an 12ann2 ，求数列 an 的通项公式。四、数列的性质（反证法、周期性、有界性、整数性）1、数列中的反证法问题例 1、设等差数列 an 包含 1 和2 ，证明：数列 an 中任意三项均不构成等比数列。例 2、设f ( n) 是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数，f ( 2)2 ，当m, n互质时，有f (mn)f (m) f (n) ，求证：对任意自然数n，都有f (n)n 。例 3、数列 an 为正数数列，满足条件 （ ak 1k )ak1, k1,2,，求证：对