2021年高考数学二轮专题复习《数列 圆锥曲线 导数》大题练习题 教师版

1、2021年高考数学二轮专题复习数列 圆锥曲线 导数大题练习题已知在数列an中，a1=1，anan1=n.(1)求证：数列a2n与a2n1都是等比数列；(2)若数列an的前2n项的和为T2n，令bn=(3T2n)n(n1)，求数列bn的最大项【答案解析】解：(1)证明：由题意可得a1a2=，则a2=.又anan1=n，an1an2=n1，=.数列a2n1是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2n是以为首项，为公比的等比数列(2)T2n=(a1a3a2n1)(a2a4a2n)=33n.bn=3n(n1)n，bn1=3(n1)(n2)n1，=，b1b4bn，数列bn的最大项为b2=b3=.已知椭圆C

2、：=1(ab0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足=2，求点P的轨迹方程【答案解析】解：(1)因为e=，所以=，又椭圆C经过点(，1)，所以=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的方程为=1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由=2得x=x12x2，y=y12y2，因为点M，N在椭圆=1上，所以x2y=4，x2y=4，故x22y2=(x4x1x24x)2(y4y1y24y)=(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)=204(x1x22y1y2)设kOM，kON分

3、别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkON=，因此x1x22y1y2=0，所以x22y2=20，故点P的轨迹方程为=1.已知函数f(x)=kxln x1(k0)(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)证明：当nN*时，1ln(n1)【答案解析】解：(1)法一：f(x)=kxln x1，f(x)=k=(x0，k0)，当x=时，f(x)=0；当0x时，f(x)时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)min=f=ln k，f(x)有且只有一个零点，ln k=0，k=1.法二：由题意知方程kxln x1=0仅有一个实根，由kxln x1=0得k=(x0)，令

4、g(x)=(x0)，g(x)=，当x=1时，g(x)=0；当0x0；当x1时，g(x)ln，1lnlnln=ln(n1)，故1ln(n1)正项数列an的前n项和Sn满足：(1)求数列an的通项公式an； (2)令，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn.【答案解析】解：（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：-=1(a0，b

5、0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=，求的值【答案解析】解：(1)由点P(x0，y0)(x0a)在双曲线-=1上，有-=1由题意有=，可得a2=5b2，c2=a2b2=6b2，e=(2)联立得4x2-10cx35b2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设=(x3，y3)，=，即又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，有(x1x2)2-5(y1y2)2=5b2化简得2(x-5y)(x-5y)2(x1x2-5y1y2)=5b2又A(

6、x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x-5y=5b2，x-5y=5b2由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x25c(x1x2)-5c2=10b2，式可化为24=0，解得=0或=-4已知，函数在点(1,1-a)处与x轴相切（1）求a的值，并求f(x)的单调区间；（2）当x1时，f(x)m(x-1)lnx，求实数m的取值范围【答案解析】解：（1）函数在点处与轴相切，依题意，解得，所以当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为（2）令，则，令，则，（）若，因为当时，所以，所以即在上单调递增又因为，所以当时，从而在上单调递增，而，所以，即成立（）

7、若，可得在上单调递增因为，所以存在，使得，且当时，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，从而在上单调递减，而，所以当时，即不成立综上所述，的取值范围是已知数列an的前n项和为，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）令，记数列的前项和为证明：【答案解析】解：（1）当时，有，解得.当时，有，则，整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列，即数列的通项公式为：（2）由（1）有，则易知数列为递增数列，即已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2)过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，=，=

8、，求证：为定值【答案解析】解：(1)因为抛物线y2=2px过点(1，2)，所以2p=4，即p=2故抛物线C的方程为y2=4x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为y=kx1(k0)由得k2x2(2k-4)x1=0依题意=(2k-4)2-4k210，解得k0或0k0.当0，即0a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当0，即a2或a0时，由x22(1a)x1=0，得x=a1.若a0恒成立，此时f(x)在(0，)上单调递增；若a2，则a1a10，由f(x)0，得0xa1，则f(x)在(0，a1)和(a1，)上单调递增由f(x)0，得a1x2时，f(x)的单调递增区间为(0，a

9、1)，(a1，)，单调递减区间为(a1，a1)(2)证明：当a=1时，f(x)=ln x.令g(x)=f(x)=ln x(x0)，则g(x)=.当x1时，g(x)0，当0x0，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x=1时，g(x)取得最大值，故g(x)g(1)=0，即f(x)成立，得证已知圆C：x2y22x2y1=0和抛物线E：y2=2px(p0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OAOB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程【答案解析】解：(1)x2y22x2y1=0可化为(x1)2(y1)2=1，则圆心C的坐标为(1,1)F，|CF|= =，解得p=6.抛物线E的方程为y2=12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x=myt(t0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y212my12t=0，=(12m)248t=48(3m2t)0，y1y2=12m，y1y2=12t，由OAOB，得=0，x1x2y1y2=0，即(m2