（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 文

1、第三节函数的奇偶性与周期性 总纲目录 教材研读 1.函数的奇偶性 考点突破 2.奇（偶）函数的性质 3.周期性 考点二函数周期性的判断与应用考点二函数周期性的判断与应用 考点一函数奇偶性 考点三函数性质的综合问题考点三函数性质的综合问题 1.函数的奇偶性函数的奇偶性 教材研读教材研读 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质 (1)奇(偶)函数的定

2、义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性相反. (3)在公共定义域内 (i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数. (ii)两个偶函数的和、积都是偶函数. (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. 与函数奇偶性有关的结论与函数奇偶性有关的结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定 义域D是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有

3、相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数. 3.周期性周期性 (1)周期函数周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 有关周期函数的几个常用结论有关周期函数的几个常用结论 周期函数y=f(x)满足: (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期

4、为2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|; (3)若f(x+a)=-,则函数的周期为2|a|; (4)若f(x+a)=,则函数的周期为2|a|; (5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|; (6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x) 1 ( )f x 1 ( )f x 的周期是2|b-a|; (7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x) 的周期是4|b-a|; (8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|

5、a|; (9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|. 1.(2018北京东城期末)下列函数中为偶函数的是() A.y=(x-2)2B.y=|lnx| C.y=xcosxD.y=e-|x 答案答案D偶函数需具备:定义域关于原点对称;满足f(-x)=f(x),只有 D项符合,故选D. D 2.(2017北京朝阳期中)下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是 单调递增函数的是() A.y=x-1B.y=tanx C.y=x3D.y=- 2 x 答案答案CA.y=x-1是非奇非偶函数,不符合题意. B.y=tanx是奇函数,但在定义域上不是单调函数,不符合题意. C.

6、y=x3是奇函数,在定义域上为增函数,符合题意. D.y=-是奇函数,在定义域上不是单调函数,不符合题意. 故选C. 2 x C 3.(2016北京东城二模)已知函数g(x)=f(x)-x是偶函数,且f(3)=4,则f(-3)= () A.-4B.-2C.0D.4 答案答案Bg(x)=f(x)-x是偶函数, g(x)=g(-x). B g(3)=f(3)-3=4-3=1, g(-3)=f(-3)-(-3)=1. f(-3)=-2. 4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当 0 x1时,f(x)=,则f+f(0)=. 1 x 5 2 答案答案-2 解析解析函

7、数f(x)是定义在R上的奇函数, f(0)=0,f=-f. 函数f(x)的周期为2, f=f=2. f+f(0)=-2. 5 2 5 2 5 2 1 2 5 2 -2 5.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b= . 答案答案;0 1 3 解析解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=. 由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b= 0. 1 3 1 3 6.(2015北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)的解析式为,不等式f(x)0时,-x0, f(-x)=x

8、2-4,又f(-x)=-f(x), f(x)=-x2+4; 当x0时,f(x)=x2-40, -2x2,-2x0时,f(x)=-x2+40, x2,x2, 不等式f(x)g(1),则x的取值范围是() A.(0,10)B.(10,+) C.D.(10,+) 1 ,10 10 1 0, 10 D 答案答案D 解析解析g(x)=f(|x|), g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x), g(x)为偶函数. 又f(x)在(0,+)上为增函数, g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数, 当|x|越大时,g(x)越大, 若g(lgx)g(1),则|lgx|1. lgx1或lgx

9、10或0 x0时,f(x)=ex,则 f(-1)=() A.B.-C.eD.-e 1 e 1 e 答案答案D函数f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=-e. D 1-3函数f(x-1)是R上的奇函数,x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(1-x) 0的解集是() A.(-,0)B.(0,+) C.(-,2)D.(2,+) 答案答案C由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则 有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0. x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在R上单调递减,不等式f(1-x)

10、0 等价于f(1-x)-1,解得x2,故选C. C 典例典例3(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1)时,f(x)= 则f=() A.0B.1C.D.-1 (2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则 f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=. 2 42, 20, ,01, xx xx 5 2 1 2 考点二函数周期性的判断与应用考点二函数周期性的判断与应用 答案答案(1)D(2)1008 解析解析(1)因为f(x)是周期为3的周期函数, 所以f=f=f=4-2=-1, 故选D. (2)f(x+2)=f(x),

11、 函数f(x)的周期T=2, 又当x0,2)时,f(x)=2x-x2, 所以f(0)=0,f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2016)=0, f(1)=f(3)=f(5)=f(2015)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+f(2016)=1008. 5 2 1 3 2 1 2 2 1 2 规律总结规律总结 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期; (2)f(x+a)=(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个 周期;

12、(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个 周期. 1 ( )f x 1 ( )f x 2-1已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=,当2x3 时,f(x)=x,则f(105.5)=. 1 ( )f x 答案答案2.5 解析解析由f(x+2)=得f(x+4)=f(x+2)+2)=f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数, 且当2x3时,f(x)=x, f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 1 (

13、)f x 1 (2)f x 1 1 ( )f x 2.5 考点三函数性质的综合问题考点三函数性质的综合问题 典例典例4(2016北京东城(上)期中)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对 于任意x1,x20,+),0(x2x1),则() A.f(-1)f(-2)f(3)B.f(3)f(-1)f(-2) C.f(-2)f(-1)f(3)D.f(3)f(-2)f(-1) 21 21 ()()f xf x xx 答案答案D 解析解析由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),对于任意x1,x2 0,+),0,所以当x0时,f(x)为减函数,

14、所以f(3)f(2)f(1),即 f(3)f(-2)f(-1),故选D. 21 21 ()()f xf x xx D 方法技巧方法技巧 (1)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的 周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值; (2)利用函数性质解不等式问题,主要利用函数的奇偶性与单调性等将 函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解. 3-1(2016广东广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当 x(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=() A.-2B.2C.-98D.98 答案答案A因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(7)=f(7-8)= f(-1),又因为f(x)为奇函数,