第34招绝对值常考题型的解法

1、方法二：平方法 女口： |x| a 二、| x | a ? x a或x - a | x| a? a x a 三、重要绝对值不等式：|a| |b| |a b| |a|b| 高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲; 绝对值常考题型的解法 【知识要点】 、去绝对值常用的有两种方法 、捫 方法一：公式法 |x|= 10 x = 0 ? ?- x x 0 2 2 所以x =a .(平方时必须保证两边都是非负数) (2)即解不等式|x 1x3 4 使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两 个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定

2、中间的“”号, 不管是“ +”还是“-”，总之要使中间是常数 四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法 五、求绝对值f(x) |x a| |x b|的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解 【方法讲评】 题型一 解含一个绝对值的不等式 直接利用公式|x| a ? x a或x - a | x | a ? a x a解答，当然也可以使用零点 解题步骤 讨论法和数形结合，但是直接使用公式法最简单 【例1】已知关于x的不等式：|2x m 1 的整数解有且仅有一个值为2 . 也二 兀巴不等式的整数解为2, (1)求整数|m的值；(2)在(1 )的条件下，解不等式: 【解析1(1

3、)由|-啊|1,得三 乂不等式仅有一个数解.= yr 当xlB寸不等式为1-工十3-工不等式的解集为讣 o； 当1 K 4吕尢必不等式的解集为妙 当工3时，不等式为艾-1 + 3-工仝4=工4=不等式的解集为A4, 综上不等式的解集为(-叫0 U屯+巧. 【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点 【反馈检测1】已知函数f (x) | x2 1| . (I)解不等式 f(x) 2 2x; (n)设a 0，若关于x的不等式f(x) 5 ax解集非空，求a的取值范围. 题型二 解含两个绝对值的不等式 解题步骤 般使用零点讨论法和数形结合法求解 【例2

4、】已知函数 (I)求不等式f x6的解集; (n)若存在实数 x满足f x log2 a，求实数a的取值范围. 【解析】(I) f 则不等式f x 6等价于 1, x 1,x1, 3x 1, 1 x 1 x,x 0, 0. 或 6 3x 0,或 x 0, 61x6. 解得x 5或x 7. 故该不等式的解集是x x 5，或 x 7 . (n)若存在实数x满足f xlog2a, log 2 a的取值范围是函数f x的值域. 即关于X的方程f x log2 a在实数集上有解，则 由(I)可得函数 f x的值域是,1 , -log 2 a 1，解得 0 a 2. 【点评】对于形如|ax b| |cx

5、d | e的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时, 要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并” 【反馈检测2】已知函数f(x) |2x 1|2x3|. (1 )求不等式f (x)6的解集; (2)若关于x的不等式f (x) a 1的解集非空，求实数 a的取值范围. 方法二：|x 1| |x 3| |x 1 (x 3)| 题型三 求绝对值函数的最值 解题步骤 直接使用重要绝对值不等式II a I |b| |a b| |a| |b|求解，也可以利用数形结合求解 【例3】已知函数f (x) |x 1| I x 3| . (1)求x的取值范围，使f(x)为常

6、数函数. 若关于x的不等式f(X)a 0解集不是空集，求实数a的取值范围. f2葢2声 W 3, 【解析】/(巧=|jc-l| + k十3|彳三:L 2jS 1, 则当xe-ll/(X)%常数函埶 方法一：如图，结合(1)知函数f(x)的最小值为4, 实数a的取值范围为a 4. |x 1| |x 3| 4, 等号当且仅当工珂-3时成立. 得函数/(对的最小值为则实数E的収值范围为处4 . 【点评】(1)关于x的不等式f(x) a 0解集不是空集，即关于 x的不等式f(x) a 0有实数解, .f(x) a恒成立等价于f (x) max a 即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即

7、左边绝对值函数的最小值小于等于a.( 2)不 等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚 f(x) a有解等价于f (x) min a , f(x)3a恒成立等价于f (x) min 3 a , f (x) 3 a有解等价于 f (x) max 3 a. 1) (2X 3)6(2x 1) (2x 3) 6 【反馈检测3】已知函数f(x) |2x a |2x 3|，g(x) |x 1| 2. (1) 解不等式|g(x)| 5 ； (2) 若对任意的xi R，都有X2 R，使得f(xi) g(X2)成立，求实数a的取值范围. 高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第 34讲: 绝对值常考

8、题型的解法参考答案 【反馈检测1 答案】(I) x| 1 X 3 ； (n) 4,. 【反馈检测1 详细解析】（I） f（X）2 2x，即|x21| 2 2x，所以 2 X 2 X 12 2x, (22X), 由 X212 2 2x，解得 1 X 3 ;而X 1(22x)的解集为R. 所以原不等式的解集为X| 1 X 3. （II） /Cx）+5ar解集非空，即|x-l|十5皿有解. 显然当 亡0时，/W + 51吋，住王+4, XX 由= 4 （2叭等号成立）, X V X 4 即x + 的最小1B为4. X |V-l| + 5 当05. X 综上所迷的取值范围是4.+X. 【反馈检测 2 答案】(1) x| 1 X 2 ；( 2) 【反馈检测 2详细解析】（1 ）原不等式等价于 3 X 2 (2X1) (2X 3) 1 或2 6(2x 3 X 2 1 X 2 即不等式的解集为x| 1 x 2 (2)|2x1 |2x3| |(2x1)(2x3) | 4 | a 1 | 4 a 3 或 a 5. 【反馈检测3答案】（1） （ 2,4） （2） a 1或a 5. 【反憬检测