（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算课件

1、第五章 平面向量 5.1平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算 高考数学高考数学 (江苏省专用) 五年高考 A A组组 自主命题自主命题江苏卷江苏卷题组题组 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角 为,且tan =7,与的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n= . OA OB OC 2 OA OC OB OC OC OA OB 答案答案3 解析解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0, cos =,sin =, 与的夹角为, =, =m+n,|=|=1,|=, =, 又

2、与的夹角为45, =, 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 =-=-, 2 10 7 2 10 OA OC 2 10 | OA OC OA OC OC OA OB OA OB OC 2 2 10 2 mnOA OB OB OC 2 2 | OB OC OB OC 2 mOA OB n 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5 =|cosAOB=-, 将其代入得m-n=, -m+n=1, 两式相加得m+n=, 所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则=m,=n, 由正弦定理得=, |=,由解法

3、一知,sin =,cos =, |=, |=, OA OB OA OB 3 5 3 5 1 5 3 5 2 5 2 5 6 5 OM OA ON OB | sin45 OM | sin(135) OC | sin ON OC 2 7 2 10 2 10 OM 2sin45 sin(135) 1 sin(45) 5 4 ON 2sin sin(135) 7 2 2 10 sin(45) 7 4 又=m+n=+,|=|=1, m=,n=, m+n=3. OC OA OB OM ON OA OB 5 4 7 4 方法总结方法总结对于所给出的向量等式的处理可以从以下三个方面进行:一是通过向量的平行四

4、边形法则,转化为三角形中的边角的关系,应用正弦定理、余弦定理来加以解决;二是通过向量 的线性运算来进行求解;三是通过乘相同的向量,从而将向量等式转化为数量等式来加以解决. 2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 . 答案答案-3 解析解析由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得解得 从而m-n=-3. 29, 28, mn mn 2, 5, m n 名师点睛名师点睛明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面向量基

5、本定理的 应用.向量共线的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.向量垂直的充 要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0. B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组 考点一向量的线性运算与几何意义考点一向量的线性运算与几何意义 1.(2018课标全国理改编,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确 的是 . =-;=-; =+;=+. EB 3 4 AB 1 4 AC EB 1 4 AB 3 4 AC EB 3 4 AB 1 4 AC

6、EB 1 4 AB 3 4 AC 答案答案 解析解析本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点,=-,=+=-+,又D为BC的中点,=(+ ),因此=-(+)+=-. EA 1 2 AD EB EA AB 1 2 AD AB AD 1 2 AB AC EB 1 4 AB AC AB 3 4 AB 1 4 AC 题型归纳题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知

7、条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 2.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且 =-4,则的值为 . BD DC AE AC AB AD AE 答案答案 3 11 解析解析本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积运算. 由=2得=+, 所以=(-)=-+-, 又=32cos 60=3,=9,=4, 所以=-3+-2=-5=-4, 解得=. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 12 33 ABA

8、C AC AB 1 3 AB AC 1 3 2 AB 2 3 2 AC 2 3 AB AC AB AC 2 AB 2 AC AD AE 8 3 11 3 3 11 思路分析思路分析根据=2得=+,利用=-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 一题多解一题多解以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-= (1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=. 3BD DC 5 2 3 , 33

9、 AD 5 2 3 , 33 AE AC AB 33AD AE 5 3 2 3 3 3 11 3 3 11 3.(2017课标全国文改编,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下列正确的是 . ab;|a|=|b|;ab;|a|b|. 答案答案 解析解析本题考查向量加法的几何意义,向量模的概念. 解法一:由向量加法的几何意义知,|a+b|=|a-b|等价于以向量a,b为邻边的平行四边形的对角线 相等,则该平行四边形是矩形,所以ab. 解法二:由|a+b|=|a-b|得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,则ab. 4.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b满

10、足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案答案4;2 5 解析解析本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不 等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. =, |a+b|+|a-b|2. 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0. 故当ab时,|a+

11、b|+|a-b|有最大值2. 解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3. 设y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x=cos ,cos , | 2 abab 22 | 2 abab 22 ab5 5 5 10 1 10 3 10 y=sin ,sin . 设1,2为锐角,且sin 1=,sin 2=, 则有12,又012, 则x+y=(cos +sin )=2sin, 1+2+,而1+2+, 故当+=,即=时,x=y,此时|a+b|=|a-b|, 所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2. 又sin=sin=

12、, 故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab, x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 则|a+b|+|a-b|=+ 10 1 10 3 10 1 10 3 10 4 2 105 4 4 4 4 4 4 2 4 3 4 4 2 4 5 1 4 2 4 2 2 13 1010 2 5 22 (2)xy 22 (2)xy =+=+ =, 0 x21,故当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|有最大值2, 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法四:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|

13、a|+|b|, 得1x3.设y=|a-b|,同理可得1y3. 又x2+y2=2a2+2b2=10. 故可转化为线性规划问题“已知求x+y的最大值和最小值.” 其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C(,),x+y有最大值2,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2. 22 44 1xxx 22 44 1xxx 54x54x 2 ( 5454 )xx 2 102 25 16x 5 22 10, 13, 13, xy x y 5555 5.(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y=

14、. AM MC BN NC MN AB AC 答案答案 ;- 1 2 1 6 解析解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下: 则有=(+),所以=-=(+)-=-, 又因为=x+y,所以x=,y=-. AM MC BN NC AN 1 2 AB AC MN AN AM 1 2 AB AC 2 3 AC 1 2 AB 1 6 AC MN AB AC 1 2 1 6 考点二平面向量基本定理及坐标表示考点二平面向量基本定理及坐标表示 1.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点

15、,=+(-2),则= . OM OA OB 答案答案3 解析解析由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3. OM OA OB 2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2 +3+4+5+6|的最小值是 ,最大值是 . AB BC CD DA AC BD 答案0;2 5 解析解析本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据

16、处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1), 故|1+2+3+4+5+6| =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| =.(*) 显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1, AB BC CD DA AC BD AB BC CD DA AC BD 22 13562456 ()() 则(*)式即为, 1,2,3,4-1,1,1

17、=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2, 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2, 综上,最小值为0,最大值为2. 22 1324 ()(2) 5 22 1324 (2)() 5 5 解题关键解题关键本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口. 3.(2018课标全国理

18、,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= . 答案答案 1 2 解析解析本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=. 1 2 4.(2017课标全国理改编,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上.若=+,则+的最大值为 . AP AB AD 答案答案3 解析解析本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为 圆心且与BD相切的圆上,可设P

19、. 则=(0,-1),=(-2,0),=. 又=+, =-sin +1,=-cos +1, +=2-sin -cos =2-sin(+), 其中tan =,(+)max=3. 22 cos ,sin 55 AB AD AP 22 cos2,sin1 55 AP AB AD 2 5 1 5 2 5 1 5 1 2 方法指导方法指导研究平面向量问题有两种基本策略:一是找基底,通过向量的加、减法法则将所求 向量用基底的形式表示出来;二是坐标法,将所要研究的向量用坐标的形式表示出来.一般地, 若问题中有点在某条曲线上,则宜采用坐标法加以研究. 5.(2016课标全国,13,5分)已知向量a=(m,4)

20、,b=(3,-2),且ab,则m= . 答案答案-6 解析解析因为ab,所以=,解得m=-6. 3 m4 2 易错警示易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 考点一向量的线性运算与几何意义考点一向量的线性运算与几何意义 C C组教师专用题组组教师专用题组 1.(2014课标全国,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角 为 . AO 1 2 AB AC AB AC 答案答案90 解析解析由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为 直角,所以BAC=90,所以与的夹角为90. AO 1 2 AB AC AB AC 思路分析思路分析根据

21、=(+)知O为BC的中点,进而得BC为圆O的直径,然后利用直径所对 圆周角为直角即可得到结果. AO 1 2 AB AC 解后反思解后反思在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四边形法则的运用,熟记 “+=2D为BC的中点”是解决此类问题的关键. AB AC AD 2.(2014课标全国改编,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+= . EB FC 答案答案 AD 解析解析设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)= . AB AC EB 1 2 FC 1 2 EB FC 1 2 ba 1 2 ab 1 2 AD 3.(2013江苏,1

22、0,5分)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=1+2 (1,2为实数),则1+2的值为 . 1 2 2 3 DE AB AC 答案答案 1 2 解析解析 =+=+=+(-)=-+, =1+2, 1=-,2=, 故1+2=. DE DB BE 1 2 AB 2 3 BC 1 2 AB 2 3 AC AB 1 6 AB 2 3 AC DE AB AC 1 6 2 3 1 2 4.(2011课标全国,12,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=-,=60,则|c|的最大值等于 . 1 2 答案答案2 解析解析由ab=-得=120, 如图,设=a,=b,

23、=c, 则AOB=120,=a-c,=b-c, =60,ACB=60, O、A、C、B四点共圆.|c|的最大值应为圆的直径2R, 在AOB中,OA=OB=1,AOB=120, 所以AB=, 由正弦定理得2R=2. 1 2 OA OB OC CA CB 3 sin AB AOB 评析评析本题主要考查向量的基本运算和数形结合的思想方法.得到O、A、C、B四点共圆是 解题关键,属难题. 考点二平面向量基本定理及坐标表示考点二平面向量基本定理及坐标表示 1.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= . 答案答案-3 解析解析本题考查向量平行的条件. a=(2,

24、6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0, =-3. 2.(2015课标全国,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= . 答案答案 1 2 解析解析向量a+b与向量a+2b平行, 存在实数k使得a+b=k(a+2b), 即(-k)a+(1-2k)b=0, a,b不平行, k=,=. 故答案答案为. 0, 120, k k 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析由向量a+b与a+2b平行知存在实数k使得a+b=k(a+2b),整理得(-k)a+(1-2k)b=0,再 利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出值. 3.(2014北京,10,5分)已知向量a,b

25、满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|= . 答案答案 5 解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|. |a|=1,|b|=,|=. 55 4.(2014陕西,13,5分)设0,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若ab,则tan = . 2 答案答案 1 2 解析解析ab,sin 21-cos2=0, 2sin cos -cos2=0, 00,2sin =cos , tan =. 2 1 2 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组 考点一向量的线性运算与几何意义考点一向量的线性运算与几何

26、意义 1.(2019无锡期末,7)在四边形ABCD中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b是不共线 的向量,则四边形ABCD的形状是 . AB BC CD 答案答案梯形 解析解析 =+=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b),所以=2,即ADBC,且AD= 2BC,又、不共线,所以四边形ABCD是梯形. AD AB BC CD AD BC AB CD 2.(2019无锡期中,11)在ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,且=+ ,则+= . BM AB AC 答案答案- 1 2 解析解析解法一:如图所示: M为AD的中点, =(+)

27、, 点D在线段BC上, 设=k=k(-)(k0,1), =k(-)+=+, =+, BM 1 2 BD BA BD BC AC AB BM 1 2 AC AB BA 1 22 k AB 2 k AC BM AB AC +=-. 解法二:(特殊位置法)当D与B重合时,=-,=-,=0,+=-. 1 , 22 2 k k 1 2 BM 1 2 AB 1 2 1 2 3.(2019泰州期末,12)已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点,且满足+2=0, +=0,则= . PA PB PD PA PB PC 答案答案- 3 4 解析解析因为+2=0, 所以+2(+)=0,即+2(+)=0, 即+

28、2(+-)=0, 所以3-+2=0,即-+=0, 所以=,=-,则=-. PA PB PD PA PB PC CD PA PB PC BA PA PB PC PA PB PA PB PC 3 2 PA 1 2 PB PC 3 2 1 2 3 4 4.(2019海安高级中学期中,11)设x0,y0,向量a=(1-x,4),b=(x,-y),若ab,则x+y的最小值为 . 答案答案9 解析解析因为ab,所以4x+(1-x)y=0, 又x0,y0,所以+=1, 故x+y=(x+y)=5+9. 当且仅当x=3,y=6时,等号成立. 则(x+y)min=9. 1 x 4 y 14 xy y x 4x y

29、 考点二平面向量基本定理及坐标表示考点二平面向量基本定理及坐标表示 1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,5)已知向量a=(1,2),b=(m-1,m)且ab,则m= . 答案答案2 解析解析ab,1m-2(m-1)=0,解得m=2. 2.(2019扬州中学检测,5)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的 值为 . OA OB OC 答案答案-2或11 解析解析由题意可得=(4-k,-7),=(6,k-5),由于和共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11 或k=-2. AB BC AB BC 3.(2017扬州期中,7)已知向量a=

30、(1,m+1),b=(m,2),则ab的充要条件是m= . 答案答案-2或1 解析解析因为ab,所以2=m(m+1),解得m=1或-2. 易错警示易错警示本题很容易将m=1舍去,误认为两个向量相等时它们不平行. 4.(2019扬州中学检测,15)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0. (1)若ab,求|a-b|的值; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值. 解析解析(1)由题意得(a-b)2=a2-2ab+b2=2, 故|a-b|=. (2)a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1), 由此得cos =cos(-),由0,得0-,又0,=

31、,=. 2 coscos0, sinsin1, 1 2 5 6 6 5.(2018无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点,=+,且 =0,=3. (1)求; (2)求+的值. AP AB AC AP AB AP AC AB AC 解析解析(1)因为=(2,1),=(1,2), 所以=2+2=4. (2)因为=0,所以. 因为=(2,1),所以可设=(a,-2a), 因为=3,所以(a,-2a)(1,2)=3, 所以a-4a=3,所以a=-1,所以=(-1,2), 因为=+, 所以(-1,2)=(2,1)+(1,2)=(2+,+2), 所以解得

32、 所以+=. AB AC AB AC AP AB AP AB AB AP AP AC AP AP AB AC 12, 22 , 4 , 3 5 , 3 1 3 一、填空题(每小题5分,共25分) B B组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 (时间：35分钟 分值：55分) 1.(2019七大市三模,11)如图,正六边形ABCDEF中,若=+(,R),则+的值为 . AD AC AE 答案答案 4 3 解析解析连接CE交AD于G点,易得=(+)=(+),+=. AD 4 3 AG 4 3 1 2 AC AE 2 3 AC AE 4 3 一题多解一题

33、多解以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,0),E (0,),C,D(1,),=+, (1,)=+(0,), 故+=. 3 33 , 22 3AD AC AE 3 33 , 22 3 3 1, 2 3 33 2 2 , 3 2 , 3 4 3 2.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,14)在平面四边形ABCD中,已知 ABC的面积是ACD的面积的3倍,若存在正实数x,y使得=+成立,则x+y 的最小值为 . AC 1 3 x AB 1 1 y AD 答案答案 23 5 解析解析如图,分别过点B,D作BGAC,DFAC,垂足

34、分别为G,F, SABC=3SACD,BG=3DF, 易得BGE与DFE相似, =,=+, 又=+, 1-=3,即+=10, x+y=(x+y)= (4+2)=,当且仅当x=,y=时,取“=”. BE ED BG DF 3 1 AE 3 4 AD 1 4 AB AC 1 1 y AD 1 3 x AB 1 y 1 3 x 3 x 1 y 1 10 31 xy 1 10 3 4 yx xy 1 10 3 23 5 33 10 31 10 3.(2019淮安五校联考,11)ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=0,且|=|, 则等于 . OA AB OC OA AB CA CB 答案答案3 解

35、析解析因为+=0,所以+=0,故O为BC中点,由O为ABC的外接圆的圆心得OA =OB=OC=1,所以ABC为直角三角形,又|=|,所以ABO为等边三角形,所以=| |cos C=|2=3. OA AB OC OB OC OA AB CA CB CA CB CA 解题关键解题关键将+=0转化为+=0,得到O为BC中点是解题关键. OA AB OC OB OC 4.(2018泰州中学期初,11)在ABC中,AB=BC=2,AC=3,设O是ABC的内心,若=p+q, 则的值为 . AO AB AC p q 答案答案 3 2 解析解析如图,因为O为ABC的内心,AB=BC,取AC的中点D,则O在线段BD上. 从而cosDAO=cosBAO=, 由余弦定理得cosBAC=, 由=p+q得=p+q, 所以|cosBAO=p+q|cosBAC, 故3=4p+q, 同理=p+q,所以=p+9q, 1 | 2 | AC AO 3 2|AO 494 22 3 3 4 AO AB AC AO AB 2 AB AB AC AO AB 2 AB AB AC 9 2 AO AC AB AC 2 AC 9 2 9 2 联立可求得p=,q=,从而=. 3 7 2 7 p q 3 2 一题多解一题多解如图,设D为AC的中点, ABC为等腰三角形, O在BD