薛瑞锋数理作业

1、华北理工大学研究生“数理统计”课程论文 姓 名： 薛瑞锋 学 号： 学 院： 冶金与能源学院 专 业： 材料科学与工程 数理统计在细化铸铝合金晶粒研究中的应用摘 要数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。它现在已经广泛的应用于金融、材料、冶金、通讯其中等行业。回归分析是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变

2、量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。一元线性回归又是所有回归分析中最基本的一种。一元线性回归分析的方法在许多学科中都有着广泛的应用。在材料学实验中，经常会遇到处理各种数据，数据的可靠性直接影响实验是否成功，也会影响现实工程的应用。因此，数据的处理方法显得尤为重要。本文主要讨论其在铸铝合金晶粒研究中的应用。 关键词：数理统计，一元线性回归，晶粒平均直径收缩率，

3、线性相关一.引言数理统计是以概率论为基础，根据实验或观察到的数据，研究如何利用有效的方法对这些已知的数据进行整理，分析和推断，从而对研究对象的性质和统计规律做出合理和科学的估计和判断。数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。英国是数理统计的发源地和研究中心，但从第二次世界大战开始，美国也发展得很快。近几十年来，数理统计的广泛应用是非常引人注目的。在社会科学中，选举人对政府意见调查、民意测验、经济价值的评估、产品销路的

4、预测、犯罪案件的侦破等，都有数理统计的功劳。在自然科学、军事科学、工农业生产、医疗卫生等领域，哪一个门类都离不开数理统计。数理统计学内容庞杂，分支学科很多，难于做出一个周密而无懈可击的分类。大体上可以划分为如下几类：第一类分支学科是抽样调查和试验设计。它们主要讨论在观测和实验数据的收集中有关的理论和方法问题，但并非与统计推断无关。第二类分支学科为数甚多，其任务都是讨论统计推断的原理和方法。各分支的形成是基于：（1）特定的统计推断形式，如参数估计和假设检验。（2）特定的统计观点，如贝叶斯统计与统计决策理论。（3）特定的理论模型或样本结构，如非参数统计、多元统计分析、回归分析、相关分析、序贯分析，

5、时间序列分析和随机过程统计。第三类是一些针对特殊的应用问题而发展起来的分支学科，如产品抽样检验、可靠性统计、统计质量管理等。二.发展及现状数理统计学起源于收集数据的活动。所收集的数据范围广阔，小至个人日常琐事, 大至国家宏观调控。例如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等数据的记载。统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来的，可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。这时期也出现了一些现在仍很常用的统计方法，如直方图法。但最重要的，超出描述性统计范围的成就是高斯和勒让德关于最小二乘法的工作

6、，导致统计思想上的重大进展；数据是来自服从一定概率分布的总体，而统计学就是用这些可观察到的数据去推断这个分布的未知属性。这个观点强调了推断的地位，使统计学摆脱了单纯描述的性质。由于数理统计学所考察的数据带有偶然性，使得依据这些数据所得出的结论带有某种不确性，将其量化需要借助概率论的方法。因而，数理统计学与概率论这两个学科有着密切的联系：概率论是数理统计的基础, 数理统计是概率论的一种应用。概率论的发展从本质上促进了数理统计的发展。数理统计的发展阶段大致可分为古典、近代、现代，这三个时期。古典时期(19世纪以前)，这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期。在这个时期，法国数学家棣莫

7、佛(de Moivre,1667-1754)，勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752-1833)，德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)等，都为数理统计的发展做出了突出的贡献。近代时期(19世纪末至1845年)，小样本理论作为数理统计的主要分支开始建立，是数理统计的形成时期。上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展。1889年,英国数学家皮尔逊(Karl Pearson,1857-1936)提出了矩阵估计法，次年又提出了频率曲线的理论，并于1900年在德国大地测量学者赫尔梅特18

8、76年研究正态总体的样本方差时发现的一个十分重要的分布的基础上提出了检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布。1908年，英国的统计学家戈塞特(W.S.Gosset,1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法，这为数理统计的另一分支-多元分析奠定了理论基础。1912年，英国统计学家费歇(R.A.Fisher,1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计、方差分析等数理统计新分支。这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等都有了决定其基本面貌的内容和理论框架。数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科。现代时期(194

9、5年以后)。美籍罗马尼亚数理统计学家瓦尔德(A.Wald,1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化,取得了很多重要成果。他发展了决策理论，提出了一般的判别问题，创立了序贯分析理论，提出了著名的序贯概率比检验法(比如,用于贵重产品的抽样检查与验收)。瓦尔德的两本著作序贯分析和统计决策函数论，被认为是数理发展史上的经典之。统计决策理论从人与大自然进行博弈的观点出发，把形形色色的统计问题纳入一个统一的模式之下，对战后数理统计许多分支的发展产生了很大的影响，特别是参数估计这个分支。随着概率论的高速发展，随机过程的统计逐步形成了内容丰富的重要分支。其中，线性滤波理论占据了显著地位，它是

10、40年代维纳-柯尔莫哥洛夫滤波理论和60年代卡尔曼滤波理论向非线性领域的扩展。苏联学者李普泽尔和希拉也夫在1974年写的专著随机过程的统计系统论述了这方面的理论。随着计算机技术的进步和广泛使用，统计学又产生了一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等，不仅使得过去难于计算的问题能够解决，而且有利地促使了那些能有效利用现代计算机强大计算能力的统计学新理论、新方法的纷纷问世，例如自助法（bootstarp）、投影寻踪法（projection pursuit）、蒙特卡罗法（Monte Carlo Method)等。统计的应用范围愈来愈广，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，

11、成为科学研究不可缺少的工具。三.问题的提出及准备研究金属的都知道，在金属材料中，我们都希望得到良好的使用和加工性能。它是由材料的内部组织决定的，并且晶粒级数越大，也就是晶粒越细小，它的性能越好，因此我们需要通过实验来得到更加细小的晶粒，而我的导师的一个主要课题就是超细晶的研究。因此，我准备将数理统计与细化晶粒相结合来准备实验。 工业上常采用变质处理的的方法来细化晶粒。变质处理是在浇注前往液态金属中加入变质剂，促进形成大量的非均匀晶核来细化晶粒。本实验就是在铸铝合金中加入变质剂TiB2来促进晶粒的细化，以获得力学性能良好的宏观铸件。但是由于TiB2密度比铝合金密度大，掺入量过多会自沉降，凝聚成夹

12、杂物，影响力学性能。因此如何确定TiB2含量，是利用此方法细化晶粒的关键。根据在实验中的数据，利用数理统计学的一元线性回归方法来找到TiB2掺量与晶粒平均直径收缩率之间的相关关系，然后根据铸件力学性能要求来确定TiB2的掺量。 为了得到不同TiB2掺量对晶粒平均直径收缩的影响，实验中TiB2的掺量（体积比）分别取为0，1%，2%，3%，4%，5%，6%，在相同的条件下测晶粒平均直径的收缩率，具体的原始数据见下表：表1 不同TiB2掺量下的晶粒平均直径收缩率TiB2掺量0123456收缩率0.080.100.130.140.200.210.24四.模型的建立通过查阅资料，我们知道TiB2的掺量与

13、晶粒平均直径收缩率可能存在一定的线性关系，因此根据数据作出粗略的TiB2的不同掺量与晶粒平均直径收缩率的散点图，具体散点图如下：由图我们可以明显的看到，TiB2的掺量与晶粒平均直径收缩率之间存在线性关系，因此可以建立线性回归模型。由数理统计知识可知，在线性回归模型中，若越大，Y随X的变化的趋势就明显；反之，若越小，Y随X的变化就越不明显。当时，则表明无论X如何变化Y的值都不受影响，因而Y与X之间不存在线性关系。当时，则认为Y与X之间有线性关系，因此，可以提出如下统计假设： 根据上述分析，建立一元线性回归基本模型如下： 上式称为一元线性回归模型，其中式子称为对的一元线性回归方程或一元线性回归直线

14、，、称为回归系数，常数、均未知。 根据自己的模型，然后在计算机的帮助下可以得到如下方程： 同时，为了使得该方程有利于指导实践工程应用，必须对与之间的线性关系、样本回归直线拟合效果进行检验。例如：用检验法由于 拒绝域为 查表得，显然，落入拒绝域内，故拒绝，即认为晶粒平均直径收缩率对外掺TiB2含量的比例具有显著的线性关系。五.结论由以上分析得知晶粒平均直径收缩率对外掺TiB2含量的比例的样本回归直线方程是：该方程说明，当不外掺TiB2的时候，晶粒平均直径收缩率是0.07405，这是由于凝固条件和材料的本身性质决定的；在一定的范围内，每当TiB2的掺量增加1%，晶粒平均直径收缩率就会增加0.02755。通过对所得与的样本回归直线拟合检验，证明晶粒平均直径收缩率对外掺TiB2含量的比例具有显著的线性关系。因此，实际应用中可以使用该线性回归直线来估算出掺TiB2的晶粒平均直径收缩率，进而指导工程实践。参考文献1 崔志超，王青建。数理统计学源流及应用J。大连教育学院学报，2005,02.2 齐治平。数理统计学的产生与发展J。辽宁师范大学学报（自然科学版），1989,04.3 易艳春 ，吴雄韬。概率统计在经济学中的应用J。廊坊师范学院学报（自然科学版