高等数学牛顿—莱布尼茨公式（经典实用）

1、1 1 . . 变上限的定积分变上限的定积分 6.3牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2. 2. 牛顿牛顿莱布尼茨公式公莱布尼茨公式公 式式 1. 1. 变上限的定积分变上限的定积分 如果如果 x 是区间是区间 a, b 上任意一点，定积分上任意一点，定积分 x a ttfd)( 表示曲线表示曲线 y = f (x) 在部分区间在部分区间 a, x 上曲边梯形上曲边梯形 AaxC 的面积，的面积，如图中阴影部分所示的面积如图中阴影部分所示的面积. 当当 x 在在 区间区间 a, b 上变化时上变化时, 阴影部分的曲边梯形面阴影部分的曲边梯形面 积也随之变化，积也随之变化， 所以变所以变 上限定

2、积分上限定积分 x a ttfd)( y x y = f (x) axbO AC B 是上限变量是上限变量 x 的函数的函数.记作记作 即即 F(x) x a ttfd)( x a ttfxd)()(则 )(x 变上限的积分变上限的积分有下列重要性质有下列重要性质: : 定理定理1 若函数若函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续上连续， 则变上限定积分则变上限定积分 在区间在区间 a, b 上可导上可导，并且它的导数等于被积函数，并且它的导数等于被积函数， 即即 x a ttfxd)()( x a ttfxd)()( )()(xfx )(d)(xfttf dx d x a 或 积分上

3、限函数求导定理积分上限函数求导定理 ,)(上连续在闭区间如果baxf x a ttfxd)()(则 定理2 (原函数存在定理） a b )(xfy O x y x )(x .,)(上的一个原函数在是baxf 例例 1 (1) 2 1 ( )e d , x t xt 已知求求 (x). 解解 22 1 ( )e de . x tx xt (2) (2) 求求 2 41 1 1 x d dt dx t 解解 2 2 42481 112 () 11 ()1 x dx dtx dx txx 变上限的积分求导：变上限的积分求导： b xu ttf x )( d)( d d )2( )( d)( d d

4、) 1 ( xu a ttf x )()(xuxuf )( )( 2 1 d)( d d ) 3( xu xu ttf x )()()()( 2211 xuxufxuxuf )()(xuxuf 例 见书 定理定理 如果函数如果函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上连续上连续， F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 a, b 上任一原函数上任一原函数， ).()(d)(aFbFxxf b a 那么那么 为了今后使用该公式方便起见，把为了今后使用该公式方便起见，把 上上 式右端的式右端的 ,)()()( b a xFaFbF记作记作 这样这样 上面公式就写成如下形式：上面公式就写成如下形

5、式： .( )( )( )( ) b b a a f xxF xF bF a d “NewtonLeibniz“NewtonLeibniz公式公式” 2. 2. 牛顿牛顿莱布尼茨公式公莱布尼茨公式公 式式 例例 3 计算下列定积分计算下列定积分. 解解 ;d 1 1 )1( 1 0 2 x x 3 0 (2)sind .x x x x d 1 1 )1( 1 0 2 1 0 arctanx ; 4 0arctan1arctan 3 0 (2)sindx x 3 0 cosx cos( cos0) 3 11 1 22 例例4. 计算 . 1 1 2 dx x 例例6. 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin 的面积 . y ox xysin 例例5. 计算.|2| 3 1 dxx 例 见书 内容小结内容小结 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有 1. 微积分基本公式 xxf b a d)( 积分中值定理 )(abF)()(aFbF 微分中值定理 )(abf 牛顿 莱布