2010届中考数学创新性开放型问题3

1、 初中数学专题讲座初中数学专题讲座 创新型、开放型问题创新型、开放型问题 例例1 1：某种细菌在培养过程中，细菌每：某种细菌在培养过程中，细菌每 半小时分裂一次（由一个分裂为两半小时分裂一次（由一个分裂为两 个），经过两小时，这种细菌由一个个），经过两小时，这种细菌由一个 可分裂繁殖成（可分裂繁殖成（ ） A A ：8 8个个 B B：1616个个 C C：4 4个个 D D：3232个个 例例1 1：某种细菌在培养过程中，细菌每：某种细菌在培养过程中，细菌每 半小时分裂一次（由一个分裂为两半小时分裂一次（由一个分裂为两 个），经过两小时，这种细菌由一个个），经过两小时，这种细菌由一个 可分裂

2、繁殖成（可分裂繁殖成（ ） A A ：8 8个个 B B：1616个个 C C：4 4个个 D D：3232个个 分裂分裂 次数次数 0 01 12 23 34 4 细菌细菌 个数个数 1=21=20 02=22=21 14=24=22 28=28=23 316=216=24 4 B 例例2 2：如图，已知：如图，已知ABCABC，P P为为ABAB上一点，上一点， 连结连结CPCP，要使，要使ACPACPABCABC，只需添，只需添 加条件加条件_（只需写一种合适的（只需写一种合适的 条件）。条件）。 1=B 2=ACB AC2=APAB 启示：若启示：若Q Q是是ACAC上一点，连结上一点

3、，连结PQPQ， APQAPQ与与ABCABC相似的条件应是什么？相似的条件应是什么？ 例例3 3：先根据条件要求编写应用题，再：先根据条件要求编写应用题，再 解答你所编写的应用题。解答你所编写的应用题。 编写要求：编写要求： （1 1）：编写一道行程问题的应用题，）：编写一道行程问题的应用题， 使得根据其题意列出的方程为使得根据其题意列出的方程为 1 10 120120 xx （2 2）所编写应用题完整，题意清楚。）所编写应用题完整，题意清楚。 联系生活实际且其解符合实际。联系生活实际且其解符合实际。 分析：题目中要求编分析：题目中要求编“行程问题行程问题”故应故应 联想到行程问题中三个量的

4、关系（即路程，联想到行程问题中三个量的关系（即路程， 速度，时间）速度，时间） 路程路程= =速度速度时间或时间时间或时间= =路程路程速度、速度速度、速度 = =路程路程 时间时间 因所给方程为因所给方程为 那么上述关系式应该用：时间那么上述关系式应该用：时间= =路程路程 速度速度 故路程故路程=120 =120 方程的含义可理解为以两种方程的含义可理解为以两种 不同的速度行走不同的速度行走120120的路程，时间差的路程，时间差1 1。 1 10 120120 xx 所编方程为：所编方程为：A A，B B两地相距两地相距120120千米，甲乙千米，甲乙 两汽车同时从两汽车同时从A A地出

5、发去地出发去B B地，甲地，甲 比乙每小比乙每小 时多走时多走1010千米，因而比乙早到达千米，因而比乙早到达1 1小时求甲小时求甲 乙两汽车的速度？乙两汽车的速度？ 解：设乙的速度为解：设乙的速度为x x千米千米/ /时，根据题意得方时，根据题意得方 程：程： 解之得：解之得：x=30 x=30 经检验经检验x=30 x=30是方程的根是方程的根 这时这时x+10=40 x+10=40 答：甲答：甲 乙两车的速度分别为乙两车的速度分别为4040千米千米/ /时，时，3030 千米千米/ /时时 1 10 120120 xx 例例4 4 已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x

6、x2 2+2x+2-m=0+2x+2-m=0 （1 1）若方程有两个不相等的实数根，）若方程有两个不相等的实数根， 求实数求实数m m的取值范围？的取值范围？ （2 2）请你利用（）请你利用（1 1）所得的结论，任）所得的结论，任 取取m m的一个数值代入方程，并用配方法的一个数值代入方程，并用配方法 求出方程的两个实数根？求出方程的两个实数根？ 分析：一元二次方程根与判别式的关系 0 方程有两个不相等的 实数根，于是有：22-4(2-m)0,解之 得m的取值范围；(2)中要求m任取一 个值，故同学们可在m允许的范围内 取一个即可，但尽量取的m的值使解 方程容易些。而且解方程要求用配方 法，这

7、就更体现了m取值的重要性， 否则配方法较为困难。 解（解（1 1）方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 00，即，即4-44-4（2-m)02-m)0 m1 m1 （2 2）不妨取）不妨取 m=2m=2代入方程中得：代入方程中得： x x2 2+2x=0+2x=0 配方得：配方得： x x2 2 +2x+1 +2x+12 2=1=12 2 即（即（x+1)x+1)2 2=1=1 x+1=x+1=1 1 解之得：解之得：x x1 1=0 x=0 x2 2= =2 2 例例5 5 在一服装厂里有大量形状为等腰在一服装厂里有大量形状为等腰 直角三角形的边角布料（如图）现找直角三角形的边角

8、布料（如图）现找 出其中一种，测得出其中一种，测得C=90C=90，AC=BC=4AC=BC=4， 今要从这种三角形中剪出一种扇形，今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘做成不同形状的玩具，使扇形的边缘 半径恰好都在半径恰好都在ABCABC的边上，且扇形的的边上，且扇形的 弧与弧与 ABC ABC的其他边相切，请设计出的其他边相切，请设计出 所有可能符合题意的方案示意图，并所有可能符合题意的方案示意图，并 求出扇形的半径（只要画出图形，并求出扇形的半径（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）。直接写出扇形半径）。 C A B 分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都

9、在三角分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角 形边上形边上 相切的情况有两种（相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、）与其中一边相切（直角边相切、 斜边相切）斜边相切） （2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一 斜边相切）斜边相切） 并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形） （1）与一直角边相切可如图所示）与一直角边相切可如图所示 （2）与一斜边相切如图所示）与一斜边相切如图所示 （3）与两直角边相切如图所示）与两直角边相切如图所示 （4）与一直角边和一斜边相切如图所示）与一直角边和一

10、斜边相切如图所示 解：可以设计如下图四种方案：解：可以设计如下图四种方案： r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4 2 2 例例6 6：一单杠高：一单杠高2.22.2米米, ,两立柱之间的距离为两立柱之间的距离为 1.61.6米米, ,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结 合处合处, ,绳绳 子自然下垂呈抛物线状子自然下垂呈抛物线状. . (1) (1)一身高一身高0.70.7米的小孩子站在离立柱米的小孩子站在离立柱0.40.4 米处米处, ,其头部刚好触上绳子其头部刚好触上绳子, ,求绳子最低点到求绳子最低点到 地面的距离地面的距离; ; (2) (2)为供

11、孩子们打秋千为供孩子们打秋千, ,把绳子剪断后把绳子剪断后, , 中间系一块长为中间系一块长为0.40.4米的木板米的木板, ,除掉系木板用除掉系木板用 去的绳子后去的绳子后, ,两边的绳子正好各为两边的绳子正好各为2 2米米, ,木板木板 与地面平行与地面平行, ,求这时木板到地面的距离求这时木板到地面的距离( (供选供选 用数据用数据: ): )8 . 136. 31 . 236. 49 . 164. 3 分析：由于绳子是抛分析：由于绳子是抛 物线型，故求绳子最物线型，故求绳子最 低点到地面的距离就低点到地面的距离就 是求抛物线的最小值是求抛物线的最小值 问题，因而必须知抛问题，因而必须知

12、抛 物线的解析式，由于物线的解析式，由于 抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是 y y轴，故可设解析式为：轴，故可设解析式为：y=axy=ax2 2+c+c的形式，的形式， 而此人所站位置的坐标为（而此人所站位置的坐标为（0.4,0.7),0.4,0.7), 绳子系的坐标为（绳子系的坐标为（0.8,2.2)0.8,2.2)，将其代入，将其代入 解析式得解析式得a,ca,c 分析：求分析：求EF离地离地 面的距离，实际面的距离，实际 上是求上是求PO的长度，的长度， 也就是求也就是求GH的长的长 度，而度，而GH=BH BG，BG正好在正好在 RtBFG中，可中，可 根据勾股定理求根据勾股定理求 出。出。 解：如图，根据建立的直角坐标系，解：如图，根据建立的直角坐标系， 设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+c， C（.，.）（）（.，.） 2 . 0 8 25 2 . 264. 0 7 . 0