初三数学二次函数知识点汇总(齐全)

1、二次函数知识点汇总1. 定义 ：一般地，如果yax 2bxc(a,b, c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 y ax 2 的性质(1) 抛物线 yax （ a0）y轴.(2)y ax22的顶点是坐标原点，对称轴是函数的图像与 a 的符号关系 .当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax 2bx c 的图像是对称轴平行于( 包括重合 ) y 轴的抛物线 .4.二次函数y ax 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ， k4 acb 2 .2 a4 a5.二次函数由特殊到一般，可分

2、为以下几种形式： y ax 2 ； yax 2k ； y a x h 2 ； y a xh 2k ； y ax 2bx c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .平行于y 轴( 或重合 ) 的直线记作xh . 特别地，y 轴记作直线x0.7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法b22b4acb2(1) 公式法：y ax2bx c4ac

3、 ba x4a，顶点是 （2a，），对称2a4a轴是直线 xb .2a(2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y a x h 2k 的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是 xh .(3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9. 抛物线 y ax 2 bx c 中， a,b,c 的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与y ax2 中的 a 完全一样 .(2)b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y

4、ax2 bx c 的对称轴是直线 xb , 故：2a b0 时，对称轴为 y 轴； b0 ( 即 a 、b 同号 ) 时, 对称轴在 y 轴左侧；a b0 ( 即 a 、 b 异号 ) 时, 对称轴在 y 轴右侧 .a(3)c 的大小决定抛物线 y ax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， y c ，抛物线 yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点(0 ，c ) ： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特

5、征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2x0( y 轴 )(0,0)yax 2k当 a0 时0( y 轴 )(0,k )xya xh 2开口向上( h ,0)xhy a x h 2当 a0 时( h , k )kx h开口向下b(b4acb2yax2bxcx2a2a，)4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式： yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 .(2) 顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、 x2 ，通常选用交点式：ya x x1 x x

6、2 .12. 直线与抛物线的交点(1) y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 ( 0 , c )(2)与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax2bxc 有且只有一个交点(h ,ah 2bhc ).(3) 抛物线与 x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ，是对应一元二次方程ax 2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点 ( 顶点在 x 轴上 )0 抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .(4) 平行于 x 轴的直线与抛物线的

7、交点同 (3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2bxck 的两个实数根.(5) 一次函数ykxn k0 的图像l 与二次函数yax 2bxc a0 的图像G的交点，由方程组ykxn的解的数目来确定：yax 2bxc方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .(6) 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ，B x2，0，由于 x1 、 x2 是方程 ax 2bx

8、c0 的两个根，故x1 x2b,x1 x2caaAB x1 x2x1224x1 x2b 24cb24acx2x1 x2aaaa13 二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程yax2bxc 就是二次函数yax 2bxc 当函数y 的值为 0 时的情况(2)二次函数yax 2bxc 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax 2bxc 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y0 时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2bxc0 的根(3) 当二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程 y ax 2bxc 有两个不相等的实数根；当二次函数 yax 2bx c 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2bx c0 有两个相等的实数根；当二次函数y ax 2bx c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程 ax 2bx c0 没有实数根14. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题， 这类问题实际上就是求函数的最大( 小 ) 值；(2) 二次函数的应用包括以下方面： 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函