根轨迹绘制的基本规则

1、1 第二节 根轨迹绘制的基本规则 2 2、根轨迹的对称性： 一般物理系统特征方程的系数是实数，其根 必为实根或共轭复根。即特征根位于复平面的 实轴上或对称于实轴。 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下 面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的 关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将 有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根 轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针 对参数Kg的180度根轨迹的性质。 根轨迹的连续性和对称性 1、根轨迹的连续性： 闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的 函数。当Kg从0到无穷变化时，这些系数是连续 变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根 轨迹曲线是连续曲线。

2、 一、根轨迹绘图的基本规则 3 4、根轨迹的起点和终点： Kg= 0时为起点， Kg= 时为 终点。 根轨迹的支数和起始点 3、根轨迹的支数： 当Kg= 0时，只有s = pj (j = 1n) 时，上式才能 成立。而pj是开环传递函数的极点，所以根轨 迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点， 分别是n支根轨迹的起点。 n阶特征方程有n个根。当Kg 从0到无穷大变化时 ， n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。 即根轨迹的支数等于系统阶数。 1 )( )( 1 1 j n j m i ig ps zsK 由根轨迹方程 得 gm i i j n j K zs ps 1 1 )( )( 根轨迹

3、起始于开环极点，终止于开环零点。 4 0 1 limlim )( )( lim 1 1 mn s n m s j n j m i i s ss s ps zs 根轨迹方程左边 0 1 lim g K K g 根轨迹方程右边 我们称系统有nm个无限远零点。有限值 零点加无穷远零点的个数等于极点数。 根轨迹的起点和终点 当Kg= 时， s = zi (i = 1m) ，上式成立。 zi是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n 阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。 若nm，那么剩余的n-m个终点在无穷远处。 1 )( )( 1 1 j n j m i ig ps zsK 由根轨迹方程 得 g

4、j n j m i i K ps zs 1 )( )( 1 1 由根轨迹方程知：当s时 5 根轨迹的渐近线 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统 的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共 有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位 可由渐近线决定。 g m i i j n j K zs ps 1 1 )( )( 由根轨迹方程可得： g m m m n n n m i i j n j K bsbsbs asasas zs ps 01 1 1 01 1 1 1 1 )( )( n j jn pa 1 1 m i im zb 1 1 式中 ， 6 根轨迹的渐近线 g mn mn mn Ksbas

5、 1 11 )( 当Kg，由于m0的点在根轨迹上，所以-0.845是 分离会合点。 43 48 gp K 6 p K 079. 3 33 16 845. 0 g K 分离点 2 0 j 1 2 1 3 2 3 1 0 g K0 g K 5 10 K K g 1 2 K Kg 5 . 0 1 K Kg 5 10 K K g 1 2 K Kg 44 例开环传递函数为： 画根轨迹。 )6)(4)(2( )( ssss K sG g k 135 45 4 180) 12( k q 渐近线 3 4 12 4 6420 解:求出开环零极点 ，即： 6420 3321 pppp， 实轴上的根轨迹：6, 4

6、2,0 0484412 234 g Kssss 求与虚轴的交点，此时特征方程为 将 代入得 ： wjs 0484412 234 gp Kjjwwww 044 24 gp Kww 04812 3 ww 2 0 w w 2160 00 w w gp K 2 00 3 10 w w p K 16 236.5 764.0 53 93 g g K K s 求分离会合点：由特征方程可得 )484412( 234 ssssKg 0)4888364( 23 sss ds dK g 只有Kg0的点在根轨迹上。 45 )6)(4)(2( )( ssss K sG g k )4)(2( )( sss K sG g

7、k 160 gp K 3 10 p K 16 236. 5 764. 0 g K 分离点 48 gp K 6 p K 079. 3 33 16 845. 0 g K 分离点 46 增加零点对根轨迹的影 响 一般情况下，在原开环传递函数零极点的 左边增加零点会使原根轨迹向左半部移动，举 例说明如下。 例开环传递函数为： 画根轨 迹。 )2( )4( )( ss sK sG g k 渐近线只有一条，即负实轴。 解:求出开环零极点 ，即： 420 21 zpp， 实轴上的根轨迹：(, 4 2,0 04)2( 2 gg KsKs 求与虚轴的交点，此时特征方程为 将 代入得 ： wjs 04)2( 2

8、gpg KKjww 04 2 gp Kw0)2(w g K0w 0 gp K 47 657.1183.6 343.017.1 224 g g K K s 求分离会合点：由特征方程可得 4 2 2 s ss Kg 0 )4( 88 2 2 s ss ds dK g 可见这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合 点。 与无零点根 轨迹比较可 见根轨迹向 左半平面弯 曲和移动。 可以证明该 根轨迹在复 平面内是圆 。 48 移动零点和极点对根轨 迹的影响 移动零点对根轨迹的影 响例开环传递函数 为： 画根轨迹。 )10( )( 2 ss K sG g k 这是结构不稳定 系统的根轨迹 为了让该系统稳 定，则应加入比 例+微分控制器 ，相当于加入一 个零点。 下面讨论零点为 不同值对根轨迹 的影响 49 )10( )5( )( 2 ss sK sG g k )10( )3( )( 2 ss sK sG g k 50 )10( )3( )( 2 ss sK sG g k )10( )1( )( 2 ss sK sG g k 51 移动极点对根轨迹的影 响 )10( )1( )( 2 ss