2018年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.已知集合A= x|xa ， B= x|1 x 2 且 A? RB，则实数a 的取值范围是（）A. （ ， 1B. （ -， 1）C. 2 ，+）D. （ 2，+）2. 某人到甲、 乙两市若干小区调查空置房情况， 调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图， 则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（）A.4B.3C.2D.13.在复平面内，设z=1+ i（ i 是虚数单位），则复数+z2 对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三

2、象限D. 第四象限4. 小明从甲地去乙地跋山涉水共走了 2500 米，其中涉水路段 x 米他不小心把手机丢在途中，若手机掉在水里，就找不到了，若不掉在水里，则能找到已知该手机能被找到的概率为，则涉水长度为（）A. 1750 米B. 1250 米C. 750 米D. 500 米5.已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.6.满足条件的目标函数z=x2+y2 的最大值为（）A.B.C. 2D. 47. 已知点及抛物线 x2=-4 y 上一动点P（x，y），则 |y|+|PQ|的最小值是（）A.B. 1C. 2D. 38. 设函数 f（ x） =a-

3、x-kax（a 0 且 a1）在（ - ， +）上既是奇函数又是减函数，则g（ x）=log a（ x+k）的图象是（）第1页，共 19页A.B.C.D.9. 设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm，则“ ”是“ ab”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n（ modm），例如 10=4 （mod6），如图程序框图的算法源于我国古代孙子算经中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 a=2， b=3， c=5，则输出的 N=（

4、）A. 6B. 9C. 12D. 21ABC中，D是边AC上的点， 且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC11. 如图，在 的值为（）A.B.C.D.12.已知函数f（ x） =， g（ x）=|A-2|?sinx（ xR），若对任意的1、 x2Rf x1） g（ x2），则实数 A 的取值范围为（）x ，都有（第2页，共 19页A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.平面向量与 的夹角为60 ， =（ 2， 0）， | |=1，则 | +2 |等于 _14. 若函数 f（ x）=ln x+ax 在区间 （ 1，2）上单调递增， 则实数 a 的取值范围

5、是 _15.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 _16. 关于函数 f（ x） =cos2x-2 sinxcosx，下列命题：若存在 x1， x2 有 x1-x2=时， f（x1） =f（ x2 ）成立； f（ x）在区间上是单调递增；函数 f（ x）的图象关于点成中心对称图象；将函数f（ x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2 x 的图象重合其中正确的命题序号_（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 等差数列 an 的各项均为正数， a1=3 ，前 n 项和为 Sn ， bn 为等比数列， b1=

6、1，且b2S2=64， b3 S3=960（ 1）求 an 与 bn；（ 2）求和：18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， BAD=60 ，AB=2， PD =，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点（ ）证明：平面EAC平面 PBD ；（ ）若 PD平面 EAC，求三棱锥P-EAD 的体积第3页，共 19页19. 某高校在2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示组号分组频数频率第 1 组160 ，165）50.050第2组165，1700.350）第3组170，

7、17530）第 4组175 ，180）200.200第 5 组180 ，185）100.100合计1001.00（ 1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（ 2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、 4、5 组中用分层抽样抽取6 名学生进入第二轮面试，求第3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率第4页，共 19页20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+ =1a b 0）的离心率为，且过点P（

8、（，）（ ）求椭圆 C 的方程；（ ）过原点的直线与椭圆C 交于 A、B 两点（ A， B 不是椭圆 C 的顶点），点D在椭圆 C 上，且 AD AB，直线 BD 与 x 轴交于 M 点，设直线 BD ，AM 斜率分别为k1， k2，证明存在常数使得 k1=k2，并求出 的值21. 设 a，bR，|a| 1已知函数 f（ x）=x3 -6x2-3a（ a-4）x+b， g（ x）=exf（ x）（ ）求 f（ x）的单调区间；（ ）已知函数 y=g（ x）和 y=ex 的图象在公共点（ x0， y0）处有相同的切线，（ i）求证： f（ x）在 x=x0 处的导数等于 0；（ ii）若关于x

9、的不等式g（ x） ex 在区间 x0-1， x0+1 上恒成立，求b 的取值范围22. 已知曲线 C1 的极坐标方程为=4cosC2的方程是4x2 2，曲线+y =4，直线 l 的参数方程是：（ t 为参数）（ I）求曲线 C1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；（ ）求曲线 C2 上的点到直线 l 距离的最小值第5页，共 19页23.已知函数f（ x） =|x-2a|+|x+ |（ 1）当 a=1 时，求不等式f （x） 4 的解集；（ 2）若不等式f（x）m2-m+2对任意实数x 及 a 恒成立， 求实数 m 的取值范围第6页，共 19页答案和解析1.【答案】 B【解析】为x 2，所

10、以?RB=，解：因 B=x|1由 A=x|x a，且A? RB，得 a1，故选：B由 B=x|1 x 2，得?RB=，由A ? RB，得a1，得解本题考查了集合的包含关系及其运算， 补集的运算，属简单题2.【答案】 A【解析】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大依次 为60，73，74，79，81，82，87，91，中位数是（79+81）=80；乙组数据从小到大依次 为69，74，75，76，82，83，90，中位数是 76；甲、乙两组数据的中位数之差 为 80-76=4故选：A由茎叶图写出甲、乙组数据的中位数，计算它们的差即可本题考查 了利用茎叶 图求中位数的 应用问题 ，是基础题 3.【答案】

11、 A【解析】解：z=1+i，2+（1+i2=1-i+2i=1+i ， +z =）=对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A根据复数的四则运算进行化简 结合复数的几何意义即可得到结论，本题主要考查复数的几何意 义，利用复数的基本运算 进行化简是解决本 题的关键第7页，共 19页4.【答案】 C【解析】设长度为则= ，解： 涉水x 米， 手机被找到的概率 P=解得 x=750故选：C设涉水路段 x 米，根据几何概型的概率公式列方程计算本题考查了几何概型的 应用，属于基础题5.【答案】 D【解析】椭圆，解：焦点为（4，0），-（4，0），离心率e=，双曲线离心率为- =2，设双曲线中 c=4，可

12、得 a=2，可得 b=2，故双曲线的渐近线方程为：y=故选：D求出椭圆的焦点坐 标和离心率，进而求得双曲 线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程 组，求得 a 和 b，则双曲线的渐近线方程即可本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的渐近线方程考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握6.【答案】 D【解析】解：由已知得到可行域如 图：目标函数 z=x2+y2 的几何意 义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值，由图得知，A 是距离原点最 远的点，由得到 A （0，2），所以目标函数 z=x2+y2 的最第8页，共 19页大值为 02+22=4；故选：D由已知画出可行域，利用目 标函数的几何意 义求

13、最大值本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意 义求最值是解答此 类题目的关键7.【答案】 C【解析】解：抛物线 x2=4y 的准线是 y=1，焦点 F（0，-1）设 P 到准线的距离 为 d，则y+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|1- |FQ|-1=3-1=2（当且仅当 F、Q、P 共线时取等号）故 y+|PQ|的最小值是 2故选：C抛物线的准线是 y=1，焦点F（0，-1）设 P到准线的距离为 d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|1-|FQ|-1，利用当且仅当 F、Q、P 共线时取最小值，从而得出故 y+|PQ|

14、的最小值本小题主要考查抛物线的定义、不等式的性质等基础知识，考考查数形结合思想、化归与转化思想，解答关键是合理利用定 义，属于中档题 8.【答案】 C【解析】解 f（x ）=a-x-kax（a 0，a1）在R 上是奇函数，f（0）=1-k=0 ，k=1，又 f（x ）=ax-a-x 为减函数，0a1，g（x ）=loga（x+1），定义域为x|x -1 ，且是减函数，故选：C由函数 f（x）=a-x-kax，（a0，a1）在（-，+）上既是奇函数，又是增函数，则第9页，共 19页由复合函数的性 质，我们可得 k=1，0a1，由此不难判断函数的 图象若函数在其定 义域为为奇函数，则 f（-x）+

15、f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则 f（-x）-f （x）=0，这是函数奇偶性定 义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数-减函数 =增函数也是解决本 题的关键9.【答案】 A【解析】解：bm，当 ，则由面面垂直的性 质可得 ab 成立，若 ab，则 不一定成立，故 “”是“ab”的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性 质即可得到 结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用 线面垂直的性 质是解决本 题的关键10.【答案】 C【解析】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3 的最小公倍数，再除以 5，余数为 2，故 N=12

16、，故选：C模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3 的最小公倍数，再除以 5，余数为2，即可得出结论 本题主要考查了循环结构的程序框 图，正确理解每次循环得到的 mod（n，i）的值是解题的关键，属于基础题11.【答案】 D【解析】设则题意可得：BC=2a，AB=AD=a，解：BD=a， 由在 ABD 中，由余弦定理得：cosA=，第10 页，共 19页sinA=，在 ABC 中，由正弦定理得，=，即=，解得：sinC=，故选：D设 BD=a，则由题意可得：BC=2a，AB=AD=a，利用余弦定理表示出 cosA，把三边长代入求出 cosA 的值，进而确定出 sinA 的值，由AB ，BC，以

17、及 sinA的值，利用正弦定理求出 sinC 的值即可此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数 间的基本关系，熟练掌握定理是解本 题的关键12.【答案】 C【解析】对、x R，都有 f（x）g（x）?f（x）g（x），解： 任意的 x1 212maxmin注意到，又g（x）=|A-2|sinx -|A-2|，故故选：C对、x别值即可任意的2R，都有 f（x1）g（x ） f（x ） g（x） ，分 求出最x12 ?maxmin得出本题考查了函数的 单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题13.【答案】 2【解析】解：=（2，0），|=1，

18、|+2|=，又平面向量与的夹角为 60，|=1，|+2|=2，故答案为：2第11 页，共 19页由题设条件先求出向量的模，再由数量积运算公式求出 |+2|的值本题考查向量的数量 积的运算性 质及向量的数量 积的定义，属于基本运算题14.）【答案】 -【解析】解：f（x ）=lnx+ax，（x0），f （x）=+a，若函数 f（x）=lnx+ax 在区间（1，2）上单调递增，则 +a0在区 间（1，2）恒成立，即 a，故答案为：-）求出函数的 导数，问题转化为则+a0在区间（1，2）恒成立，求出a的范围即可本题主要考查利用导数研究函数的 单调性，函数的单调性的性质，属于基础题15.【答案】【解析

19、】解：如图，正四棱锥 P-ABCD 中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知 识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱 锥的高线PE 所在的直 线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE ，AF ，由球的性质可知 PAF 为直角三角形且 AE PF，根据平面几何中的射影定理可得 PA2=PF?PE，因为，所以侧棱长，PF=2R，所以 18=2R4，所以 R=，第12 页，共 19页2所以 S=4R=故答案为：正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高PE 上，求出球的半径，求出球的表面积本题考查球的表面 积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题16.【答案】 【解析】解：函数

20、=2sin（2x+）由 =2，故函数的周期为 ，故 x1-x2=时 ，f（x1）=f （x2）成立，故 正确；由2x+- +2k，+2k得，x-+k，-+k（kZ），故-，-是函数的单调增区间间应为函数的单调减区间，故错误；，区当 x=时，f（x）=0，故点是函数图象的对称中心，故 正确；图个单位后得到函数的解析式为f （x）=2sin2（x+函数 f （x）的 象向左平移）+=2sin（2x+），故 错误故答案为：根据二倍角公式，可化 简函数的解析式 为正弦型函数的形式，根据函数的周单调对称性可判断 ；期性可判断 ；根据函数的性可判断 ；根据函数的根据函数 图象的变换法则可判断本题以命题的真

21、假判断为载体考查了三角函数的图象和性质练，熟 掌握三角函数的图象和性质是解答的关 键1 an的公差为d， bn的公比为qd为正整数，an=3+ n-1）17.【答案】 解：（ ）设，则（d， bn=qn-1依题意有解得，或（舍去）故 an=3+2 （ n-1） =2n+1，bn=8n-1（ 2） Sn=3+5+ +（ 2n+1 ） =n（ n+2）第13 页，共 19页=【解析】（1）设 a n 的公差为 d，b n 的公比为 q，由题设条件建立方程 组，解这个方程组得到 d 和 q 的值，从而求出 an 与 bn2）由S，由此可求出（n=n（n+2），知的值本题考查数列的性 质和应用，解题时

22、要认真审题，仔细解答18.【答案】 （ ）证明： PD 平面 ABCD ，AC? 平面 ABCD ，AC PD 四边形 ABCD 是菱形， AC BD ，又 PD BD=D ， AC平面 PBD而 AC? 平面 EAC， 平面 EAC平面 PBD （ ）解： PD平面 EAC ，平面 EAC平面PBD =OE，PD OE，O 是 BD 中点， E 是 PB 中点取 AD 中点 H，连结 BH， 四边形 ABCD 是菱形， BAD =60，BH AD ，又 BH PD， ADPD=D， BH平面 PAD ，=【解析】（）由已知得ACPD，AC BD，由此能证明平面 EAC平面 PBD（）由已知得

23、PDOE，取AD 中点 H，连结 BH ，由此利用，能求出三棱锥 P-EAD 的体积 第14 页，共 19页本题考查平面与平面垂直的 证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题间维能力的培养，注意空 思19.【答案】 解：（ 1）由题可知，第2 组的频数为0.35 100=35 人，第3 组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示，（4 分）（ 2）因为第 3、 4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在60 名学生中抽取 6 名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第 3组：6=3 人，第 4组：6=2 人，第 5组：6=1 人，所以第 3、4、 5 组分别抽取3 人、 2

24、 人、 1 人进入第二轮面试（7 分）（ 3）设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2， A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C1，则从这六位同学中抽取两位同学有15 种选法，分别为：（ A1，A2），（ A1，A3），（ A1，B1），（ A1， B2），（ A1，C1），（ A2，A3），（ A2，B1），（ A2， B2），（ A2，C1），（ A3，B1），（ A3， B2），（ A3， C1），（ B1，B2），（ B1 ，C1），（ B2，C1），其中第 4 组的 2 位同学 B1， B2 中至少有一位同学入选的有9，分别为：（ A1，B1），

25、（ A1，B2），（ A2， B1），（ A2 ，B2），（ A3，B1），（ A3，B2），（ B1，B2），（ B1， C1），（ B2， C1），第 4 组至少有一名学生被考官A 面试的概率为= （ 12分）【解析】（1）由频率分布直方 图能求出第 2 组的频数，第 3 组的频率，从而完成频率分布直方图（2）第3、4、5 组共有 60 名学生，由此利用分 层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学第15 页，共 19页生进入第二轮面试，能求出第 3、4、5 组分别抽取进入第二轮面试的人数（3）设第 3 组的 3 位同学 为 A1，A2，A3，第4 组的 2 位同学为 B1，B2，第5 组的

26、1 位同学为 C1，利用列举法能出从 这六位同学中抽取两位同学，第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率本题考查频率分直方 图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基 础题20.【答案】 解：（ ）由题意，e=，a2-b2 =c2，则 a2=4b2， 由椭圆过点（），得， 由解得a=2， b=1，故椭圆方程为：；（ ）证明：设A（ x1， y1）， D（ x2， y2），则 B（-x1， -y1），直线 AB 的斜率为，ABAD ，AD 的斜率，设直线 AD 的方程为： y=kx+m，k0， m0，与椭圆方程联立消去y 得：

27、（ 1+4k2） x2+8kmx+4 m2 -4=0，y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，可得直线BD 的斜率=-=；故直线 BD 的方程为：，令 y=0 ，得 x=3x1，即 M（ 3x1， 0），第16 页，共 19页AD 的斜率，即，故存在常数，使得结论成立【解析】（）利用所给条件的方程 组，解得 a，b，可得椭圆方程；（）设点的坐标，直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系，得到斜率之间的关系，得解此题考查了椭圆方程，直线与圆锥曲线的综合应用，难度较大21.【答案】 （ ）解：由 f（x） =x3-6x2-3a（a-4） x+b，可得 f（ x） =3 x2-12x-3a（ a-

28、4 ）=3 （ x-a）（ x-（ 4-a），令 f（ x） =0，解得 x=a，或 x=4- a由 |a| 1，得 a 4-a当 x 变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表：x（ -， a）（ a，4-a）（ 4-a， +）f（x）+-+f（ x）f（x）的单调递增区间为（-， a），（ 4-a， +），单调递减区间为（a， 4-a）；（ ）（ i ）证明： g（ x） =ex（ f（x） +f（ x），由题意知，解得f（x）在 x=x0 处的导数等于0；（ ii ）解： g（ x） ex， xx0-1， x0+1 ，由 ex 0，可得 f（ x） 1又 f（ x0 ）=1， f

29、（ x0） =0，故 x0 为 f（ x）的极大值点，由（ I）知 x0=a另一方面，由于 |a| 1，故 a+1 4-a，由（ ）知 f（ x）在（ a-1， a）内单调递增，在（a， a+1）内单调递减，故当 x0=a 时， f（ x） f（ a） =1 在 a-1，a+1 上恒成立，从而g（ x） ex 在 x0-1 ，x0+1上恒成立由 f（ a） =a3-6a2-3a（ a-4） a+b=1，得 b=2a3-6a2+1， -1a13 2令 t（ x） =2x -6x +1， x-1， 1，t（ x） =6 x2-12x，令 t（ x） =0，解得 x=2（舍去），或 x=0 t（-1） =-7， t（ 1） =-3， t（ 0）=1 ，故 t（ x）的值域为 -7 ，1 b 的取值范围是-7， 1【解析】第17 页，共 19页（）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点 对定义域分段，列表后可得 f（x）的单调区间；（）i（求出）导题意知，求解可得得g（x）的函数，由到 f（x）在x=x0 处的导数等于 0；（ii ）由（I）知x0=a且f（x）在（a-1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调