高中数学公式大全完整版

1、高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系AIBAAUBBABCUBCUAAI CUBCU AUB R2集合 a1, a2 ,L , an 的子集个数共有2n 个；真子集有 2n 1 个；非空子集有 2n 1 个；非空的真子集有 2n 2个 .3.充要条件pq ，则 p 是 q 充分条件 .（ 1）充分条件：若（ 2）必要条件：若qp ，则 p 是 q 必要条件 .（ 3）充要条件：若pq ，且 qp ，则 p 是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.4. 函数的单调性(1) 设 x1x2a,b , x1x2 那么(x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )

2、f ( x1 )f ( x2 )0f (x)在 a,b 上是增函数；0x2x1(xx )f ( x )f ( x)f ( x1 )f ( x2 )0f ( x)在 a, b 上是减函数 .01212x1x2(2) 设函数 yf ( x) 在某个区间内可导，如果f(x)0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 为减函数 .f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ;5. 如果函数则在公共定义域内如果函数yf (u) 和 ug (x) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数 yf g( x) 是增函数 .6奇偶函

3、数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数7. 对于函数 yf (x) ( xR ), f (x a)f (bx) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数abx; 两个函ab2数 yf (xa) 与 yf (bx) 的图象关于直线x对称 .28. 几个函数方程的周期 ( 约定 a0)（ 1） f (x) f (xa) ，则 f (x) 的周期（ 2）， f ( x a)1( f ( x) 0) ，或f ( x)9. 分数指数幂T=a；1f (

4、xa) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a； f (x)m1m1(1)a n（ a0, m, nN ，且n1 ） .(2) a n0, m, n N，且 n1） .n amm （ aa n10根式的性质（ ） ( na)na . （ 2）当 n 为奇数时，n na ；当 n 为偶数时，nan| a |a, a 0.1aa, a011有理指数幂的运算性质(1)arasar s( a0, r , sQ ) .(2)(ar ) sars (a0, r , sQ) .(3)(ab)rar br (a0, b 0, r Q) .12. 指数式与对数式的互化式log a Nbab

5、N (a0, a1, N0) .负数和零没有对数，.1 的对数等于0： log a 1 0 ， .底的对数等于1： log a a 1 ， .积的对数： log a (MN )log a Mlog a N ，商的对数： log aMlog a Mlog aN ，Nn log a b幂的对数： log a M nnlog aM ； loga m bnm13. 对数的换底公式logNlog m Na 0a 1m 0a(, 且, 且,).log m am 1 N 0推论 log am bnn log a b (a 0,且 a1 , m, n0 , 且 m1, n1 ,N0).m15. ans1 ,n

6、 1(数列 an 的前 n 项的和为 sna1a2 Lan ).snsn 1 , n216. 等差数列的通项公式ana1 (n1)ddna1d (nN*)；其前 n 项和公式为 snn(a1an )na1n(n 1)d2(a1122dnd ) n .a12217. 等比数列的通项公式ana1qn1qn (nN*)；q其前 n 项的和公式为 sna1 (1 qn ) , q 1a1 anq , q 11 q或 sn1q.na1, q1na1 , q118. 同角三角函数的基本关系式sin 2cos21 ， tan= sincos19 正弦、余弦的诱导公式nsin( n)(1)2 sin ,(n为

7、偶数 )n 12(1) 2co s ,(n为奇数 )20 和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan.1mtantana sinb cos=a2b2 sin()( 辅助角所在象限由点 ( a,b) 的象限决定 ,tanb ).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：a sin22sin cos cos2cos2sin22cos211 2sin 2（ cos21 cos2， sin 21cos2）22 tan22tan1 tan222. 三角函数的周期公式函数 ysin(x) ，xR 及函数 ycos(x) ，x R(A, , 为

8、常数， 且 A 0， 0) 的周期 T2；函数 y tan( x) ， xk, kZ (A, ,为常数，且 A 0， 0) 的周期 T.23. 正弦定理2abc2R .sin Asin Bsin C24. 余弦定理a2b2c22bc cos A ; b2c2a22ca cos B ; c2a2b22ab cosC .25. 面积定理 S1 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B （2） .22226. 三角形内角和定理在 ABC中，有 A B CCCA B(A B)22C 2 2(A B).2227. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )

9、a;(2) 第一分配律： ( +) a= a+a; (3) 第二分配律： ( a+b)= a+ b.28. 向量的数量积的运算律：(1)ab= b a（交换律） ;(2)（） b=（ b） =a b=a（b）;(3)（+b） c=ac +b c.aaa30向量平行的坐标表示设 a=( x , y ) , b= ( x , y) ，且 b0，则 a b(b 0)xy2x y 0 .1122P12 131. a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) a b=| a| b|cos 32. 数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos的乘积33. 平面向量的坐标运算

10、(1) 设 a= ( x1 , y1 ) , b= ( x2, y2 ) ，则 a+b= (x1 x2 , y1 y2 ) .(2) 设 a= ( x1 , y1 ) , b= ( x2, y2 ) ，则 a-b= (x1 x2 , y1 y2 ) . uuur uuur uuur(3) 设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ),则ABOBOA( x2 x1 , y2 y1 ) .(4)设 a= ( x, y),R ，则a= (x, y) .(5)设 a= ( x1 , y1) , b= ( x2 , y2 ) ，则 a b= (x1x2y1 y2 ) .34.两向量的夹角 公式

11、 cosx1x2y1y2( a= ( x1 , y1) , b= (x2 , y2 ) ).x12y12x22y22uuuruuuruuur35.平面两点间的距离公式dA ,B = | AB |ABAB(x2 x1 )2( y2y1 )2 (A ( x1 , y1) ，B ( x2 , y2 ) ).36. 向量的平行与垂直设 a=( x1 , y1 ) , b= ( x2 , y2 ) ，且 b 0，则A|bb= ax1 y2x2 y10 .ab(a0)a b=0x 1 x2y1 y2 0 .37. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x 1,y 1)

12、、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x3 ,y 3 ) , 则 ABC 的 重 心 的 坐 标 是G ( x1x2x3 , y1y2y3 ) .33设 O 为ABC 所在平面上一点，角A, B,C 所对边长分别为a, b, c ，则（1）O为ABC 的外心uuur 2uuur 2uuur 2. （2）O为ABC 的重心OAOBuuurOC（3）O为ABC 的垂心uuuruuuruuuruuur uuurOA OBOB OCOC OA.uuur uuur uuur r OA OB OC 0.38. 常用不等式：（ 1） a, bRa2b22ab ( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （ 2）

13、a, bRabab ( 当且仅当 a b 时取“ =”号) 2（ 3） aba bab .39 已知 x, y 都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p ，则当 xy 时和 xy 有最小值 2p ；（ 2）若和 xy 是定值 s ，则当 xy 时积 xy 有最大值 1 s2.440. 含有绝对值的不等式2a xa .当 a 0 时，有 x ax 2 ax ax2a2x a 或 xa .41.斜率公式 ky2y1 （ P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) ）.x2x142.直线的五种方程（ 1）点斜式yy1k( xx1 ) ( 直线 l 过点 P1 ( x1, y1 ) ，

14、且斜率为 k )（ 2）斜截式ykxb (b为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（ 3）两点式yy1xx1 ( y1 y2 )( P1 ( x1 , y1) 、 P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 ).y2y1x2x1(4) 截距式xy1( a、b 分别为直线的横、纵截距，a、b 0 )a b（ 5）一般式 Ax By C 0 (其中 A 、 B 不同时为 0).43.两条直线的平行和垂直(1)若 l1 : yk1 xb1， l2 : yk2 xb2 l1 | l2k1 k2 , b1b2 ; l1l2k1k21 .(2)若 l1 : A1xB1 yC1 0 , l2 : A2 x B

15、 2 y C20,且 A、A、B 、B都不为零 ,1212 l1 | l2A1B1C1 ； l1l2A1 A2B1B2 0 ；A2B2C2( l1 : A1 x B1 y C10 , l 2 : A2 x B 2 y C20 , A1A2B1B20 ).直线 l1 l 2 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .245.点到直线的距离d| Ax0 By0C |C0 ).A2B2(点 P(x0 , y0 ) ,直线 l ： Ax By46. 圆的四种方程a) 2b) 2（ 1）圆的标准方程( x( yr（ 2）圆的一般方程x2y2DxEyF47. 直线与圆的位置关系2.0 ( D2E24F 0).

16、直线 AxBy C0 与圆 ( xa) 2( y b)2r 2 的位置关系有三种 :d r相离0; dr相切0 ;d r相交AaBb C0 . 其中 d.A2B 248. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为 r 1， r 2， O1O2ddr1r2外离4条公切线 ; d r1 r2外切3条公切线 ;r1r2dr1r 2相交2条公切线 ; dr1r2内切1条公切线 ;0dr1r 2内含无公切线 .49. 圆的切线方程(1) 已知圆 x2y2DxEyF 0 (2) 已知圆 x2y2r 2 过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 xy0 yr 2;5

17、0. 椭圆 x2y2xa cos1(ab0) 的参数方程是.yb sina2b251. 椭圆 x2y21(ab0) 焦半径公式PF1e( xa 2)， PF2e( a 2x) .a2b2cc52椭圆的的内外部（ 1）点 P(x0, y0 )在椭圆x2y21(ab0) 的内部x02y021.a2b2a2b2（ 2）点 P(x0, y0 ) 在椭圆x2y21(ab0) 的外部x02y021.a2b2a2b253. 双曲线x2y2a2a222 1(a 0,b 0) 的焦半径公式 PF1 | e( x) | ， PF2 | e(x) | .abcc54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线

18、方程为x2y 21渐近线方程：x2y20yb x .a2b2a2b2a(2) 若渐近线方程为yb xxy0双曲线可设为x2y2.aba 2b 2a(3) 若双曲线与 x 2y 21有公共渐近线， 可设为 x2y 2（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上）.a 2b 2a 2b 255. 抛物线 y22 px 的焦半径公式抛物线 y22 px( p0) 焦半径 CFx0p .pp2过焦点弦长 CDx1x2x1x2p .2256. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1x2 )2( y1y2 )2 或AB(1k2 )(x2x )2| xx |1tan2| yy2|1co t2（弦端点 A

19、(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，由方1121y kxb消去 y得到 ax 2bx c0 ，0 ,为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） .程0F( x, y)57(1) 加法交换律： ab=b a(2)加法结合律： ( a b) c=a ( bc) (3) 数乘分配律： ( a b)= a b59 共线向量定理a、b(b 0 )， ab存在实数使 a= b 对空间任意两个向量uuurP、A、B 三点共线AP | ABuuuruuuruuuruuurAPt ABOP(1 t )OAtOB .60. 向量的直角坐标运算设 a (a1, a2 , a3 ) ， b (b1 ,

20、b2 , b3 ) 则(1)ab ( a1b1 ,a2b2 , a3 b3 ) ； (2) a b (a1 b1 ,a2(4)ab a1b1a2b2a3b3 ；uuuruuuruuur61.设 A (x1, y1 , z1) ，B (x2 , y2 , z2 ) ，则 ABOBOA = (x262空间的线线平行或垂直rr rrrr设 a ( x1 , y1, z1 ) ， b( x2, y2 , z2 ) ，则 a ba b 063. 夹角公式b2 ,a3b3 ) ； (3) a (a1 ,a2 ,a3 ) ( R)；x1 , y2y1 , z2z1 ) .x1 x2y1 y2z1z20 .设

21、 a (a1, a2 , a3 ) ， b (b1 ,b2 , b3 ) ，则 cos a， b =a1b1a2b2a3b3.a12a22a32 b12b22b32rrr rbr| x1 x2 y1 y2z1z2 |64异面直线所成角cos | cos a,b |= |ra| a | |b |x12y12z12x22y2 2z2 2（其中 （ 0o90o ）为异面直线r ra,b 的方向向量）a,b 所成角， a, b 分别表示异面直线65.直线 AB 与平面所成角uuurururarc sinAB m的法向量 ).uuurur( m 为平面| AB | m |ur rur rurr66.二面

22、角l的平面角m n或arc cosm n，的法向量） .arc cos ur rur r（ m ， n 为平面| m |n | m |n |134. 空间两点间的距离公式uuuruuuruuur( x2x1) 2( y2y1 )2(z2z1) 2 .若 A(x1, y1 , z1) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则 dA ,B =| AB |AB AB67. 球的半径是R，则其体积 V4 R3, 其表面积 S 4R2 3(3)球与正四面体的组合体 :棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为6 a , 外接球的半径为6 a .12468V柱体1h 是柱体的高） . V锥体1h 是锥体的高

23、） .Sh （ S 是柱体的底面积、Sh （ S 是锥体的底面积、3369. 分类计数原理（ 加法原理） N m1 m2 L mn .70. 排列数公式m1)(nm1) =n！.( n ， m N* ，且mn) 注:规定0! 1.An =n(n(n m)！71. 组合数公式Cnm = Anm= n(n 1)(nm1) =n！( n N* ， mN ，且 mn ).Amm12mm！(nm)！72. 组合数的两个性质 (1)Cnm = C nnm;(2)C nm + C nm 1=C nm1 . 注 :规定 C n01.nm1Cnm 1nn Cnm 11n155. 组合恒等式 （1）Cnm;（ 2

24、）CnmCnm1 ;（ 3）Cnm;（4）C nr = 2n ;mn mmr073. 排列数与组合数的关系 Anm m！Cnm .74单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取 m 个元素的排列 .（ 1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有Anm11 种；某（特）元不在某位有AnmAnm11 （补集思想）An11 Anm11 （着眼位置）Anm1Am11 Anm11 （着眼元素）种 .（ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： k(kmn) 个元在固定位的排列有Akk Anm kk 种 .浮动紧贴： n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有Annkk11 Akk 种 .注：此类

25、问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、 h 个（ kh 1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 Ahh Ahk1 种 .（ 3）两组元素各相同的插空m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当 nm 1时，无解；当nm1时，有 Amn1Cmn 1 种排法 .Ann（ 4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为Cmnn .75分配问题归属问 题 ) 将相异 的 m 、 n 个物 件等 分给 m 个人 ，各得 n 件 ，其 分配方法（ 1）(平均分组有数共有nnnCnn(mn)!N C mnCmn nC mn 2

26、n2 nC n( n! )m .（ 2） (平均分组无归属问题)将相异的 m n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有CmnnCmnn nCmnn2n . C2nnCnn(mn)!Nm!m!(n! )m .（ 3）(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +L +nm) 个物体分给 m 个人，物件必须被分完， 分别得到 n1 ，n2 ， ，nm 件，且 n1 ，n2 ， ，nm 这 m 个数彼此不相等， 则其分配方法数共有NC pn 1C pn 2n1 .Cnnmmm!p!m!.n1 !n2!.nm !76. 二项式定理 (a b) nC n0 anC n1 an

27、 1 bC n2 a n2b 2C nr anr brCnnb n;二项展开式的通项公式Tr 1C nr an r b r( r0，1，2， n) .77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率 Pn (k) Cnk Pk (1P) n k .78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（1） Pi0(i1,2,L); （2） P1P2L1 .79. 数学期望 Ex1 P1x2P2Lxn Pn L80. 数学期望的性质（1） E(ab)aE () b . （ 2）若 B(n, p) , 则 Enp .81. 方差 Dx1E2p1x2E2p2LxnE2Dpn L 标准差=.82. 方差的性质 (1)D aba 2 D；(2 ）若 B(n, p) ，则 Dnp (1p) .83.f (x) 在 (a, b) 的导数 f (x)ydydflimylimf ( xx)f ( x) .dxdxx0xx0x84.函数 yf (x) 在点 x0 处的导数的几何意义函数 yf ( x) 在点 x0处的导数是曲线yf (x) 在 P( x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率f( x0 ) ，相应的切线方程是y y0f ( x0 )( x x0 ) .85. 几种常见函数的导数(1)C0 （C 为常数） .(2)(x