（新课标）2020版高考数学总复习 第八章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文 新人教A版

1、第三节空间点、直线、平面第三节空间点、直线、平面 之间的位置关系之间的位置关系 1.四个公理 2.空间中两直线的位置关系 3.有关角的重要定理 4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 教教 材材 研研 读读 考点一 平面的基本性质及应用 考点二 空间两直线位置关系的判定 考点三 求异面直线所成的角 考考 点点 突突 破破 教材研读 1.四个公理四个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所 有的点都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理2的三个推论: 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个

2、平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类 . (2)异面直线所成的角 (i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O作直线aa,bb,把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). : 平行直线 共面直线 相交直线 异面直线 不同在任何一个平面内 (ii)范围:. 0, 2 3.有关角的重要定理有关角的重要定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互

3、补. 4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、直线在平面内三种情 况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 提醒提醒(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,那么这两 个平面不一定平行;(2)即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面 平行,也不能推出这两个平面平行. 知识拓展知识拓展 1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面

4、垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面外一点,又经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线 互为异面直线. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线. ( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) 答案答案(1)(2)(3)(4) 2.下列说法正确的是() A.若a,b,则a与b是异面直线 B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面 C.若a,b不同在平面内,则a与b异面 D.若a,b不同在任何一个平面内,

5、则a与b异面 答案答案D由异面直线的定义可知选D. D 3.以下四个命题中,正确命题的个数是() 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; 依次首尾相接的四条线段必共面. A.0B.1C.2D.3 B 答案答案B显然是正确的,可用反证法证明;若A、B、C三点共线, 则A、B、C、D、E五点不一定共面;构造长方体或正方体,如图,显然 b、c异面,故不正确;空间四边形中四条线段不共面.故只有正确. 4.已知直线a和平面,=l,a ,a ,且a在,内的射影分别为直线 b和c,则

6、直线b和c的位置关系是() A.相交或平行B.相交或异面 C.平行或异面D.相交、平行或异面 答案答案D依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面. D 5.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 部分. 答案答案7 解析解析通过举例说明,如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交,且三 条交线互相平行,这三个平面将空间分成7部分. 6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异 面直线B1C与EF所成的角的大小为. 答案答案60 解析解析连接B1D1,D1C, 因为B1D1EF, 所以D1B1C(或其补角)为所求角, 又B1D

7、1=B1C=D1C, 所以D1B1C=60, 所以异面直线B1C与EF所成的角为60. 平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用 考点突破 典例典例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 证明证明(1)如图所示,连接CD1、EF、A1B, 点E、F分别是AB、AA1的中点, EFA1B且EF=A1B. 又A1D1BC,A1D1=BC,四边形A1BCD1是平行四边形, A1BCD1,EFCD1, EF与CD1确定一个平面, E、C、D1、F,即E、C、D1、F四点共面. 1

8、 2 (2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1, 四边形CD1FE是梯形, CE与D1F必相交,设交点为P, 1 2 则PCE,且PD1F, 又CE平面ABCD,D1F平面A1ADD1, P平面ABCD,且P平面A1ADD1. 又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD, CE、D1F、DA三线共点. 方法技巧方法技巧 共点、共线、共面问题的证明方法 (1)证明点共线的问题:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是 这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;同一 法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (2)证明线共点的问题:先证明两条直线交于一点,再

9、证明其他直线经过 该点. (3)证明点、直线共面的问题:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有 关点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面, 再证明其余元素确定平面,最后证明平面、重合. 1-1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分 别在BC,CD上,且BG GC=DH HC=1 2. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线. 证明证明(1)E,F分别为AB,AD的中点,EFBD. 在BCD中,=, GHBD,EFGH.E,F,G,H四点共面. (2)EGFH=P,PEG,又EG平面ABC, P

10、平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADC=AC, PAC,P,A,C三点共线. BG GC DH HC 1 2 空间两直线位置关系的判定空间两直线位置关系的判定 典例典例2(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表 示GH,MN是异面直线的图形的序号为() A.B.C.D. (2)正方体表面的一种展开图如图所示,则图中的四条线段AB,CD,EF, GH在原正方体中互为异面直线的对数为. 答案答案(1)D(2)3 解析解析(1)由题意可得中GH与MN平行,不合题意; 中的GH与MN异面,符合题意; 中GH与MN相交,不合

11、题意; 中GH与MN异面,符合题意. 则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为. (2)将展开图还原为正方体,如图所示. 显然,直线AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而直线AB与EF相 交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对. 规律总结规律总结 空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对 于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯 形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于 垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 2-1若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面 的交线

12、,则下列命题正确的是() A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 D 答案答案D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不 正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D. 解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的 一条相交.若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,从而l1l2,与l1,l2是异面直线矛 盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D. 2-2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中

13、,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以 下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为(把你认为正确的结论的序号都填上). 答案答案 解析解析直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错 误. 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 典例典例3如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相 垂直,则异面直线AP与BD所成的角为. 答案答案 3 解析解析如图,将原图补为正方体ABCD-QGHP,连接AG,GP,则GPBD, 所以APG(或其补角)为异面直线AP与

14、BD所成的角, 在AGP中,AG=GP=AP,所以APG=. 所以异面直线AP与BD所成的角为. 3 3 方法技巧方法技巧 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角(或其补角); (2)二证:即证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角.若求出的角是锐角或直角,则它就是要 求的角;若求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 3-1如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为() A.B.C.D. 1 5 2 5 3 5 4 5 D 答案答案D连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1或其补角即为异面直线A1 B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故 cosA1BC1=,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 25 552 255 4 5 4 5 3-2(2018课标全国理改编,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB= BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 3 答案答案 5 5 解析解析本题主要考查异面直线所成的角. 如图,将长方体ABCD-A1B1C1D1补成