高等数学二重积分详解

1、.1 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 一一 直角坐标系中的计算方法直角坐标系中的计算方法 二二 极坐标系中的计算方法极坐标系中的计算方法 .2 一 直角坐标系中的计算方法 计算二重积分的基本思想：计算二重积分的基本思想：化为两次定积分化为两次定积分 o x y ab c d 分别用平行于分别用平行于x轴和轴和y 轴的直线对区域进行分轴的直线对区域进行分 割，如图。割，如图。 x y 可见，除边缘可见，除边缘 外，其余均为矩形，其面外，其余均为矩形，其面 积为积为 yx 可以证明：可以证明： DD dxdyyxfdyxf),(),( 其中其中dxdy称为面积元素。称为面积元素。 .3

2、 利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分 （1 1）当积分区域为）当积分区域为 以下均设函数以下均设函数 且在且在D上连续。上连续。0),(yxf )()(, 21 xyxbxa 如图所示：如图所示： o x y ab )( 1 xy )( 2 xy D )( 1 xy )( 2 xy ox y ab z D ),(yxfz 相应的曲顶柱体如右图。相应的曲顶柱体如右图。 .4 在区间在区间a，b 内任取一点内任取一点x，过此，过此 点作与点作与yoz面平行面平行 的平面，它与曲顶的平面，它与曲顶 柱体相交得到一个柱体相交得到一个 一个曲边梯形：一个曲边梯形： 底为底为)()( 21 xyx

3、 高为高为),(yxfz x 其面积为其面积为 )( )( 2 1 ),()( x x dyyxfxS 所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式， 得得 b a x x b a dxdyyxfdxxSV )( )( 2 1 ),()( )( 1 xy )( 2 xy ox y ab z D ),(yxfz .5 )( )( )( )( 2 1 2 1 ),(),(),( x x b a b a x x D dyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf 于是，得二重积分的计算公式：于是，得二重积分的计算公式： 类似地，若积分区域为类似地，若积分区域为

4、)()(,: 21 yxydycD 如右图所示，如右图所示， o x y D )( 1 yx )( 2 yx c d 则二重积分的计算则二重积分的计算 公式为公式为 )( )( )( )( 2 1 2 1 ),( ),(),( x x b a b a x x D dyyxfdx dxdyyxfdxdyyxf .6 总结：总结：二重积分的计算就是转化为二次定积二重积分的计算就是转化为二次定积 分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关 键。这主要由积分区域键。这主要由积分区域D所确定。所谓所确定。所谓 先积线，后积点先积线，后积点 以第一种情况为例加以说明：

5、以第一种情况为例加以说明： 如图：如图： o x y ab )( 1 xy )( 2 xy D x 区间区间a,b是是x的取值范围。的取值范围。 在此区间内任取一点在此区间内任取一点x， 过该点自下而上作一条平行过该点自下而上作一条平行 于于y轴的射线，轴的射线，先穿过的边界先穿过的边界 )( 1 xy是是y的积分下限，的积分下限， .7 后穿过的边界后穿过的边界 是是y的积分上限。的积分上限。)( 2 xy 第二种情形可同理讨论。第二种情形可同理讨论。 对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：如下图： ox y D1 D2 D3 ox y

6、 D1 D3D2 .8 例例1 计算计算 D ydxdyxI, 2 D为直线为直线 与抛物线与抛物线 xy 2 xy 所围的区域。所围的区域。 不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。 法一法一 先先y后后x。 解：解：积分区域积分区域D如图。如图。 1 ox y D 将积分区域投影到将积分区域投影到x轴上，轴上， 得到得到x的范围的范围0，1. 在在0，1上任取一点上任取一点x， 过该点作一条平行于过该点作一条平行于y轴的射线，轴的射线， x 先穿过的边界先穿过的边界 作作y的积分下限，的积分下限， 2 xy 后穿过的边界后穿过的边界 作作y的上的上xy

7、限，这样就有限，这样就有 .9 xyxxD 2 , 10: 所以所以 1 0 1 0 64222 1 0 35 1 )( 2 1 2 1 2 2 dxxxyxydyxdxI x x x x 法二法二 ox y D 将积分区域投影到将积分区域投影到y轴上，轴上， 得到得到y的范围的范围0，1. 1 在在0，1上任取一点上任取一点y， 过该点作一条平行于过该点作一条平行于x轴的射线，轴的射线， y 则先穿过的边界则先穿过的边界 为为x的下限，的下限，yx 后穿过的边界后穿过的边界 yx 为为x的上限，的上限，于是于是 .10 ., 10:yxyyD 所以所以 1 0 1 0 4 2 5 32 1

8、0 35 1 )( 3 1 3 1 dyyydyyxydxxdyI y y y y 小结：小结：在二重积分的计算中，有时积分次在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。 .11 例例2 将将 化成二次积分，化成二次积分， D dyxfI),( 其中其中D由由 xyxy2,4 2 围成。围成。 解：解方程组解：解方程组 xy xy 2 4 2 得这条直线和抛物线

9、的交点为得这条直线和抛物线的交点为 (8,4),(2,-2)，如右图。，如右图。 ox y xy2 2 4 xy )2, 2( )4 , 8( 1）先对）先对y后对后对x积分：积分： 8 得得xyxxxyxxD24, 8222, 20:及 所以所以 x x x x dyyxfdxdyyxfdxI 2 4 8 2 2 2 2 0 ),(),( .12 ox y xy2 2 4 xy )2, 2( )4 , 8( 2）先对）先对x后对后对y积分：积分： 得得 4 2 , 42: 2 yx y yD 如图。如图。 -2 4所以所以 D dyxfI),( 4 2 4 2 2),( y y dxyxfd

10、y 小结：显然小结：显然1）较）较2）麻烦。）麻烦。 .13 例例3 计算计算 其中其中D由由 围成。围成。 , 2 2 D y dxdyexI, 0 x xyy 及1 解：此三条直线的交点分别为解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。，所围区域如右。 o x y 1 xy 1y先对先对x后对后对y积分：积分： dxexdyI y y 0 2 1 0 2 1 0 0 3 3 1 2 dyex yy e dyey y 3 1 6 1 3 1 1 0 3 2 注意：注意：若先对若先对y后对后对x积分：积分： .14 1 2 1 0 2 x y dyexdxI

11、的原函数无法用初等函数表示出来，因而的原函数无法用初等函数表示出来，因而 此二重积分不能计算出来。此二重积分不能计算出来。 2 y e 例例4 交换下列二重积分的积分次序：交换下列二重积分的积分次序： 2 2 0 2 0 2 2 0 0 2 ),(),( xx dyyxfdxdyyxfdxI 解：这是先对解：这是先对y后对后对x的积分，积分区域为的积分，积分区域为 2 2 0, 20 2 2 0, 02: x yx x yxD 及 可知积分区域由可知积分区域由 2 2 , 2 2 , 0 x y x yy 所围成，如下图：所围成，如下图： .15 ox y 1 2 -2 故改变积分次序后得故改

12、变积分次序后得 y y dxyxfdyI 22 22 1 0 ),( 二、极坐标系中的计算方法 1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中 的二重积分的二重积分 如图所示的极坐标系中如图所示的极坐标系中 的积分区域的积分区域D， A o 过极点过极点O引引 射线和以极点为圆心的同心射线和以极点为圆心的同心 圆，圆， 它们将区域它们将区域D分成许多分成许多 .16 小区域，小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域除去含有边界点的小区域，其余小区域 i 的面积为：的面积为： A o i i i r ii rrr i rr ii i iiiiii rrr 22 2

13、 1 )( 2 1 iiii rrr)2( 2 1 iii rr 在圆周在圆周 上任取一点上任取一点 ， i rr ),( ii r i r ),( ii r 其中其中, iiii 设其直角坐标为设其直角坐标为 ，),( ii 它们的关系为它们的关系为 iiiiii rrsin,cos 所以所以 .17 iiiiiii n i iii rrrrff )sin,cos(lim),(lim 0 1 0 因此因此 DDD rdrdrrfdxdyyxfdyxf)sin,cos(),(),( 此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系 下的二重积分，下的二重

14、积分， 其中其中 为极坐标系中的面积元素。为极坐标系中的面积元素。rdrd 2 化为二次积分化为二次积分 一般均是先对一般均是先对r积分再对积分再对积分，因而主要是积分，因而主要是 确定确定r r、 的积分上下限，分情况讨论：的积分上下限，分情况讨论： .18 （1）极点在区域）极点在区域D外，如图：外，如图： o A D )( 1 r )( 2 r )()(,: 21 rD 则则 )( )( 2 1 )sin,cos()sin,cos( rdrrrfdrdrdrrf D （2）极点在区域）极点在区域D的边界上，的边界上， 如图。如图。 o A D )(r )(0,:rD 则则 )( 0 )s

15、in,cos()sin,cos( rdrrrfdrdrdrrf D .19 （1）极点在区域）极点在区域D内，如图：内，如图： o A )(r )(0,20:rD 则则 )( 0 2 0 )sin,cos( )sin,cos( rdrrrfd rdrdrrf D 例例5 计算计算 ， D dyx)( 22 其中其中D： . 41 22 yx 解：积分区域是如图所示的解：积分区域是如图所示的 环域，用极坐标计算方便。环域，用极坐标计算方便。 ox y 12 . 21,20:rD 因而因而 .20 2 15 4 15 2 )( 2 1 3 2 0 322 drrd drdrdyx DD 例例6 计算计算 ，其中，其中 D dyxI 22 4 .2: 22 xyxD 解：积分区域是如图所解：积分区域是如图所 示的圆域。示的