《误差理论与数据处理》答案解读

1、误差理论与数据处理第一章绪论1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真 值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测

2、量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化)；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。1-3 试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数， 只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为18000 02”

3、 ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：18000 02 -180 =2相对误差等于：二-=-0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 606480001-6 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为 1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值真值，即： L = L- Lo已知：L= 50, L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= LA L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ,问二等

4、标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差=测得值-实际值，即：100.2 - 100.5 =- 0.3 ( Pa)1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为 20m，试求其最大相对误差。相对误差max二绝对误得值呎100%测得值20 10100%2.31-4= 8.66 10 %1-9、解：2由g上巴血，得T224 -1.042302= 9.81053m/si2.04802T2Lg/Lh 8二2T34竈（h也）进行全微分，令h =h,也，并令LIg，Uh，LT代替dg，dh，dT得从而

5、g -2二 的最大相对误差为: g h T|g maxghmaxmax2 hT=0.00005 2 迸-0.0005=1.04230 -2.0480_4=5.3625 10 %T2由g=空申，得TJ，所以I94X3.141592 X1.04220T2.04790V9.81053由，有Tmax =maxABS匚（基-）ghT2 h g2 h g1-10误差检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值 2V为最大误差，问该电压表是否合格？最大引用误差二某量程最大示值误差100%测量范围上限200% =2% 2.5% 100该电压表合格2/31-11为什么

6、在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的 范围内使用?答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差 所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我 Xmaxxms%即:AA %max =S%A们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上.1-12用两种方法分别测量 L仁50mm L2=80mm测得值各为 50.004mm 80.006mmo试评定两 种方法测量精度的高低。相对误差,50.004-50 “cc,小 “cc.L1：50mm11 100% -0.008%5080.006 -80L2：80mmI2100% =0.0075%

7、801112所以L2=80mm方法测量精度高。1 13多级弹导火箭的射程为 10000km时，其射击偏离预定点不超过0km，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为 2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？解：多级火箭的相对误差为：0.1 =0.00001 =0.001%10000射手的相对误差为：1Cm0佃=0.0002 =0.02%50m50m多级火箭的射击精度高。1- 14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm其测量误差分别为 -1Vm和一9m ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm其测量误差为一12力，试比较三种测 量方法精度的高低。相对误差I10.01%11

8、0mm 9怖12 0. 0 082% 110mm12 mI30.0 0 %1 5 0nmI2 : I1第三种方法的测量精度最高第二章误差的基本性质与处理2-1 .试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；2-2 试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实际用途有何不同。2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4 .测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.

9、34，236.39 , 236.48 , 236.47 , 236.40，是求算术平均值以及标准差。% _236 4 +。.05 +(.03)+0.11 +(.06) +(.01) +0.08 +0.07 +0-. 8= 236.43=.n=0.02122-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较2-6测量某电路电流共 5次，测得数据(单位为mA为168.41 , 168.54 , 168.59 , 168.40 ,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。-168.41 168.54 168.59168.40 168.50x =5=168.488( mA)52V

10、ii 二5 -1= 0.082( mA)S 二 0.0；2 =0.037( 口厲或然误差：R =0.674空=0.6745 汇 0.037 = 0.025(mA)平均误差：T = 0.7979宁 0.7979 0.037 = 0.030(mA)测量结果。-20.0015 20.0016 20.0018 20.001520.0011x 二52-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据(单位为mm为20.0015 ,20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定=20.0015( mm)5Vi2i d0.00

11、0255-1正态分布 p=99%时，t=2.58lim x= 2580.00025=0.0003( mm)测量结果：X 、limx =(20.0015_0.0003)mm2 7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm为20. 0015,20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差确定测量的极限误差nx li一i 4x 二n20.0015mmn、. 2Vi1 i n126 10_4 O EE 乂11 Cm yyy42.55102.5

12、5 10 =1.14 10*mm n5因n = 5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：v = n 1 = 4; a = 1 0.99 = 0.01 ,查t 分布表有：ta = 4.60极限误差为、limx 二 f-4.60 1.14 10* =5.24 10，mm写出最后测量结果L = x 、limx 二 20.0015 _5.24 10* mm2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差u = 0.004mm，若要求正态分布p=99% 时，t = 2.58测量结果的置信限为 -.05mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。；lim； = tCTn2.

13、58 0.004、n =0.005= 2.064n =4.262- 10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差b= 0.001mm,若要求测量的允许极限误差为土 0.0015mm,而置信概率 P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有-t；x1Ln 0.0015根据题目给定得已知条件，有t 0.00152二241324，其标准差分别为二1 =3/ ,二2 =13.8，试求加权算术平均值及其标准差。P2=19044:961x =24 132019044 16 961 419044961=24 1335CT =CT _XXi=3.1冬19044壯 3.019044 9612-14

14、甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角:各重复测量5次，测得值如下:甲 :7 220 ,7 30 ,7 2 35 ,7 2 20 ,7 2 15 ；do-Qd:乙 :7 2 25 ,7 225 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ;试求其测量结果。甲: X甲 =7 220 60 35 20 15=7230518.4乙：X- 7 切 25 25 20 50 45=7233一:、2-5-1（-8）2（-8）2 （-13）2（ 17）2（ 12）2= 13.513.5苓：= 3648: 67738.23 6.042- p甲 x甲p乙 x乙3648 30 6773 33x =3648 677

15、370 =7232CT- =Jx一p 甲 =8.23P甲 P乙3648= 4.873648 6773_37 232,15Xn个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。2- 15 .试证明证明：解：因为n个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差: n个测量值算术平均值的标准偏差为：已知权与方差成反比，设单次测量的权为P1,算术平均值的权为 P2,则Pl ： P2 =P2 = nP12-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为0.014m/s2。另 外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为0.022m/s2。假设这两组测量属 于同一正态总体。

16、试求此50次测量的平均值和标准差。1 11 1P1：P2=p：2- 2 :- 2=242:147* 匚 i 0.014 i 0.022 I J20 丿 I V30 丿x 二242 9.811 147 9.802242 +147:9.808(m/s2)0.01424220 242 147:0.002( m/s2)2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5, 14.6,14.9, 14.8, 15.1, 15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。X =14.96按贝塞尔公式 6 =0.263310送|Vi按别捷尔斯法二2 =1.25970.2642J

17、0(10_1)得 u 二-1 =0.0034In -1= 0.67所以测量列中无系差存在。6次是和另一个标2- 18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后 准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH：50.82, 50.83 , 50.87 , 50.89 ;50.78, 50.78 , 50.75 , 50.85 , 50.82 , 50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。使用秩和检验法: 排序:序号12345第一组第二组50.7550.7850.7850.8150.82序号678910第一组50.8250.8350.8750.89第二组50.85T=5

18、.5+7+9+10=31.5 查表 T_ = 14 T =30T T所以两组间存在系差2- 19 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7 , 15.0 , 15.2 , 14.8 , 15.5 , 14.6 , 14.9 , 14.8 , 15.1 , 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。灭=14.96按贝塞尔公式=0.263310瓦Vi|按别捷尔斯法 二2 =1.253 70.2642j10(10-1)cr2 由=1 u-12得 u - -1 =0.0034= 0.67所以测量列中无系差存在。62-20 .对某量进行 12 次测量，测的数据为 20.06 , 20.07 ,

19、20.06 , 20.08 , 20.10 , 20.12 ,20.11 , 20.14 , 20.18 , 20.18 , 20.21 , 20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误。解：(1)残余误差校核法x =20.125L = (-0.065 -0.055 -0.065 -0.045-0.025 -0.005) -(-0.015 0.015 0.055 0.055 0.085 0.065)=-0.54因为显著不为0，存在系统误差。(2 )残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系 统误差。(3) 口12瓦v|二=1.253兰

20、0.06Jn(n 1)u =工-1 =0.192u0.603所以不存在系统误差。2-22(门叢以特用则：计”冯I -bXi (u -二 u w j32715 i3ter=3x(MK27=HH11 k4O X I14i 所以它含冇相大课疥.故梅它别除.辩根撫制卜的代个删承俏咀st上逛步驟.国格爭布斯准剧上斗=2K5o4.= 0X)327 t的大小 序丼黑4*1个测HUP 孔 对悴由十=2S 5O4-2X 4h =(rHMX -心_fTmvr7=(M5 商农炼 (15.0.05 2 411 创V| 二3.1X04 ,h15,0u5)= 2 41故第u卜構值 SWW K0(*PRMR亟复上述步骤*判

21、断是否还含有粗差*狄克松准则同理判断后每次剔除一个粗差后重塑.第三章误差的合成与分配3- 1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为h =40mm, J=12mm, I3 =1.25mm，l 1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为厶h 一 07计，4Olm心一 3力4 = O.jm,、limli = 0.35m,、Iiml2 二 0.25m,、limb 二 0.205,、伽打=0.20斤。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值=|2 * 口3 * =l4)=-(-0.70.5 -0.30.1)

22、=0.4 Cm)测量误差： i =二、 lim li八J lim S J lim llim l4(0.35)2(0.25)2(0.20)2(0.20)2=_ 0.51(m)3-2 为求长方体体积V ,直接测量其各边长为a =161.6mm，b =44.5mm , c =11.2mm ,已知测量的系统误差为 a =1.2mm , Ab = -0.8mm.8= 0.5mm，测量的极限误差为6b=0.5mmc =.5mmV = abc V = f (a,b, c)、a - _0.8mm试求立方体的体积及其体积的极限误差。V0=abc =161.6 44.5 11.23=80541.44(mm )体积

23、V系统误差 V为：V =bc ；：a ac b ab ：c=2745.744(mm3) ： 2745.74(mm3)立方体体积实际大小为：V =：V0 _.IV =77795.70(mm3)亦=(色)包2+()262+)2畀abc= (be)2、J (ac)2、b2 (ab)2、./二 3729.11(mm3)测量体积最后结果表示为V -V V limV =(77795.70_ 3729.11) mm33 3长方体的边长分别为 a 1, a 2, a 3测量时：标准差均为 (T ；标准差各为 d 1、(T 2、 (T 3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：V = ai，a2，a3体

24、积的标准差应为:：V 22：V 2(一)-1 -():a2；现可求出：:V；:V；:Va2 a3 ；a a3 ；a a?-a：a?:83若:（V）2 （ j2 严）2：a1：-a2；a3(V)12(J2 打(w)2 七：a-i；a2；a3-；.一 .（aza?）2（aia3）2（aia2）2则有：f = .心2玄3)2；汀(aia3)2 (aia2)33-4测量某电路的电流I =22.5mA，电压U =12.6V，测量的标准差分别为 G = 0.5mA,6 =.1V，求所耗功率 P=UI 及其标准差 6。P=UI =12.622.5 = 283.5(mw)P = f(U,l)；U、丨成线性关系

25、.订1 =1Su2f . 22 f f .（万）i2（詡（百）吓1.：f.:UCF：lIU6 =22.5 0.112.6 0.5= 8.55（ mw）3- 9 .测量某电路电阻 R两端的电压U，按式1= U/R计算出电路电流，若需保证电流的误差 为0.04A，试求电阻R和电压U的测量误差为多少？解 :在I=U/R式中，电流I与电压U是线性关系，若需要保证电流误差不大于 0.04A，则要保证电压的误差也不大 于0.04択。312 按公式V=n r2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm, h约为20cm,要使体积的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为223

26、V h懐 r h =3.14 22251.2cm根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：a1%V即厂-V 1% =251.2 1% =2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：匚1二也丄7.007cm2/ 汁 1.41 2二hr测定h的误差应为:2.5112 二 0.142cm1.41 二 r3-14对某一质量进行 4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6 , 429.2 , 426.5 , 430.8。已知测量的已定系统误差厶-2-6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。序号极

27、限误差/g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81428.6429.2426.5430.8x =4428.775(g) - 428.8(g)最可信赖值x 二X - 厶=428.8 2.6 =431.4(g).i 吕 JXi4 i 1 : Xi:-4.9(g)测量结果表示为：x=X= =(431.4 _4.9)g第四章测量不确定度4 1某圆球的半径为r,若重复10次测量得r c r =(3.132 0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。解：求圆球

28、的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D=2兀r其标准不确定度应为:=0.0314cm确定包含因子。查 t分布表tom ( 9)= 3.25，及K= 3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圆球的体积的测量不确定度43圆球体积为：Vr3其标准不确定度应为：u =花纤=碰4 讥= J16 汇 3.141592 汉 3.1324 汉 0.0052 =0.616确定包含因子。查 t分布表to.oi ( 9)= 3.25，及K= 3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.

29、0024-2 .望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距fl c 1= (19.8 0.10) cm 目镜的主焦距f2 (T 2= (0.800 0.005 ) cm求放大率测量中由f1、f2引起的 不确定度分量和放大率D的标准不确定度。4-3 .测量某电路电阻R两端的电压U,由公式I=U/R计算出电路电流I ,若测得U(T u= (16.50 0.05 ) V, R c R= (4.26 0.02 ) Q、相关系数 p UF=-0.36,试 求电流I的标准不确定度。4- 4某校准证书说明，标称值101的标准电阻器的电阻R在20 C时为 10.0 0 0 7仇21 2 90 (P=99%

30、),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的 不确定度。由校准证书说明给定.属于B类评定的不确定度TR 在10.000742 0-129 呛，10.000742 0+129 40范围内概率为 99% 不为 100%.不属于均匀分布，属于正态分布a =129 当 p=99%时，Kp =2.58Kp1292.58=50宀）4- 5在光学计上用 52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：h =40mm，I2 NOmm，I3 = 2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过-。45%、-0.30怙、-0.25% (取置信概率p=99.

31、73%的正态分布)，求该量块组引起的测量不确定度。52.5mm l 40mml2 =10mm I3 =2. 5mm/ p =99.73%Kp =3U|l1a 0.45kp3= 0.15(5)Ul2a 0.30 =0.10(5)kp 3l3a.25 =0.08em)kp3UlULUl?Ub.0.1520.1020.082= 0.20(m)第五章线性参数的最小二乘法处理3x y = 2.9I5-1测量方程为x-2y=0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为2x 3y = 1.9W =2.9 -(3x y) v2 =0.9 -(x -2y)V3 =1.9-(2x-3y)列正规方程nn

32、n为 ai1ai1x* ai1ai2y = ai1lii仝iTnnnE 已2&必+艺日22丫 =送a2hi 1i Ai A代入数据得14xf13.4 解得-5x 14y - -4.6x = 0.962y =0.015W =2.9 -(3 0.9620.015) = -0.001将 x、y 代入误差方程式v2 =0.9-(0.962 -2 0.015) =-0.032v3 = 1.9 - (2 0.962 -3 0.015)= 0.021测量数据的标准差为= 0.038求解不定乘数14di - 5d2 =1dudi2 I . 5dii 14di2 =0d?214d2i 5d?2 = 0V-5d21 14d22 二 1解得 du 二 d?2 二 0082x、y 的精度分别为；x =二 du =0.01；y = ；. d?2 =0.015-7不等精度测量的方程组如下:1 x - 3y - -5.6, p - 14x y = 8.1, p2 = 22x - y = 0.5, P3 = 3试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。