方向导数与梯度（经典实用）

1、方向导数与梯度 第七第七 节节 一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度 方向导数与梯度 l ),(yxP 一、方向导数一、方向导数 定义定义: 若函数若函数),(yxf f 0 lim 则称则称 l f l f 为函数在点为函数在点 P 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数. ),(),( lim 0 yxfyyxxf 在点在点 ),(yxP 处处 沿方向沿方向 l (方向角为方向角为 ) , 存在下列极限存在下列极限: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 P 记作记作 . 22 1 yxP

2、P 记记 方向导数与梯度 处处在在点点若若函函数数),(),(yxPyxf ),(yxP l 定理定理: 则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在 , f l f 0 lim coscos y f x f l f .,的方向角的方向角为为其中其中l 证明证明: 由函数由函数),(yxf )( oy y f x x f f coscos y f x f 且有且有 )( o 在点在点 P 可微可微 , 得得 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P 故故 coscos y f x f ,可可微微 方向导数与梯度 ),(yxf二二元元函函数

3、数 l f coscos y f x f 的的方方向向角角为为方方向向其其中中l , x f l f 特别特别: : 当当 l 与与 x 轴同向轴同向 有有时时, 2 ,0 当当 l 与与 x 轴反向轴反向 有有时时, 2 , x f l f 方向导数与梯度 解解: 1 )0, 1( 2 )0, 1( y e x z 22 )0, 1( 2 )0, 1( y xe y z cos2cos1 l z 2 2 1, 1 PQl即即为为方方向向 , 2 1 cos , 2 1 cos l f coscos y f x f 方向导数与梯度 例例2. 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量

4、沿向量zyxu 2 3), 1,2( l 的方向导数的方向导数 . , 14 2 cos P l u )1, 1, 1( 14 6 , 14 1 cos 14 3 cos 14 2 2 zyx 14 1 2 zx 14 3 2 yx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为 l f coscoscos z f y f x f 方向导数与梯度 例例2. 求函数求函数 在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线 22 3yyxz1 2 xy 朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数. 解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方

5、程表示为 2 )2, 1 ( x x Pl z 它在点它在点 P 的的切向量为切向量为 , 17 1 cos 17 60 xo y 2 P 1 2 xy xx 17 1 6xy 17 4 )23( 2 yx )3,2( )4, 1 ( 17 4 cos 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向导数与梯度 例例2. 设设 是曲面是曲面n在点在点 P(1, 1, 1 )处处 指向外侧的法向量指向外侧的法向量, 解解: 方向余弦为方向余弦为 , 14 2 cos , 14 3 cos 14 1 cos 而而 P x u , 14 8 P y u 14 P z u P n

6、u 同理得同理得 )1,3,2(2 632 222 zyx 方向方向的方向导数的方向导数. P zyx)2,6,4( 14 6 7 11 1143826 14 1 P yxz x 22 86 6 z yx u 22 86 在点在点P 处沿处沿求函数求函数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 n n 方向导数与梯度 问题问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该

7、点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？ 问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行 ?沿沿哪哪一一方方向向变变化化率率最最大大函函数数在在点点 P 方向导数与梯度 二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式 coscoscos z f y f x f l f 令向量令向量 这说明这说明 方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向 模模 : f 的最大变化率

8、之值的最大变化率之值 方向导数取最大值：方向导数取最大值： 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 z f y f x f G, )cos,cos,(cos 0 l ),cos( 00 lGlG )1( 0 l 0 lG l f , 0 方向一致时方向一致时与与当当Gl :G G l f max 方向导数与梯度 1. 定义定义 ,adrgf即即 fadrg 同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxP y f x f j y f i x f f,grad 称为函数称为函数 f (P) 在点在点 P 处的梯度处的梯度 z f y f x f ,k z f j

9、y f i x f 记作记作 (gradient), 在点在点处的梯度处的梯度 G 向量向量 变变化化最最快快的的方方向向方方向向就就是是 fgradf 最最大大变变化化率率的的值值就就是是 fgradf 方向导数与梯度 解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(),( z u y u x u zyxgradu )6, 24, 32(zyx 故故kjigradu 1225)1, 2, 5()2 , 1 , 1( 方向导数与梯度 内容小结内容小结 1. 方向导数方向导数 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP ), 的方向导数为的方向导数为 coscos y f x f l f

10、沿方向沿方向 l (方向角为方向角为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角 ), 为为的方向导数为的方向导数为 coscoscos z f y f x f l f 方向导数与梯度 2. 梯度梯度 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为 ),(grad yx fff 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为 z f y f x f f,grad 方向导数与梯度 练

11、习练习 1. 设函数设函数 z yxzyxf 2 ),( (1) 求函数在点求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线 12 3 2 tz ty tx 在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的处的梯度梯度与与(1)中中切线方向切线方向 的夹角的夹角 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向导数与梯度 ,),( 2z yxzyxf曲线曲线 12 3 2 tz ty tx 1. (1)在点在点 )3,4, 1 ( 1d d , d d , d d tt z t y t x )1 , 1 , 1( coscoscos zyx M fff l f 26 6 解解: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数 l M (1,1,1) 处切线的方向向量处切