第1篇线弹性系统的振动(2015-9-21)

1、机械振动学（研究生学位课48学时）学习内容：Part . 线弹性系统的振动Chapter1. 多自由度系统的振动分析Chapter2. 弹性体的振动分析Chapter3. 多自由度系统的特征值、特征向量计算Chapter4. 振动分析的数值方法Part. 随机振动Chapter1. 随机过程概论Chapter2. 随机过程的时域分析Chapter3. 随机过程的频域分析Chapter4. 系统的响应函数Chapter5. 系统的随机振动分析Chapter6. 结构随机响应的安全评估Part. 系统的参数识别（4学时）主要参考文献：【1】 季文美等，机械振动，科学出版社，1985.【2】 郑兆昌

2、等，机械振动(上册、中册)，机械工业出版社，1980.【3】 Meirovitch. L, Element of Vibration Analysis, McGrow-Hill. 1978.Part 线弹性系统的振动线弹性系统的特点：（1）系统的弹性恢复力与其位移成线性关系，即：恢复力=，其中为刚度系数；系统的运动阻力大小与其速度成线性关系，即：阻力=，其中为阻尼系数。 （2）线性迭加原理恒成立。Chapter 1 多自由度系统的振动研究对象：多自由度系统-有限多自由度的离散系统离散系统-其动力学模型（方程）是以集中参数（刚度、惯性和阻尼）的形式表出，其中弹性元件只具有弹性，而无惯性和阻尼；惯

3、性元件只具有质量（或转动惯量），而无弹性和阻尼；阻尼元件只会产生阻尼力，而不具有弹性和惯性。研究的数学工具：常微分方程、线性代数1. 系统的运动微分方程1.1 方程的形式 对于n个自由度系统，其振动微分方程的最一般形式为: (1)其中：分别为系统的位移、速度和加速度列阵；为作用于系统的干扰力列阵；为系统的质量矩阵、为系统的阻尼矩阵、为系统的刚度矩阵。方程（1）表明：在任意时刻，系统中的惯性力、阻尼力和弹性恢复力三者之和恒与作用于系统的干扰力处于平衡状态。故此方程在力学上称之为动力学平衡方程，在数学上称之为二阶常系数线性非齐次的微分方程组，在振动学上称之为阻尼受迫振动方程。一般对于线弹性系统，其

4、矩阵、和均为实对称矩阵，即：=，=、=说明：在以后的讲解中为书写简便，记时变列阵为：=，, , 。方程（1）的三种特殊形式：1）若系统无干扰，即=，则方程(1)退化成为： （2）式（2）为称为阻尼衰减自由振动方程（在初始干扰下的振动响应规律的描述）。2）若系统无阻尼，即=，则方程(1)退化成为: （3）式（3）称为无阻尼受迫振动方程（忽略阻尼的理想系统）。3）若系统既无干扰又无阻尼，即=，=，则方程(1)退化成为： （4）式（4）称为无阻尼自由振动方程，该方程是振动方程中的最简形式。由此可见：和是系统产生机械振动两个不可或缺的最基本的因素。1.2 建立方程的方法1 牛顿第二定律及其推论（质心定

5、理、动量矩定理、动静法等）-理论力学中的方法，适用于质点系和刚体系。例1. 图示三自由度（弹簧-质量-阻尼器）系统： 以系统的静平衡位置为坐标原点，取坐标，在系统运动的任意位置取分离体，画出各分离体的受力图如下： 由牛顿第二定律，即：对则有： 对则有： 对则有： 将以上方程组整理，并利用矩阵形式可表为：简记为：由此可见：系统的、矩阵均为实对称的矩阵。2影响系数法（柔度法、刚度法）-结构力学中的方法，适用于具有集中质量的弹性体作自由振动的情况。 （1）柔度法：通过弹性体的柔度影响系数，建立系统位移（变形）与外力之间的关系式（即结构力学中的力法）。 例2. 图示具有2个集中质量的简支梁，现考虑其在

6、铅垂平面内的自由振动。已知该梁的截面抗弯刚度为，其中为弹性模量，为梁截面的惯性矩。设在集中力、作用下、处的挠度分别为、。由结构力学中的力法方程，将原位移、分解为图示两组位移和的迭加，即得正则方程（位移方程）为： 若以矩阵形式表示为： （5）简记为：-位移方程其中为系统的柔度矩阵，其元素称为柔度影响系数，它表示仅在系统的第j个坐标上作用单位力，在第i个坐标上引起的位移。由位移互易定理（麦克斯韦尔定理），有：对于诸柔度影响系数，可以通过在某点处单位力作用下其他各点处的位移实测或位移计算获得。例如对图示的简支梁，由材料力学中梁的变形计算可知：当分别在和点处作用单位力时，各点处的挠度即柔度影响系数分别

7、为：若此梁作自由振动，则梁上的作用力只有惯性力，由动静法（达朗贝尔原理），则有： （i=1，2），代入位移方程（5）中，经整理，得： （6）即有：-以柔度矩阵表出的系统自由振动方程。（2）刚度法通过弹性体的刚度影响系数，建立外力与位移（变形）之间的联系（结构力学中的位移法）。例3 同例2由结构力学中的位移法，即将原作用力（i=1，2）分别分解为图示两组作用力和的迭加，即可得正则方程（力方程）为：以矩阵表示为： （7）简记为：-力方程其中表示系统的刚度矩阵，其元素称之为刚度影响系数，它表示仅使第j个坐标上产生单位位移，则需在第i个坐标上施加的力。由此力学含义，可以通过单位位移计算获得。由反力互易

8、定理: 若此梁作自由振动，则作用于梁上的力只有惯性力，即：，（i=1，2），代入方程（7）中，经整理则有： （8）简记为： 关于、矩阵的讨论： 为正定或半正定阵，即 证明：用左乘方程（7）的两端，则有：由线性代数可知：即非负二次型U对应的矩阵应为正定阵或半正定矩阵。若系统的约束充分，即无刚体运动，则为正定阵；若系统的约束不足，定有刚体运动，则为半正定阵。矩阵与之间的关系对于同一问题，虽以柔度矩阵和刚度矩阵表出的系统自由振动微分方程在形式上有所不同，但两者振动的物理本质是相同的，其原因在于它们所描述的是同一系统的自由振动规律。事实上，矩阵与二者之间是可以相互转化的；若将方程（6）改写成为：，并代

9、入方程（8）中，则有：， 即有：，与互为逆阵，两者的物理含义（刚度和柔度）是反向的。若系统存在着刚体运动（即约束不足），则系统对应的刚度矩阵K为半正定阵，此时即有的可能，在这种情况下其系统刚度矩阵的逆阵将不再存在。因此，对于正定或半正定的弹性体系统，其恒存在，但对于半正定系统，其将再不存在。3拉格朗日方程方法-分析力学中的方法这是利用广义坐标、广义力，以能量的观点来研究系统的动力学问题，从而该方法具有较大的普遍性，它适用于任何复杂的多自由度系统。关于拉氏方程的推导，可参阅季文美机械振动P318。对于n自由度的系统，其拉氏方程的最一般形式为： （j=1，2n） （9）其中：、表示第j个自由度的广

10、义位移和广义速度为广义坐标下系统的动能为广义坐标下系统的势能为广义坐标下系统的瑞利耗散函数为作用在第j个广义自由度上的非势力（重力之外的力）由此拉氏方程可导出多自由度系统振动微分方程的一般形式（阻尼受迫振动方程）。若系统无阻尼，即，则显见：。若系统为保守系统（机械能守恒），则，（j=1，2n）（无非势力）。对拉氏方程应用的三点说明：（1）若以系统的静平衡位置为势能零点，则U中只需计及系统的弹性势能；（2）计算T时需用各自由度的绝对速度；（3）阻尼力与相对速度成正比。例4 同例1的三自由度弹簧质量系统解：用拉氏方程建立系统的运动方程：取:、为广义坐标，以系统的静平衡位置为势能零点；系统的动能为：

11、 （各自由度的绝对速度）系统的势能为：（只有系统的弹性势能）系统的耗散函数为：（阻尼力与相对速度成正比）系统的非势广义力： （j=1,2,3）将以上各式代入拉氏方程（9） （j=1，2，3）经求导运算得系统的运动方程同前（以矩阵形式表出）：例5 自由转子系统（半正定系统），用拉氏方程建立系统的运动方程。解：取各转子的转角为广义坐标（4自由度系统），以系统的静平衡位置为势能零点。系统的动能：系统的势能：因是保守系统，所以，（j=1，2，3，4）将上式代入拉氏方程（9）中，则有： （j=1，2，3，4）经求导运算得系统的扭转自由振动方程为：用矩阵简记为显然因该系统的约束不足，将具有刚体运动（整体转

12、动）-自由转子。故该系统的刚度矩阵为半正定矩阵，其逆阵将不存在。2 方程的静、动力耦合2.1静、动力耦合概念 在系统的运动方程中：1 若为非对角阵，即，则称系统为（静力耦合）弹性耦合的。如：例4、例5中的阵均是三对角阵，这反映了串联质量系统的弹性耦合特性。2 若为非对角阵，即，则称系统是（惯性耦合）动力耦合的。对于串联质量系统，是对角阵，如例1、3；对于非串联质量系统，通常不是对角阵。3 若为非对角阵，即，则称系统是（速度耦合）动力耦合的。如例1系统。显然，对应于具有耦合关系的系统，其运动方程是一个彼此联立的二阶微分方程组，其中每一方程中都包含着两个以上的自由度。但需要说明的是：方程的耦合与否

13、与系统的固有特性无关，而只将取决于建模是所选定的广义坐标系。为了说明之，现举如下一个简单的例子。例6. 汽车车体用质量为m的刚性梁表示质心位于C点，前后两车轮分别简化为两个弹簧、，忽略车体的阻尼作用，现建立车体在铅垂平面内的振动运动方程。解：取系统的静平衡位置为坐标原点，因为只考虑车体在铅垂方向的上下运动和俯仰运动，因而在运动过程的任一时刻，可用车体上某一点的铅垂位移x和车体绕水平线的转角就可以完全地确定车体的运动位置，这样该车体可简化为一个二自由度的系统。（1） 以质心C点的铅垂坐标和车体的转角为广义坐标，即自由度为以系统的静平衡位置为坐标原点，由拉氏方程建立该保守系统的运动方程：，代入拉氏

14、方程中，得系统的运动方程（用矩阵表示）为：可见，由于，故以为广义坐标建立的系统运动方程是弹性（静力）耦合的。弹性耦合的物理含义是，每一个广义坐标的运动不能独立发生，即每个坐标值的改变将必然引起其余坐标值的改变。现分析如下：若系统仅有平移运动，则必然引起弹性力：和，它们对质心C点之合力矩为：（除非恰有）。由于作用于系统上的合力矩不为零，则必然要引起系统发生刚体转动，从而必然会引起转角发生。反之，若系统仅有转动运动，则必然引起弹性力：和，它们在铅垂方向上的投影之和为：（除非恰有）。由于作用在系统上的合力不为零，必然要使刚体在合力的方向（x方向）上发生位移，从而引起位移发生。（2） 以车体的刚度中心

15、E点的纵向坐标和车体的转角为广义坐标，即自由度为刚度中心(刚体作平移x时两弹簧力之合力的作用点，它可由理论力学中两同向平行力之合力的性质确定。)此时有坐标转换关系（见图）：由惯量平移定理，有：，将以上表达式代入系统的前T, U表达式中，则有：再将上式的T、U中代入拉氏方程（9）中，得到对广义坐标所建立的系统运动方程为：可见，由于，故若以刚度中心的位移和转角为广义坐标系建立的系统运动方程是惯性（动力）耦合的。与弹性耦合的意义相类似，惯性耦合的力学含义是：每一个广义坐标的加速度是不能独立发生的。（3）以车体的右端A点的位移和车体的转角为广义坐标，即自由度为此时有坐标转换关系（见图）：将上式代入系统

16、的前T,U中，有：再将上式的T,U代入拉氏方程（9）中，得到对广义坐标所建立的系统运动方程为：其中：可见，即以为广义坐标建立的系统运动方程是既有静力（弹性）耦合、又有动力（惯性）耦合的。这是方程耦合中的最一般的形式。从上例讨论可知，对于同一系统，由于选取的广义坐标系不同，所建立的系统运动方程的表达形式也是不同的，即方程表达式取决于广义坐标系的选取。但是，由这些不同表达形式的方程所求得的系统的动力特性（固有频率、振型）都是相同的，这是因为系统固有的动力特性是由系统的物理参数决定的，而与广义坐标的选取无关。这类似于一个物体的既定运动（如圆周、曲线运动），对于不同的坐标系（如直角、自然、极坐标系），

17、其运动方程和轨迹方程的表达形式是不尽相同的，但是各种坐标系所描述的物体的运动规律却是完全相同的，物体的运动轨迹曲线的形状只有一个，它不会因不同坐标系的选取而发生改变。事实上，一个系统的运动方程的表达式随着不同的广义坐标而改变，恰恰体现了系统本身动力学特性不随坐标而改变的重要本质形式变而本质不变的辩证思想（即变是为了不变）。2.2 主坐标主坐标使系统的运动方程既无静力耦合又无动力耦合的一组广义坐标，即为无耦合的坐标系。在主坐标中，系统运动方程中的、都成为对角阵，从而系统运动微分方程组成为一组彼此独立的微分方程组，其中每一方程成为单自由度系统的运动方程，可独立求解。对于任何振动系统而言，总存在着主

18、坐标系，有些且不止一组。对于非主坐标系我们则可利用线性变换的方法，将其变换成主坐标系，即通过线性变换可使耦合的方程组去（解）耦，这类似于解析几何中对二次曲线的标准化过程（二次型化为标准型的过程）。例：在坐标系下，椭圆曲线方程为：，的其中的交叉项即为耦合项。为消除耦合项，我们可通过坐标变换（坐标平移加旋转），使原椭圆曲线方程在新的坐标系（主坐标系）下成为如下非耦合的形式：当然对于多自由度振动系统解耦的线性变换没有这样简单和直观，具体的如何进行线性变换方法，将在学完主振型的正交性之后再予以详细介绍，这里先给出求解的思路。与此同时 这是一个同步的过程。3. 固有频率、主振型（特征值、特征向量） 系统

19、在无阻尼自由振动时的动力特性（固有特性：固有频率、主振型）是多自由度系统振动分析的关键基础，故先讨论之。n个自由度系统的无阻尼自由振动方程式： （1）无阻尼自由振动即为简谐振动，故设方程（1）的解为： （2）其中X振幅列向量，p固有频率，初相角即自由振动时各自由度（坐标）是以不同振幅、但同频率和同相位做简谐运动。将（2）式代入方程（1）中得：即有： （3）振型方程因此振型方程（3）是以为未知解向量的线性齐次方程组，其零解（平凡解）表示系统恒处于静止状态，其有非零解的充要条件是： （4）（特征方程或频率方程），将（4）式行列式展开，即得以为未知量的n次非线性代数方程，从此方程中解出方程的n个根（

20、特征值）为： （按从小到大的顺序排列）数学上可以证明：当系统为正定系统时，其特征值为系统的第i阶固有圆频率，固有频率（赫兹）的计算公式为：将分别代入线性方程组（3）中，求得其对应的解向量（特征向量）为： 其分量为它表示系统以第i阶固有频率作自由振动时各自由度振幅的比值，故称为系统的第i阶主振型或振动模态。由线性方程组的理论可知，若是方程组（3）的解向量，则（是任意常数）也是方程组（3）的解向量。为此，可将每一个解向量（主振型）做归一化处理，如用每一个解向量中的最大（或最小）元素通除向量中各元素（见后）。将n阶主振型向量，按固有频率的自然顺序组成一个n阶方阵，记为：-振型矩阵说明：（1） n个自

21、由度的系统必有n阶固有频率和n阶主振型（数学上称为特征值与特征向量（特征对）问题，是线性代数计算方法研究的主要内容之一，在实际中常用数值方法求解）。（2）固有频率和主振型仅由系统本身的物理参数（、）确定，而与初始条件和干扰力无关。（3）主振型表示系统以某一阶固有频率作自由振动时各自由度（坐标点）振幅的相对比值（振动模态），而并非各自由度振幅的绝对值。例7. 图示弹簧质量系统：已知：，求系统的各固有频率和主振型 解：选取系统的静平衡位置为坐标原点，取为广义坐标建立系统的自由振动方程为：其对应的振型方程为: (*)其特征方程为：将行列式展开后，整理得：这是以为未知量的3次代数方程（非线性方程），用

22、数值方法解得其三个根（固有频率的平方）分别为：将分别代入线性方程组（*）中，即有，解得对应的特征向量（主振型）分别为：（为了便于比较，统一将每一主振型中的第三个分量均取为基准1）：则系统的振型矩阵为： 各阶主振图（模态图）如下：结论：节（结）点数=振型阶数-1对于位移方程（运动微分方程的反形），亦可进行类似上述的求解分析。设系统为正定系统，以柔度矩阵表出的系统的自由振动方程为：令其解为：，代入上式，得：其中，为系统的动力矩阵令：，则有： （*）（振型方程）的充要条件为： 此即为频率方程（特征方程）将上式展开后为的n次代数方程，可解得其n个特征根为： （从大到小排列）由于，故仍有： 将（i=1.

23、2n）依次代入到振型方程（*）中，解得对应的各阶主振型为：从而振型矩阵为：例8. 一个三自由度的简支梁，已知其抗弯刚度为 ，求：解：以系统的静平衡位置为坐标原点，取广义坐标为用柔度法建立梁的自由振动方程为：由材料力学中简支梁的挠度计算公式，可推得各柔度系数为：由此得： 为对称非奇异阵则系统的动力矩阵为：其振型方程为： （*）如前所述，其特征方程为：，（），从中解得的三个根：将分别代入振型方程（*）中，解得对应的各阶主振型分别为（第3各分量取为1）：系统对应的振型矩阵为：各阶主振图（模态图）为：振型的对称、反对称性是由于结构的对称性（刚度、质量、约束）而造成的。结论2：对称结构，其奇数次振型均为

24、对称的，其偶数次振型均为反对称的。关于对称结构，须满足如下3个条件：（1）几何对称：形状、尺寸等；（2）物理对称：刚度、质量（惯量）；（3）约束的对称性。4 主振型的正交性、方程解耦4.1主振型的正交性设n个自由度的正定系统，其n个特征对（无重根）为：由系统的特征对应满足的齐次线性方程组（振型方程）为：对第i个特征对： （1）对第j个特征对： （2）用前乘（1），得： （3）用前乘（2），得： （4）因为、，因此(3)、(4)式中的二次型（）均是个的矩阵（即为一个数），其转置就是其本身，即：利用上述两式，由（3）式-（4）式得： (5)因系统为无重根，即有：故由(5)式可得： （6）这表明：系

25、统的各阶振型是关于正交的。将（6）式代入（4）式中，则有： （7）这表明：系统的各阶振型矩阵也是关于正交的。正交性的物理意义：各阶主振型关于和阵的为权正交性反映出各阶不同的主振型之间既无惯性耦合又无弹性耦合。（6）式反映了各主振型振动之间无惯性耦合；（7）式反映了各主振型振动之间无弹性耦合。例：设系统的第i阶主振动位移为：，速度为：，加速度为：，系统的第i阶惯性力为：，第j阶主振动的微位移为：，则第i阶惯性力在第j阶微位移上所做的功为：这说明：系统的各阶主振型之间不存在着惯性耦合。同理，由的正交性可得各阶主振型之间亦不存在弹性耦合。将, 分别视为第j阶的广义惯性力和广义弹性力向量（均差系数为1

26、/2）,则：-表明第j阶广义惯性力在第i阶主振型上做功为零。-表明第j阶广义弹性力在第i阶主振型上做功为零。即：第j阶广义惯性力和第j阶广义弹性力对于其他阶主振型不发生作用，任何两阶主振型之间不存在着惯性耦合和弹性耦合，从而各阶主振型的能量（动能、势能）彼此独立，各阶主振型之间不会发生能量的交换。4.2 主质量矩阵、主刚度矩阵用前乘（1）式，得： （8）由于系统为正定的，即、均为正定阵，则上式两端的二次型均恒大于0。左端：右端：故定义如下： （9）为系统的第i阶主质量（广义质量） （10）为系统的第i阶主刚度（广义刚度）将（9）、（10）代入（8）中，得： （11）即系统的第i阶固有频率的平方

27、等于第i阶主刚度与主质量之比。显然有：若主刚度， 若主质量这与单自由度系统的固有频率与刚度、质量三者之间的关系完全相同。若用振型矩阵和其转置矩阵分别左乘和右乘，则有： （12)主质量矩阵（广义质量矩阵）从数学角度看，上式即用振型矩阵对阵进行线性变换（正交变换），可使其变成对角阵，该对角阵即为主质量矩阵。同理，利用振型矩阵关于刚度矩阵的正交性，可对进行对角化，即： （13）主刚度矩阵（广义刚度阵）若将系统的n个特征值按序排成n阶对角阵（特征值矩阵）：（14）即特征值矩阵等于主刚度矩阵与主质量矩阵之逆阵的乘积，故若求得系统的主刚度和主质量阵，可由此式求得系统的全部固有频率。4.3 正则（标准）振型

28、矩阵由于主振型中的各分量仅反映了系统以第i阶固有频率作自由振动时各自由度振幅相对比值的大小，故各分量均同时增大或减小若干倍时，并不会改变各自由度振幅相对比值的大小。为此，若是系统的第i阶特征向量，则 也是系统的第i阶特征向量。因此可将做如下所谓的正则化（标准化）处理：令： （15）其中-第i阶正则化因子，取其值使得： （16）-第i阶正则振型将（15）式代入（16）式中，则有：，从中解得：，计算时取正值，即第i阶正则化（标准化）因子等于第i个主质量（广义质量）的平方根。将n个正则振型列阵按序排成矩阵，就组成了系统的正则振型矩阵，称：为系统的正则振型矩阵。仅是将中的各列分别进行了正则化处理的结果

29、，而并不改变振型关于以和阵为权的正交性，故有： （17）由（17）式可知，用正则振型矩阵对阵进行正交变换得到的正则质量矩阵为同阶的单位矩阵。同理，用对阵进行正交变换，则有： （18）由（18）式可见，用正则振型矩阵对阵进行正交变换得到的正则刚度矩阵即为系统的特征值矩阵。4.4 方程解耦（坐标变换）设n个自由度系统的自由振动方程为： （19）由于、一般都是非对角阵，故上式为n个既有惯性耦合又有弹性耦合的联立的二阶线性微分方程组，直接求解是非常困难的。由2可知，若用一组主坐标来描述系统的运动方程，是既无惯性耦合又无弹性耦合的，即方程是被解耦的。对于任何振动问题，总存在着主坐标，有些且不止一组。问题

30、的关键是：如何寻求一组主坐标？这可以通过坐标变换（线性变换）来实现，即通过线性变换使得方程解耦。问题是实行何种的线性变换？我们由系统振型矩阵关于和矩阵的正交性得到启发，可令线性变换的关系式为： （20）其中是系统的一组主坐标。将（20）式代入到方程（19）中，并两端前乘，则有：利用振型矩阵以和矩阵为权的正交性，即（12）、（13）式，则可得去的耦方程为： （21）展开后： （21）由于主质量矩阵和主刚度矩阵均为对角阵，因此以主坐标表示的系统运动方程（21）是一组彼此独立的二阶微分方程组，既无惯性耦合，又无弹性耦合。（21）式的分量表达式为： （21-a）-单自由度系统自由振动方程。 即：-单自

31、由度系统自由振动方程方程标准形式。解方程（21）相当于解n个单自由度系统的自由振动方程，其解易于求得，但是这些解是利用主坐标描述的系统的振动规律，主坐标的解并不是系统在振动中的真实位移，而原物理坐标的每一分量才明确代表各自由度的运动。当求得后，为了求得系统在原物理坐标下的运动，只需再次利用线性变换关系式（20），可得系统在原物理坐标系下的运动为：为了理解线性变换（20）式的数学意义，将其展开表为：= (21)可见系统在原物理坐标系下任一时刻的位移总可以表示为n个主振型的线性组合，而组合系数就是n个主坐标，它们分别表示对应的主振型在位移中所占有的比重。例如：若，其余分量全为零，则有：即此时系统位

32、移就等于第i阶主振型之值。在线性变换（20）式中，若将振型矩阵取为系统的正则振型矩阵，即令线性变换为： （20）代入系统方程（19）中，并两端前乘，则有：由（17）、（18）式，则有解耦方程为： （21）其分量表达式为： （21-a）-单自由度系统自由振动方程的标准形式。(21)式亦可由（21）式直接推得，即用前乘（21）式两端，则：即得： 例9（季文美机械振动P218）对于2自由度的复摆，参数见图。求复摆自由振动的解耦方程。解：以系统的静平衡位置为坐标原点，取广义坐标为，（1）利用拉氏方程得复摆的微幅自由振动方程为： （a）（2）求系统的， （i=1，2）由其特征方程：，解得：将分别代入振型

33、方程中，解得：从而：（3）方程解耦：取主坐标为，令线性变换：，进行解耦如下：，即有：经标准化，有：另一个更加简单的方法是，直接将代入到式（21）中，即得系统的去耦方程为： （i=1，2）5 系统对初始干扰的响应5.1 数学模型对于n个自由度系统，求在初始干扰下的响应，其数学模型为：方程： （1）初位移： （2）初速度： （3）上述问题在数学上称为常微分方程组的初值问题（亦称为柯西问题）。因为在方程组（1）中共有n个未知量，且方程含有t的二阶导数，故确定方程组（1）的定解共需要2n个初始条件。求解上述问题主要有两类方法：（1）数值解法常微分方程组的数值解法，如逐步积分法、吉尔（Gill）法等。（

34、2）解析方法-据微分方程的理论，先求出方程组的一般解（通解），再由2n个初始条件确定解中的2n个积分常数（待定系数），从而求得满足初始条件的定解。在多自由度振动分析中，通常采用的解析方法即是振型迭加（分解）法，这是求解振动响应分析的一种极为有效地方法，其理论介绍如下。5.2 振型迭加（分解）法求响应基本思想：利用主振型与主坐标响应的线性组合（迭加）来获得系统的响应。该法的前提是已知系统的全部特征对。设系统为正定的，且已知系统的全部特征对为：特征值： 特征向量：正则化后：利用线性变换， （4）使运动方程（1）解耦为主坐标表示的方程： （5）其中第i个分量方程为： （5-a）这是一个单自由度系统的

35、自由振动方程，易得其通解为： （6）其中，积分常数（或者）由初始条件，确定，即：，从而方程（5-a）满足初始条件的定解为： （7）通常给定的是系统在原物理坐标下的初始条件，欲求得系统在主坐标下的初始条件，可通过坐标变换（4）式的反变换求得。（4）式的反变换为： （8）为了避免对的求解，可利用如下的简便计算式：用前乘（4）式，即有，由正交性得： （9）比较（8）式与（9）式，可得： （10）（9）式在任何时刻都成立，则主坐标下的初始条件可以原物理坐标下的初始条件表出： （11） （12）当求得主坐标系下的响应后，再利用线性变换（4）式即可求得系统在原物理坐标下的响应为： （4-a）其分量形式为：

36、 （4-b）由（4-b）式可见：（1）系统在初始干扰下的响应可表示为n个主振型的迭加，这也就是该求解方法称为振型迭加法的原因。（2）系统在初始干扰下的响应一般为非简谐的复杂运动，甚至为非周期的运动，而仅在某些特定的初始干扰下，响应才是某一主振动。使振动系统的响应为主振动的初始干扰为：若仅，而其余的初值全为零，则系统的第i个分量的响应为：即以固有频率做i阶主振动（自由振动）。若，而与第i阶主振型相似，即系统的初始变形是第i阶主振型，则系统的响应将是第i阶主振动。若，而与第i阶主振型相似，即系统的初始速度是第i阶主振型，则系统的响应亦将是第i阶主振动。例10 三自由度的弹簧-质量系统（同前例图）已

37、知：，求系统对初始干扰的响应由前例知，正则振型矩阵为：去耦方程为：其在初始干扰下的解为：，主坐标下的初始条件为：则系统在主坐标下的响应为：从而系统在原物理坐标系下的响应为：可见系统在这一组给定的初始干扰下的响应是三阶主振动的线性组合，是一个很复杂的非简谐运动。6 多自由度系统的阻尼前面几节讨论了无阻尼多自由度系统的振动问题。无阻尼系统是一个物理上加以理想化的系统，对于工程中的振动系统，阻尼总是客观存在的，比如：空气阻尼、摩擦阻尼、结构阻尼。实验表明一个处于真空中的振动系统将也呈现出振动衰减现象并最终停止，这体现了阻尼的存在。特别是在系统发生共振时，阻尼的影响是必须考虑的。需要说明的是，由于阻尼

38、问题的复杂性，迄今机械振动工程中对于阻尼的研究还很不充分。对于具有线性阻尼的n个自由度的系统，其自由衰减振动的运动（即阻尼力的大小与速度的一次方成正比：）方程为 （1）其中阻尼矩阵元素阻尼影响系数，定义为第j个自由度上产生单位速度在第i个自由度上引起的阻力，且有，即。由于一般讨论的阻尼是使系统能量耗散的正阻尼，（该阻尼恒与速度方向相反），则为正定或半正定的对称阵，即有。利用正则振型矩阵对方程（1）进行解耦，则有：即为： （2）其中，称为正则阻尼阵，由于振型矩阵关于没有正交性，故通常不是对角阵，即。故方程（2）是一组通过广义速度（阻尼）耦合的微分方程组，无法独立求解。欲使方程(2)解耦的唯一方法

39、是使，为使变成对角阵，工程上采用以下的3种处理方法：6.1振型阻尼假设（已在工程中广泛应用）假设振型矩阵以为权正交（Wilson阻尼假设），即令： （3）提出该假设的原因：1） 在实际系统中，许多阻尼的机理至今尚未搞清楚（振动研究课题之一）；2） 精确测定多自由度系统的阻尼系数相当困难（振动研究课题之二）；3） 为使方程解耦。该假设的合理性为：1）是正定阵或半正定阵，很少出现对角元素小于非对角元素的情况，即对角元素占优势。2）工程实践证明，若系统为小阻尼，且各阶固有频率不十分接近，则由此假设可获得很好的近似解。基于假设（3）式，则方程（2）中的每一方程可表为： （4）-单自由度系统衰减振动方程

40、令：，则方程（4）可改写为： （5）式中，-第i阶振型阻尼比（无因次量），其值可以通过实验测定（原理及方法见系统模态参数识别）。实测结果表明：对于钢结构，通常，各阶值在量级上相同，但高阶振型的阻尼比在数值上略为大些。若各阶振型阻尼比在数值上差别不大，为计算简单起见，可假定各阶振型阻尼比之值是相同的，即有：。当各阶振型阻尼比之值测定以后，可由（3）式反求出系统的阻尼阵（在直接应用数值积分求解方程（1）时需要已知阵），计算式如下：（*）由上式可看出，各阶振型阻尼比对系统阻尼阵的贡献。6.2比例阻尼假设（很早前由瑞利（Rayleigh）提出）假设是和的某种线性组合，即令： （6）式中，-比例系数则：

41、 （7） 将上式代入运动方程（2）中，得解耦方程组，其中第i个方程为： （8）引入振型阻尼比，上式可改写为： （9）其中， （10）为了观察的值如何随着系数a，b取值变化，讨论如下：（1）令，则 （11），这意味着与成正比，此时在振动的响应中，振型阶数越高，b对振幅的贡献就越小。（2）令， （12），故与成反比，此时在系统的振动响应中，振型阶数越低，a对振幅的贡献就越小。由上述分析可见，适当的选取a、b值，就有可能较真实地反映出实际振动中出现的倾向性。但是a、b值的确定是较为困难的事情，工程中通常可采用类比的方法来确定a与b的取值。关于线性阻尼系统去耦响应满足的条件讨论可参阅季文美机械振动附录

42、E。6.3结构阻尼现象：振体置于无干摩擦和真空之中（无介质阻尼），振动最终会停止。a材料阻尼：材料内分子间的相互作用而耗散系统的能量b滑移阻尼：结构各部件连接界面之间的相对滑动而产生的阻尼对于结构阻尼，系统的运动（1）可写成： （11）其中，为结构阻尼矩阵（单位虚数）为使方程（13）解耦，假定振型关于阵正交，即令： （14）则经过线性变换，可得到解耦的方程为： （15）其中第i个方程为： （15-a）其中，、为第i个主质量和主刚度将上式改写为： （15-b）其中，表示第i阶振型结构阻尼系数，通常由实验或经验确定。经验表明：一般情况下，。以上的三种关于阻尼的处理，均可使系统方程解耦，使之成为n个

43、单自由度系统有阻尼的振动问题。若不能近似为对角阵，则需应用复模态分析方法解耦，可参见有关复模态分析理论（季文美机械振动，P2436.14线性阻尼系统的动响应）。7 受迫振动响应对于n个自由度的线性系统，其在时变干扰力列阵作用下的受迫振动运动方程为： （1）这是一个二阶常系数线性非齐次的耦合微分方程组。求解此类方程的常用方法有两种：（1）数值解法（如龙格-库塔法、Wilson-法等等）（2）振型迭加（分解）法，属于解析方法（本节讨论的方法）设系统的阻尼为振型阻尼，即有关于振型具有正交性。则利用主坐标，通过正则振型的线性变换： （2）使方程（1）变为解耦方程: （3）其中，引入振型阻尼比，则方程（

44、3）可写为： （4）下面就干扰力列阵的不同情况予以讨论7.1 简谐干扰力设：即系统中各自由度受到同频率、同相位而不同力幅的简谐力作用，则去耦方程（4）成为： （4-a）其中方程（4-a）中的第i个方程为： （4-b）这是具有阻尼的单自由度系统在简谐力作用下的受迫振动方程，即二阶常系数线性非齐次的微分方程，其通解是由瞬态解和稳态解两部分组成的。由于阻尼的存在，其瞬态解项随t的推移将很快消失，故通常在持续的受迫振动中不予以考虑。其稳态解为与干扰力同频率、具有一定相位差的简谐振动，即： （5）（参阅单自由系统受迫振动）其中，振幅：动力放大因子：相位差：第i阶频率比：若系统无阻尼，即，从而有动力放大因

45、子：，相位差。当求得系统在主坐标下的响应后，再由坐标变换关系式（2），就可求得系统在原物理坐标下的响应为： （6）其中第i个坐标的响应为： （6-a）共振现象：由上（6-a）式可见，当干扰力的频率接近系统的第j阶固有频率时，即，则有频率比，第j个坐标的振幅值为显著增大，特别地对于无阻尼系统，且相位差，这完全类似于单自由度系统的共振现象，故称此时系统发生了第j阶共振。由于n个自由度系统有n个固有频率，故系统有可能发生n阶共振现象，即共振的次数为单自由度系统的n倍。由上述的讨论可见，当系统发生第j阶共振时，第j阶振动的幅值将远大于其它各阶主坐标的振幅，即，故而在响应式（6-a）中，第j阶主坐标的响

46、应为主要成分，则（6-a）式可近似表为：， （7）同理第（i+1）个坐标的响应可近似表为：从而，两坐标的比值为上式表明，当系统发生第j阶共振时，系统中各坐标响应的比值接近于系统的第j阶主振型。据此，工程上可采用共振实验方法，近似的实测系统的各阶固有频率及主振型。7.2 一般周期干扰力（如方波、三角波、锯齿波）设系统各坐标上受到不同力幅而相同周期的干扰力列阵作用，即：其中设函数g（t）满足Dirichlet条件：在一个周期上连续或仅有限个间断点，且间断点左右极限存在；在一个周期内存在有限个极大、极小值。则可用傅氏函数展开为： （8）均为级数系数，且有： 将代入系统的去耦方程（4）中，则有： （9

47、）其中第i个方程为：（9-a）其中，为常力（与时间无关），仅引起静变形，使系统的静平衡位置改变，而对动力响应无影响，故在动力响应分析中可略去。由线性迭加原理，方程（9-a）的稳态解为： （10）其中：如系统无阻尼，即，则：同理，当，即，将显著增大，且，即系统发生了第i阶共振。因为干扰力中，简谐频率成分共有m=1,2（理论上有无数个），系统的固有频率共有n个，显见，系统发生共振的可能性（共有mn）比简谐干扰大得多。系统在原物理坐标下的响应为：第i个响应分量为：需要说明的是：在实际问题中，由于高次谐波对于傅氏级数的贡献逐渐减小，故对于实际计算（10）式中，迭加求响应时只需取前若干项即可。7.3 非

48、周期干扰力设：系统的各自由度受到彼此不同的非周期时变干扰力的作用，即：则去耦方程（4）可表为： （11）其中第i个方程为： （11-a）由于是非周期性函数，无法用傅氏级数表示，故只能利用杜哈美（Duhamel）积分方法求得方程（11-a）的瞬态解为： （12）其中-具有阻尼时系统的第i阶固频。若系统无阻尼，即，则解为： （12-a） 当干扰力为常力时，即，则解为：则系统在原物理坐标下的响应为： （13）其响应的分量为：7.4 基础运动干扰（略）例11 图示系统，已知：，各阶振型阻尼比为：，在上作用激振力，求系统的稳态响应。解： 列运动方程：其中：，求：， 由前例中得： 主质量阵：正则化因子：，

49、正则振型矩阵：解去耦方程，得主坐标下的响应：其解为（稳态解）：其中：振幅：相角，得：则：求系统在原物理坐标下的响应由此结果可见，由于激振频率，最为接近系统的第2阶固频，所以在系统的稳态解响应中，第2主振型居于主导地位（所占比例最大）。例12 弹簧-质量系统已知：，单位阶跃力求：系统的响应解：建立系统的方程（拉氏方程法）求：、振型阵：正则因子，得：正则振型阵解去耦方程，求主坐标下的响应：其中，第i个方程为：由杜哈美积分，其解为：则主坐标下的响应为：求系统在原物理坐标下的响应：由响应结果可见，各阶主振动振幅的模分别为：，即第2阶主振动振幅的模仅为首阶模的41.5%，而第3阶主振动振幅仅为首阶的17

50、%。这表明：在振型迭加法中各阶主振型在振幅中所占的比例将随振型阶数增高而减小，即系统的低阶振型起主导作用，而高阶振型的贡献最小。因此在振型迭加法中，通常仅取前若干项振型进行迭加即可（振型截断处理）。8 振型迭加（分解）法小结（季文美机械振动6.13）振型迭加法是求解多自由度系统动力响应分析（对初始干扰响应、对干扰力作用响应）的一种非常有效地方法。这一方法的核心是通过主坐标变换，将原来耦合的方程组解耦成为彼此相互独立的单自由度系统方程进行求解，最后再通过主振型迭加求出系统在原物理坐标系下的响应。现将振型迭加法的求解步骤概括如下：列方程建立系统的运动微分方程（牛顿法、影响系数法、拉氏方程法）求系统

51、的特征值与特征向量：线性变换：或系统阻尼处理：a)振型阻尼；b)比例阻尼；c)结构阻尼求系统在主坐标下的响应（初始干扰、简谐力、周期力、非周期力）线性迭加求系统在原物理坐标下的响应：或Chapter 2 弹性体的振动弹性体-无限多自由度的连续系统。连续系统-具有分布参数（质量、阻尼、刚度）的系统，其振动运动方程需用偏微分方程来描述。本章仅讨论无阻尼的理想弹性体：（1）材料均质分布；（2）各向同性；（3）服从胡克定律；数学工具：线性偏微分方程1 杆的纵向振动1.1 振动方程理想弹性体-等截面细直杆，取杆的纵向为x轴，为杆长，A为横截面积，为质量密度，E为弹性模量。设杆的各横截面在振动时仍保持为平

52、面，则杆的运动仅用两个坐标就可完整的描述。以表示杆各截面在t时刻的纵向位移。为了建立杆的自由振动运动方程，现从杆中取出杆的微元dx，其在任意时刻的位移和受力如图：由于杆为理想弹性体，则杆的位移场与内力场均为坐标x的连续函数。即有：位移场，内力场设t时刻微元左端面上的位移为，内力为，右端面上的位移为，内力为。将函数在x截面处用泰勒级数展开，得：忽略二阶以上各项，则得：同理，对内力场做相同的处理，得：由牛顿第二定律，杆微元的运动微分方程为：内力上偏微分方程可表为：即有： （1） （传播速度m/s）方程（1）为二阶常系数线性偏微分方程，在数理方程中被称为波动方程，该方程是连续体自由振动的一类方程，它对应于杆的纵向振动、弦的横向振动、等直圆杆扭转振动等的数学描述，具有一定的普遍性。1.2 方程求解杆的振动中包含着各阶主振动，当杆发生某一阶主振动时，杆上各截面运动同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，即系统的各阶主振型（模态）与时间无关。基于此，可将振动位移响应函数分解为空间函数与时间函数两部分之积，即： （2）此法称为分离变量法。其中，称为振型函数，仅为x的函数；称为杆的振动规律函数，仅为时间t的函数。将（2）式代入方程（1）中，可得： （3）上式对于任意的x、t都成立，故左右两端只能等于同一个常数，从而有： （a） （b）方程（a）为杆件振