第二章用正交变换化为标准型.

1、第二章用正交变换化为标准型 第一节2、1几种化标准形的方法 2、1、1配方法 2、1、2初等变换法 2、1、3偏导数方法 2、1、4雅可比方法 第二节2、2用正交变换化为标准形 2、2、1非退化线性替换的定义 2、2、2正交替换法 2、2、3例子 2、2用正交变换化为标准形 2、2、1非退化线性替换的定义 定义1、设x ,x ;y ,y是两组文字，系数在数域 P中的一组关系式 E二匕“离斗+卜斗 称为由x，,x到y ,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式 工0,那么线性替换就称为非退化的 2、2、2正交替换法 正交替换法：先写出二次型的矩阵 A,在用正交替换X=TY将A对角化，从而

2、 T AT二 人，其中入j (i=1 , 2,n为二次型f(x丨，x工，的矩阵的所 3;J 有特征值，同时有f(x ,x ,x =入y +入y +入y 2、2、3例子 【例1】用正交变换化二次型f(x ,x ,x =2x +5x +5x +4x x -4x x -8x x为 标准形，要求写出所用的正交替换(广西师范大学*2001* (三)*15分) =x -12x +21x-10=(x-1(x-1(x-10=0 (i x=1 -1 -2 2 r-i h -2 丁 1 n -2 -44 1 0 0 0 E-A= 24-4 0 0 - 0 x=1,1,10, o o (ii x=10 r a 1

3、-2 51 0 18 18 1 2 5 4 -2 S 4 1 2 4 5 1 0 9 g 1 10E-A=- - L J -L J? 0 =n + 2 7 4 令X=UY为所用正交变换，即Y=U X 川-Y=y +y+10y为标准形 f(x ,x ,x =X AX=(UY AUY=Y U AUY=Y -2x +x +4x x +8x x +4x x 为标 *2002* (三)*15 分) 【例2】用正交变换化二次型f(x ,x ,x =x 准形，并写出所用的正交变换。(广西师范大学 I24 1-2 2 解：f的矩阵A= 421 =x -27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0 即A的特征根

4、为6, -3 , -3 (i) x=6 5241 524l IK 91 ri -4 )i 1 -2 8 -2 1-4 I -4 1 0 2 -1 -4-25 -4- 25 - -IK 9 o 0 o 6E-A= -3E-A= I I-I oio 00() I 2 -Y 2 I |T # 11 _L |3 V? I- 0 r in -4 耳 2 -2 5 1 L _ Y= 厂 一3心 n - 丫 =B V= （y ，丫 ，丫 ） 用正交变换为X=UY即U Z=Y r6 D 0 0-30 f（x 】,x T,x =x AX=（UY AUY=Y U AUY=Y 一 -Y=6-3y： -3/ 为标准

5、形 丐I,卫 【例3】设实二次型q（x ,x ,x = 2x +2x +ax -2x x -2x x -2x x经正交线性 替换化为标准形3 y +3 y ，求a并写出所有的正交线线替换。（广西师范大学 *2009* （七） *20 分） r 2 I- 解：A= 有(x-2 (x-a+2-2(x-2-( x-a)=0 X=0,3，3 是 A的特征值-4a+2+4+a=0 解之a=2 (i) x=3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Q 0 0 3E-A= J 1 1 - D ( 0j 厂 f- r ”1 1 0 (1 I I T=- T 1 = L . J (ii x=0 r- 2 i ) 1 - 2 0 1 -r -1 1 1 1 1 - 2 0 0 （） -A= L - J T一 r