高考数学大一轮复习立体几何中的向量方法一证明平行与垂直理苏教版PPT课件

1、8.6立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直 第八章立体几何 数学数学 苏（理）苏（理） 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的 方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两 不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组 为 非零 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2 重合). (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不

2、共线向量 v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或 l . (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则. v1v2 存在两个实数x，y，使vxv1yv2 vu u1 u2 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1l2 . (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u， 则l . (3)设平面和的法向量分别为u1和u2， 则 . v1v2v1v20 vu u1u2u1u20 u 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)平面的单位法向量是唯一确

3、定的.() (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.() (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.() (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.() (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.() 题号答案解析 1 2 3 4 l或l 23(4) 解析 解析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 证明线面平行，可以 利用判定定理先证线 线平行，也可利用平 面的法向量. 题型一证

4、明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 解析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点， OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Oxyz. 设点C的坐标为(x0，y0,0). 解

5、析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 解析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 又PQ 平面BCD，所以PQ平面BCD. 方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连结OF， 同证法一建立空间直角坐标系，

6、写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0). 解析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 解析思维升华思维点拨 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 又PQ 平面BCD，OF平面BCD， PQ平面BCD. 解析思维升

7、华思维点拨 用向量证明线面平行的方法有 (1)证明该直线的方向向量与 平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与 平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可 以用平面内的两个不共线的向 量线性表示. 题型一证明平行问题 例1 (2013浙江改编)如图，在 四面体ABCD中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD 2 ，M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上， 且AQ3QC. 证明：PQ平面BCD. 解析思维升华思维点拨 跟踪训练1 (2014湖北)如图，在棱长为2的 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分 别是棱AB，AD，A1B1，A1D1

8、的中点，点P， Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ (00)， 7分 设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量， 温 馨 提 醒规 范 解 答 又n2(1,0,0)为平面DAE的一个法向量， 9分 11分 温 馨 提 醒规 范 解 答 14分 因为E为PD的中点， 三棱锥EACD的体积 温 馨 提 醒规 范 解 答 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基 底表示向量； (2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相 垂直的直线； (3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平 行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线 段长度问题、体积问题等.

9、温 馨 提 醒规 范 解 答 方 法 与 技 巧 1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体 应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理 证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空 间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转 化思想. 2.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用 空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立 空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几 何意义解释相关问题. 失 误 与 防 范 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体 几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平 面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化 归

10、为证明线线平行，用向量方法证明直线ab， 只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向 量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强 调直线在平面外. 23456789101 1.设平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b (2，h，k)，若，则hk的值为_. h4，k4，hk0. 0 23456789101 AB与平面CDE平行或在平面CDE内. 平行或在平面内 23456789101 3.已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则平行四边形 ABCD的顶点D的坐标是_. 所以x5，y13，z3，即D(5,13，3). (5,13，3) 23456789101 4.已

11、知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)， 若a，b，c三向量共面，则实数_. 解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)， 23456789101 5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， AB2，AA1 ，AD2 ，P为C1D1的 中点，M为BC的中点.则AM与PM所成的 角为_. 解析以D点为原点，分别以DA，DC， DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系Dxyz， 23456789101 答案90 34567891012 6.已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的 一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两

12、个平面与 的位置关系是_. 解析设平面的法向量为m(x，y，z)， m(1,1,1)，mn，mn，. 平行 34567891012 7.设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8， 1，4)确定的平面上，则a_. 则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4) (x6y，3xy,2x4y)， 34567891012 答案16 34567891012 8.设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向 量，若，则t_. 解析，uv，uv0， 1284t0，t5. 5 34567891012 9.如图，四边形ABCD为正方形，PD平 面ABCD，PDQ

13、A，QAAB PD.证明： 平面PQC平面DCQ. 证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长 为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y 轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. 34567891012 又DQDCD，故PQ平面DCQ， 又PQ平面PQC， 平面PQC平面DCQ. 10.如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是 PC，PD的中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB； 34567891012 证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD 所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 34567891012 则A

14、(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， 34567891012 又AB平面PAB，EF平面PAB， EF平面PAB. 34567891012 (2)求证：平面PAD平面PDC. 又APADA，DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PDC. 1.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面 互相垂直，AB ，AF1，M在EF上，且 AM平面BDE，则M点的坐标为_. 解析设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO， 23451 23451 15 2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M

15、AN ，则MN与平面BB 1 C 1 C的位置关系是 _. 23451 23451 MN平面B1BCC1. 答案平行 23451 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正 方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正 方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC 的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段 D1Q与OP互相平分，则满足 的实数 有_个. 23451 解析建立如图的坐标系， 设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)， 又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上， xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1. 有2个符合题意的点P，即对应有2个. 答案

16、2 23451 4.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中， ABC为等腰直角三角形，BAC90， 且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、 BC的中点.求证： (1)DE平面ABC； 证明如图建立空间直角坐标系Axyz， 令ABAA14， 23451 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4). 取AB中点为N，连结CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， 又NC平面ABC，DE 平面ABC. 故DE平面ABC. 23451 (2)B1F平面AEF. 又AFEFF，B1F平面AEF. 23451 5.在四棱锥

17、PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正 方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证：EFCD； 证明如图，分别以DA、DC、DP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设ADa，则D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a，a,0)、 23451 23451 (2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论. 若使GF平面PCB，则 23451 23451 而FP平面EFPQ， 且BC1 平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ. 题型三解决探索性问题 例3如图， 棱柱ABCD A1B1C1D1的所 有棱长都等于2，A B C和 A 1 A C 均 为 6 0 ， 平 面 AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1； 思维点拨解析 例3(3)在直线CC1上是否存 在点P，使BP平面DA1C1， 若存在，求出点P的位置，若 不存在，请说明理由. 思维点拨解析思维升华 思想与方法系列14 利用