最短路径问题-优质课课件

1、 问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题： 牧马人从军营牧马人从军营A A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边MN MN （忽略河流宽度，近似为一条直线）饮马，然后越过河（忽略河流宽度，近似为一条直线）饮马，然后越过河 流，回家到流，回家到B B 地到河边什么地方饮马，可使他所走的地到河边什么地方饮马，可使他所走的 路线全程最短？路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，

2、回答了这个问精通数学、物理学的海伦稍加思索，回答了这个问 题题 你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 如图，点如图，点A、B分别是直线分别是直线l异侧的两个点，异侧的两个点， 如何在如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A、点、点B 的距离的和最短？的距离的和最短？ 两点之间，线段最短. l A C B 问题问题2 又有一天，将军专程又来拜访海伦又有一天，将军专程又来拜访海伦： 从图中的军营从图中的军营A A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边MN MN （忽略河流宽度）饮马，然后回家到（忽略河流宽度）饮马，然后回家到B

3、B 地到河边什么地到河边什么 地方饮马可使他所走的路线全程最短？地方饮马可使他所走的路线全程最短？ l A B CC 转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与BC的和最小？的和最小？ 分析：分析： A B l 问题问题1 两个定点两个定点A、B在直线在直线MN的异侧，如何在的异侧，如何在MN 上找一点上找一点C，使，使AC+BC最小最小 问题问题2 两个定点两个定点A、B在直线在直线MN的同侧，如何在直的同侧，如何在直 线线MN上找一点上找一点C，使，使AC +CB 最小？最小？ （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？）这两个问题之间

4、，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把右图）我们能否把右图A、B两点转化到直线两点转化到直线l 的异侧呢？的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标）利用什么知识可以实现转化目标？ l A B C B 如图，作点如图，作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B . 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与CB的和最小？的和最小？ 在连接在连接AB两点的线中，线段两点的线中，线段AB最短最短. 因此，因此， 线段线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求. 在直线在直线 l 上任取另一点上任取另一点C ， 连接连接AC 、BC 、B

5、C 直线直线 l 是点是点B、B的对称轴，的对称轴， 点点C、C在对称轴上，在对称轴上， BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在在ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC， 即即AC+BC最小最小 l A B C B C 证明：如图证明：如图. 在解决最短路径问题时，我们通常利用在解决最短路径问题时，我们通常利用 轴对称变换，把复杂问题转化为容易解轴对称变换，把复杂问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择决的问题，从而作出最短路径的选择 方法总结：方法总结： 问题问题1 归纳归纳 l A B C l A B C B l A B C 抽象为数学问题抽象

6、为数学问题 用旧知解决新知用旧知解决新知 联想旧知联想旧知 解决实解决实 际问题际问题 练习练习1 如图，如图，ABC中，中，AB=AC，D是是BC边的边的 中点中点,E是是AB上一点上一点.若要在若要在AD找一点找一点G,使使 BG+EG最小最小,请画出请画出G的位置的位置? 练习练习2 台球击点问题台球击点问题”：如图，在台球桌面：如图，在台球桌面ABCD上，上， 有白和黑两球分别位于有白和黑两球分别位于M，N两点处，问：怎样撞击两点处，问：怎样撞击 白球白球M，使白球，使白球M通过一次撞击桌边通过一次撞击桌边BC，反弹后再，反弹后再 去击中黑球去击中黑球N？ 例例2：如图，牧马人从：如图

7、，牧马人从A地出发，先到草地边某一地出发，先到草地边某一 处牧马，再到河边饮马，然后回到处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出处，请画出 最短路径最短路径 练习练习2、如图所示，、如图所示，ABC内有一点内有一点P，在，在BA、BC 边上各取一点边上各取一点P1、P2，使，使PP1P2的周长最小的周长最小 A B C P P1 P2 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间， 线段最短）； （2）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 你有何收获：你有何收获： 线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一

8、条线 段，利用“两点之间线段最短”（或者“三角形两边 之和大于第三边”）加以证明，关键是找相关点关于 直线的对称点实现“折”转“直”。 1.如图，直线如图，直线l是一条河，是一条河，P、Q是是两个村庄两个村庄. .欲在欲在l上的某处修建上的某处修建 一个水泵站，向一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中两地供水，现有如下四种铺设方案，图中 实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 尝试应用：尝试应用： 2 2、“台球击点问题台球击点问题”：如图，在台

9、球桌面如图，在台球桌面ABCDABCD上，有白和黑上，有白和黑 两球分别位于两球分别位于M M，N N两点处，问：两点处，问： （1 1）怎样撞击白球）怎样撞击白球M M，使白球，使白球M M通过一次撞击桌边，反弹后再通过一次撞击桌边，反弹后再 去击中黑球去击中黑球N N？ （2 2）怎样撞击白球）怎样撞击白球M M，使白球，使白球M M连续撞击台球桌边连续撞击台球桌边ABAB，BCBC反射反射 后击中黑球后击中黑球N N？ 3 3、如图，一牧民从、如图，一牧民从A A点出发，到草地出发，到草地点出发，到草地出发，到草地MNMN去喂马，去喂马， 该牧民在傍晚回到营帐该牧民在傍晚回到营帐B B之

10、前先带马去小河边之前先带马去小河边PQPQ给马饮水（给马饮水（MNMN、 PQPQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最 短？（简要说明作图步骤，并在图上画出短？（简要说明作图步骤，并在图上画出） 问题问题2 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一条两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何桥造在何 处可使从处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：思考： 你能把这个

11、问题转化你能把这个问题转化 为数学问题吗？为数学问题吗？ 如图假定任选位置造桥MN， 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在在什 么情况下最短呢？ a B A b M N 由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 分析：分析： l A B C a B A b M N A 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A， 使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等 于河宽，连接AB交河岸于点

12、N，在点N处造桥MN，此 时路径AM+MN+BN最短. a B A b M N A 解：解： 另任意造桥MN， 连接AM、BN、AN. 由平移性质可知， AMAN，AMAN， AAMNM N. AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN. 在ANB中，由线段公理知AN+BN AB， AM +MN +BN AM+MN+BN. 证明：证明： a B A b M N A N M 总结归纳：总结归纳： 在解决最短路径问题时，我们在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称、平移等变换，把通常利用轴对称、平移等变换，把 较复杂的问题转化为容易解决的问较复杂的问题转化为容易解决的问 题，

13、从而作出最短路径的选择。题，从而作出最短路径的选择。 问题问题2 归纳归纳 抽象为数学问题抽象为数学问题 用旧知解决新知用旧知解决新知 联想旧知联想旧知 解决实解决实 际问题际问题 a B A b M N l A B C a B A b M N A 小结归纳小结归纳 a B A b M N A l A B C l A B C B 轴对称轴对称 变换变换 平移平移 变换变换 两点之间，线段最短. 2.如图，牧童在如图，牧童在A处放马，其家在处放马，其家在B处，处，A、B到河岸的距离分到河岸的距离分 别为别为AC和和BD，且，且AC=BD, ,若点若点A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为

14、500 米，则牧童从米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是是 米米. . A C B D 河河 1000 4、如图所示，、如图所示，M、N是是ABC边边AB与与AC上上 两点，在两点，在BC边上求作一点边上求作一点P，使，使PMN的周的周 长最小。长最小。 M P 本节课你有什么收获？本节课你有什么收获？ 学习了利用轴对称解决最短路径问题学习了利用轴对称解决最短路径问题 感悟和体会转化的思想感悟和体会转化的思想 补偿提高补偿提高 如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山 脚下的脚下的Q 处接游客，然后

15、将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径 AB C P Q 山山 河岸河岸 大桥大桥 思路分析：思路分析： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线 段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到 一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最 小小” AB C P Q 山山 河岸河岸 大桥大

16、桥 新知新知1运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线 段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题 的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同 旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核 心，所有作法都相同心，所有作法都相同. 新知新知2利用平移确定最短路径选址利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以