复数的运算（经典实用）

1、 第3章 数系的扩充_复数 3.2 复数的运算复数的运算 1.对对虚数单位虚数单位i 的规定的规定 i 2= -1; i 可以与实数一起进行四则运算可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运并且加、乘法运 算律不变算律不变. 练习练习. 根据对虚数单位根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化的规定把下列运算的结果都化 为为 a+bi（a、b R）的形式）的形式. 3(2+i)= ； (3-i)i= ；i = ； -5= ；0= ；2-i= . 6+3i1+3i0+i -5+0i0+0i 2+(-1)i 2. 我们把形如我们把形如a+b i(其中其中 )的数的数 a、b R称为称为 复数,

2、 记作：记作： z=a+bi ， 其中其中a叫做复数叫做复数 的的 、 b叫做复数叫做复数 的的 . 全体复数集记为全体复数集记为 . z z 实部实部 z z虚部虚部C 3. 由于由于i2= = -1，知，知 i为为-1的一个的一个 、-1的另一个的另一个 ; 一般地，一般地，a(a0)的平方根为的平方根为 、 (-i)2 平方根平方根平方根为平方根为-i a ia - a (a0)的平方根为的平方根为 4. 复数复数z z=a+bi (a、b R) 实数实数 (b=0) 虚数虚数(b 0) 特别的当特别的当 a=0 时时 纯虚数纯虚数 5. 两个两个复数相等 设设z1=a+bi,z2=c+

3、di(a、b、c、d R),则则 z1=z2 , db ca 即即实部等于实部实部等于实部,虚部等于虚部虚部等于虚部. 特别地，特别地，a+bi=0 . a=b=0 注意注意:一般地一般地,两个复数只能说相等或不相等两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小而不能比较大小. 显然显然,实数集实数集R是复数集是复数集C的真子集的真子集,即即R C. 注意注意:当且仅当两个复数都是实数时当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小才能比较大小. 6.什么是复数什么是复数z的两个几何意义？的两个几何意义？ 复数的模长如何计算？复数的模长如何计算？ 1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则： (1)

4、 运算法则运算法则:设复数设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么那么 z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 即即:两个复数相加两个复数相加(减减)就是实部与实部就是实部与实部,虚部与虚部分虚部与虚部分 别相加别相加(减减).结果还是一个复数。结果还是一个复数。 (2)复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何即对任何 z1,z2,z3C,有有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例例1.计算计算)43()2()65(iii 解解: i i iii 11 )416()325( )43()2()6

5、5( 2.复数的乘法与除法复数的乘法与除法 (1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所但必须在所 得的结果中把得的结果中把i2换成换成-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的两个复数的 积仍然是一个复数积仍然是一个复数,即即: (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i. (2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法 的分配律的分配律.即对任何即对任何z1,z2,z3有有 z1z2=z2z

6、1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 实数集实数集R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律,在复数集在复数集C中中 仍然成立仍然成立.即对即对z1,z2,z3C及及m,nN*有有 zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n. .2)()( 222 abibabia | 2121 zzzz (3)复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分再把分子与分母都乘以分 母的共轭复数母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).即即 ).0()(

7、)( 2222 dici dc adbc dc bdac dicbia (5)共轭复数的乘除性质共轭复数的乘除性质: ; _ 2 _ 1 _ 21 zzzz .)( _ 2 _ 1 _ 2 1 z z z z | | | 2 1 2 1 z z z z (4)复数的一个重要性质复数的一个重要性质 两个共轭复数两个共轭复数z,z的积是一个实数的积是一个实数,这个实数等于这个实数等于 每一个复数的模的平方每一个复数的模的平方,即即z z=|z|2=|z|2. 复数的四则运算复数的四则运算 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区 别别，最

8、主要的是在运算中将最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去结合到实际运算过程中去。 例例2.计算计算 )2)(43)(21 (iii 解解: i ii iii 1520 )2)(211( )2)(43)(21 ( 例例3.计算计算 )43()21 (ii 解解: i i ii 43 21 )43()21 ( )43)(43( )43)(21 ( ii ii 25 105 43 4683 22 iii i 5 2 5 1 如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.） 设设 ,则有则有: i 2 3 2 1 . 01 ; 1 2 _ 23 事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也 有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式. _ _ . 1 1 ; 1 1 ; 1 ;2)1( 2 i i i i i i