2021_2022学年新教材高中数学第7章概率2.1古典概型的概率计算公式课件北师大版必修第一册

1、2.1古典概型的概率计算公式 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过实例理解古典概型的两个基本特征通过实例理解古典概型的两个基本特征. 2.掌握古典概型的概率计算公式掌握古典概型的概率计算公式. 3.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本会用列举法计算一些随机事件所包含的基本 事件数及其发生的概率事件数及其发生的概率. 4.体会数学中解决实际问题思想体会数学中解决实际问题思想,增加数学建模增加数学建模 的素养养成的素养养成. 一、事件的概率一、事件的概率 【问题思考】【问题

2、思考】 1.如何描述一个随机事件发生的可能性如何描述一个随机事件发生的可能性? 提示提示:概率概率. 2.抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币,“出现正面向上出现正面向上”的可能性是多少的可能性是多少? 3.填空填空:对于一个随机事件对于一个随机事件A,我们通常用一个数我们通常用一个数P(A)(0P(A) 1)来表示该事件发生的可能性的大小来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机这个数就称为随机 事件事件A的的概率概率. 4.概率如何刻画随机事件概率如何刻画随机事件? 提示提示:概率度量了随机事件发生的可能性的大小概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事是对随机事 件统

3、计规律性的数量刻画件统计规律性的数量刻画. 二、古典概型二、古典概型 【问题思考】【问题思考】 1.试验试验E1:抛掷一枚质地均匀的骰子抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数观察骰子掷出的点数,试试 验验E2:抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况观察正面、反面出现的情况. 在试验在试验E1,E2中中,样本点有怎样的共性样本点有怎样的共性? 提示提示:有限性和等可能性有限性和等可能性. 2.填空填空: (1)古典概型定义古典概型定义: 一般地一般地,若试验具有如下特征若试验具有如下特征: 有限性有限性:试验的样本空间试验的样本空间的样本点总数有限的样本点总数

4、有限,即样本空间即样本空间 为有限样本空间为有限样本空间; 等可能性等可能性:每次试验中每次试验中,样本空间样本空间的各个样本点出现的可的各个样本点出现的可 能性相等能性相等. 则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为古典概率模型古典概率模型,简称简称古典概型古典概型. (2)古典概型的概率公式古典概型的概率公式: 对古典概型来说对古典概型来说,如果样本空间如果样本空间包含的样本点总数为包含的样本点总数为n,随机随机 事件事件A包含的样本点个数为包含的样本点个数为m,那么事件那么事件A发生的概率为发生的概率为 5.做一做做一做:根据古典概型的定义回答下列问题根据古典概型的定义回答下列问题. (

5、1)袋中有大小、质地相同的袋中有大小、质地相同的7个白球、个白球、4个黑球个黑球,每球有一个每球有一个 区别于其他球的编号区别于其他球的编号,从中摸出从中摸出1个球个球,有多少种不同的摸法有多少种不同的摸法? 如果把每个球的编号看作一个样本点如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型是否为古典概型? (2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位将豆子所落的位 置看作一个样本点置看作一个样本点,是否为古典概型是否为古典概型? (3)一名射击运动员射击一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点把击中的环数看成样本点,是否为古是否为古 典概型典概型

6、? 分析分析:判断一个概率模型是否为古典概型判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满关键是看它是否满 足两个特征足两个特征:(1)有限性有限性;(2)等可能性等可能性. 解解:(1)由于共有由于共有11个球个球,且每个球有不同的编号且每个球有不同的编号,故共有故共有11种不种不 同的摸法同的摸法,又因为所有球大小、质地相同又因为所有球大小、质地相同,因此每个球被摸到因此每个球被摸到 的可能性相等的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概故以球的编号为样本点的概率模型是古典概 型型. (2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点即有无

7、数个样本点, 所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型. (3)由于运动员击中每一环的可能性不相等由于运动员击中每一环的可能性不相等,故以击中的环数故以击中的环数 为样本点的概率模型不是古典概型为样本点的概率模型不是古典概型. 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错 误的画误的画“”. (1)“在适宜条件下在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典属于古典 概型概型,其样本空间的样本点是其样本空间的样本点是“发芽

8、发芽”与与“不发芽不发芽”.( ) (2)连续抛掷一枚质地均匀的硬币连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次次,观察正面、反面出现的观察正面、反面出现的 情况情况.事件事件“两个正面两个正面”,“一正一反一正一反”,“两个反面两个反面”的概率相等的概率相等. ( ) (3)从从1,2,3,4,5中不放回地依次随机取出两个数中不放回地依次随机取出两个数,其和为其和为5的概的概 率是率是0.2.( ) (4)抛掷一枚均匀的骰子抛掷一枚均匀的骰子,观察掷出的点数观察掷出的点数,掷出的点数是偶数掷出的点数是偶数 的概率为的概率为 .( ) (5)对于任意事件对于任意事件A,满足满足0P(A)1.( ) 探究探究

9、一一 样本点样本点个数的求法个数的求法 【例【例1】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次次,观察每次掷出观察每次掷出 的点数的点数.计算计算: (1)一共有多少种不同的结果一共有多少种不同的结果; (2)其中向上的点数之和是质数的结果有多少种其中向上的点数之和是质数的结果有多少种. 分析分析:用列举法列出所有结果用列举法列出所有结果,然后按要求进行判断即可然后按要求进行判断即可. 解解:(1)用用(i,j)表示抛掷的结果表示抛掷的结果,其中其中i表示第一次掷出的点数表示第一次掷出的点数,j表表 示第二次掷出的点数示第二次掷出的点数,则所有可能的结果如下则所有可能的结果

10、如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共有共有36种不同的结果种不同的结果. (2)点数之和是质数的结果有点数之和是质数的结果有(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(2,1)

11、,(2,3), (2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,5),共共15种种. 列举法是探求样本点的常用方法列举法是探求样本点的常用方法,列举时必须按照某一标准列举时必须按照某一标准 进行进行,要做到不重、不漏要做到不重、不漏. 【变式训练【变式训练1】 求下列各试验中样本点的个数求下列各试验中样本点的个数,并指出包含并指出包含 哪些样本点哪些样本点. (1)从字母从字母a,b,c中任取两个字母中任取两个字母; (2)从装有大小、质地完全相同从装有大小、质地完全相同,且分别标有且分别标有1,2,3,4,5的的5个球个球 的袋中任意取出

12、的袋中任意取出2个球个球. 解解:(1)从三个字母中任取两个字母有从三个字母中任取两个字母有3种等可能的结果种等可能的结果,即样即样 本空间样本点的个数为本空间样本点的个数为3,分别是分别是(a,b),(a,c),(b,c). (2)从袋中任意取出从袋中任意取出2个球的等可能结果为球个球的等可能结果为球1和球和球2,球球1和球和球3, 球球1和球和球4,球球1和球和球5,球球2和球和球3,球球2和球和球4,球球2和球和球5,球球3和球和球4, 球球3和球和球5,球球4和球和球5. 故共包含故共包含10个样本点个样本点,分别为分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2

13、,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5). 探究探究二二 古典古典概型的概念概型的概念 【例【例2】 (1)在坐标轴区间在坐标轴区间0,3上任取一点上任取一点,求此点的坐标小求此点的坐标小 于于1的概率的概率,问此试验的概率模型是否为古典概型问此试验的概率模型是否为古典概型?为什么为什么? (2)从从1,2,3,4四个数中任意取出两个数四个数中任意取出两个数,求所取两数之一是求所取两数之一是2的的 概率概率,此试验的概率模型是古典概型吗此试验的概率模型是古典概型吗?试说明理由试说明理由. 解解:(1)此试验的概率模型不属于古典概型此试验的概率模型不属于古典概型.因为在坐标轴区间

14、因为在坐标轴区间 0,3上任取一点上任取一点,此点可以在此点可以在0,3上的任一位置上的任一位置,且在每个位且在每个位 置的可能性是相等的置的可能性是相等的,具备等可能性具备等可能性.但试验结果有无限多个但试验结果有无限多个, 不满足试验结果的有限性不满足试验结果的有限性. (2)此试验的概率模型是古典概型此试验的概率模型是古典概型.因为此试验的样本点总数因为此试验的样本点总数 为为6,分别为分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每个样本点的出且每个样本点的出 现是等可能的现是等可能的,因此属于古典概型因此属于古典概型,所取两数之一是所取两数之一是2的

15、概率为的概率为 判断一个试验的概率模型是否为古典概型判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否关键是看它是否 具备古典概型的两个特征具备古典概型的两个特征:(1)试验的样本空间的样本点总数试验的样本空间的样本点总数 有限有限,即有限性即有限性;(2)每次试验中每次试验中,样本空间的各个样本点出现的样本空间的各个样本点出现的 可能性相等可能性相等,即等可能性即等可能性. 【变式训练【变式训练2】 下列试验是古典概型的是下列试验是古典概型的是() A.在公交车站候车不超过在公交车站候车不超过10 min的概率的概率 B.口袋里有口袋里有2个白球和个白球和2个黑球个黑球,这这4个球除颜色外

16、完全相同个球除颜色外完全相同,从从 中任取一球中任取一球,观察颜色观察颜色 C.向一个圆面内随机地投一个点向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接观察该点是否落入圆内接 正方形内正方形内 D.向上抛掷一枚不均匀的硬币向上抛掷一枚不均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况观察正面、反面出现的情况 解析解析:用古典概型的两个特征去判断即可用古典概型的两个特征去判断即可. 对于选项对于选项A,因为因为10 min是个时间段是个时间段,样本点的总数有无限个样本点的总数有无限个, 所以不是古典概型所以不是古典概型; 对于选项对于选项B,因为有摸到白球、摸到黑球两种可能的结果因为有摸到白球、摸到黑球

17、两种可能的结果,且且 摸到白球与黑球的概率都是摸到白球与黑球的概率都是 ,所以是古典概型所以是古典概型; 对于选项对于选项C,因为样本空间的样本点总数有无限个因为样本空间的样本点总数有无限个,所以不是所以不是 古典概型古典概型; 对于选项对于选项D,因为硬币质地不均匀因为硬币质地不均匀,所以正面、反面出现的可所以正面、反面出现的可 能性不相等能性不相等,所以不是古典概型所以不是古典概型. 答案答案:B 探究探究三三 古典古典概型的概率计算概型的概率计算 【例【例3】 某商场举行购物抽奖促销活动某商场举行购物抽奖促销活动,规定每名顾客从装规定每名顾客从装 有四个编号为有四个编号为0,1,2,3,

18、大小、质地完全相同的小球的抽奖箱中大小、质地完全相同的小球的抽奖箱中, 每次随机取出一个球记下编号后放回每次随机取出一个球记下编号后放回,连续取两次连续取两次.若取出的若取出的 两个小球的编号相加之和等于两个小球的编号相加之和等于6,则中一等奖则中一等奖;若等于若等于5,则中二则中二 等奖等奖;若等于若等于4或或3,则中三等奖则中三等奖. (1)求中三等奖的概率求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率求中奖的概率. 分析分析:分别写出样本空间的所有样本点分别写出样本空间的所有样本点,利用古典概型的概率利用古典概型的概率 计算公式求出概率计算公式求出概率. 解解:从四个小球中有放回地随机取球两次从

19、四个小球中有放回地随机取球两次,则样本空间则样本空间 =(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2), (2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共有共有16个样本点个样本点,且每个样本点出且每个样本点出 现的可能性相等现的可能性相等. (2)设设“中奖中奖”为事件为事件B.由由(1)知事件知事件“中三等奖中三等奖”包含包含7个样本点个样本点; 事件事件“中二等奖中二等奖”,即两个小球的编号相加之和等于即两个小球的编号相加之和等于5,包含的样包含的样 本点有本点有:(2,3),(3,2),共

20、共2个个; 事件事件“中一等奖中一等奖”,即两个小球的编号相加之和等于即两个小球的编号相加之和等于6,包含的样包含的样 本点有本点有:(3,3),共共1个个. 解决古典概型问题时解决古典概型问题时,要注意以下几个方面要注意以下几个方面: (1)明确样本点是什么明确样本点是什么; (2)试验是不是等可能性的试验试验是不是等可能性的试验; (3)样本点总数是多少样本点总数是多少; (4)事件事件A包含多少个样本点包含多少个样本点. 【变式训练【变式训练3】 某校举行运动会某校举行运动会,高二高二(1)班有男乒乓球运动班有男乒乓球运动 员员4名名,女乒乓球运动员女乒乓球运动员3名名,现要随机选一名男

21、运动员和一名现要随机选一名男运动员和一名 女运动员组成混合双打代表本班参赛女运动员组成混合双打代表本班参赛,试列出全部可能结果试列出全部可能结果, 若某女乒乓球运动员为国家一级运动员若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,求她参赛的概率求她参赛的概率. 解解:由题意知男生是从由题意知男生是从4人中随机选取人中随机选取,女生是从女生是从3人中随机选人中随机选 取取,为了得到试验的全部结果为了得到试验的全部结果,我们设男生为我们设男生为A,B,C,D,女生为女生为 1,2,3,我们可以用一个我们可以用一个“有序数对有序数对”来表示随机选取的结果来表示随机选取的结果.如如 (A,1)表示从男生中选取的是

22、男生表示从男生中选取的是男生A,从女生中选取的是女生从女生中选取的是女生1, 可用列举法列出样本空间的所有样本点可用列举法列出样本空间的所有样本点,如下表所示如下表所示. 由上表可知由上表可知,样本空间的样本点总数是样本空间的样本点总数是12,且每个样本点出现且每个样本点出现 的可能性相等的可能性相等.设设“国家一级运动员参赛国家一级运动员参赛”为事件为事件E.不妨令该不妨令该 国家一级运动员的编号为国家一级运动员的编号为1,则事件则事件E=(A,1),(B,1),(C,1),(D,1) 含有含有4个样本点个样本点,故她参赛的概率故她参赛的概率 因找不全样本点致误因找不全样本点致误 【典例】【

23、典例】 已知集合已知集合M=-2,3,N=-4,5,6,从两个集合中各取从两个集合中各取 一个元素作为点的坐标一个元素作为点的坐标,试写出所有样本点试写出所有样本点. 错解错解 样本点有样本点有(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6). 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:从两个集合中各取一个元素作为点的坐标从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,集合集合N中的中的 元素既可以作为点的纵坐标元素既可以作为点的纵坐标,也可以作为点的横坐标也可以作为点

24、的横坐标,错解中错解中 少了以下样本点少了以下样本点:(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3). 正解正解:样本点共有样本点共有12个个,它们是它们是(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5), (3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3). 弄清题意弄清题意,避免遗漏避免遗漏. 1.下列随机试验的数学模型属于古典概型的是下列随机试验的数学模型属于古典概型的是() A.在一定的条件下在一定的条件下,移植一棵吊兰移植一棵吊兰,它可能成活它可能成活,也可能不成活也可能不成活 B.在平面

25、直角坐标系内在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有从横坐标和纵坐标都为整数的所有 点中任取一个点点中任取一个点 C.某射手射击一次某射手射击一次,可能命中可能命中0环、环、1环、环、2环、环、10环环 D.四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会 答案答案:D 2.先在先在5张卡片上分别写上数字张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5,将它们混合后将它们混合后,再任再任 意排成一行组成一个五位数意排成一行组成一个五位数,则得到的五位数能被则得到的五位数能被2或或5整除整除 的概率是的概率是() A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8 解析解析:一个五位数能否被一个五位数能否被2或或5整除关键看其个位数字整除关键看其个位数字,而由而由 1,2,3,4,5组成的五位数中组成的五位数中,1,2,3,4,5出现在个位是等可能的出现在个位是等可能的,所所 以个位数字对应的样本点有以个位数字对应的样本点有1,2,3,4,5,共共5个个,“能被能被2或或5整除整除”