解析几何中最值问题的解题策略说课材料

1、精品文档解析几何中最值问题的解题策略圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。例题 1. 已知 A(0, 2) ，椭圆x2y2的离心率为3 ，右焦点 F ，直线 AFE : a2b21(a b 0)2的斜率为23， O 是坐标原点。3（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的动直线 l与 E 相交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求l 的方程。解：（1） E :x2y214（2）由题意直线 l的斜率存在，设 l : y

2、kx2ykx23联立x2消 y 得(4 k21) x216kx120 ，16(4 k23)0, 得 k2y2414|PQ|=1+k2| x1x2 |1+k2|1+k2|16(4k 23)24k 21|4k1原点 O 到直线 PQ 的距离 d=21+k 21 | PQ | d16(4k23)2 24k234 4k23所以 S OPQ14k 21124k 24k 21当 24k 23即 k273时，取等号，此时l : y7x 2442先来解析这道题，应用了两个公式：一. 弦长公式 |PQ|= 1+k 2 | x1x2 |1+k 2 |a|, a是 x2的系数二. 基本不等式abab ,a0,b0,

3、当 a=2b时，不等式式取 “ ” 号我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论例题 2.已知 E:x2y21(ab0) ，设过点 A(0, m) 的动直线 l与 E 相交于 P,Q 两点，a2b2精品文档精品文档当 OPQ 的面积最大时，求l 的方程。解：由题意直线l 的斜率存在，设 l : ykxmykxm联立 x2y21消 y 得 (a2k 2b2 )x22a2b2kmxa2 m2a2b20 ，a2b24a22(a2k222), k2m2b2bbma2|PQ|= 1+k2|2 |1+k24a2b2 (a2k 2b2m2 )22b22b2a ka k原点 O 到直线 PQ的距离 d=|

4、 m |1+k 2所以S OPQ1 | PQ | d1+k24a2b2 (a2 k2b2m2 )| m |abm2 (a2 k2b2m 2 )a2k 2b2a2 k 2b2221+k 2ab m2(a2k 2b2m2 ) ab2( a2 k2b2 )2当 a2 k 2b2m2m2，即 a2k 2b22m2时 ，取等号。由此我们得出一个一般性结论：若直线 l的斜率 k为定值，当 m2 = a2k 2 +b2时， S OPQ 有最大值 ab22若直线 l的截距 m为定值，且满足2m2b2 ，当 k 2 = 2m2 -b2时，SOPQ 有最大值 aba22若 2m2b2 ，当 k 2 = 2m2 -

5、b20 时， S OPQ 取不到最大值 ab ，此时不能用基本不等式求a22最值。 我们得探索其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当k =0 时， S OPQ有最大值，下面我们再看一道例题。例题 3 已知动圆 P 与圆 F1 : ( x2) 2y 249 相切，且与圆 F2 : (x2)2y21相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线C .（ 1）求曲线 C 的方程；（ 2）设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点 , 求 QMN 面积的最大值精品文档精品文档（1）设圆 P 的半径为 R ,圆

6、心 P 的坐标为 ( x, y) ，由于动圆 P 与圆 F1 : (x2) 2y249 相切，且与圆 F2: ( x2) 2y 21相内切，PF17R,结合图像可知，动圆P 与圆 F1 只能内切 .且R1.PF2则|PF1| |PF2| 6 |F1F2 | 4.所以圆心 P 的轨迹是以点 F1, F2 为焦点的椭圆 ,且 a3, c 2 , 则 b2a2c25 .所以曲线 C 的方程为 x2y 21 .95（2）设 M (x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ，直线 MN 的方程为 xmy2 ，= my+ 2,?x22?22可得由 ?9） y+ 20my

7、- 25 = 0 ，y（5m +? x+?= 1,? 9520m25则 y1y2, y1 y29.5m295m2(2轾2所以)犏+ y2 ) - 4 y1 y2MN = 1+ m( y1臌2轾20m2100骣犏(?=)犏221+ m?-+?5m+ 95m +9桫犏臌30 (1+ m2 )= 5m2 + 9 .因为 MN / / OQ ，所以 QMN 的面积等于 OMN 的面积 .点 O 到直线 MN : xmy 2 的距离 d =22 .1+ m所以 QMN的面积 S = 1 MN ?d1 创30( m2 + 1)2= 30m2 + 1.225m2 + 9m2 + 15m2 + 9m212t2

8、1 (t 1) ， S =30t30t=30.令t ，则 m2- 1)+ 9=25t + 45(t5t+ 45t2t设f (t )4(t ? 1)，则 f4=-4= 5t +(t )= 5-2t2.t = 5t 2 -t因为 t 3 1 , 所以4 所以()4在)上单调递增f (t )t20.f=t.t5t +1,+ ?精品文档精品文档所以当 t = 1时 ,f (t) 取得最小值 ,其值为 9 .所以 QMN的面积的最大值为30.9说明 : QMN 的面积 S=1230m2 + 1.OF2 ? y1 y2 =( y1 + y2 ) - 4y1 y2 =225m + 9例题 4 已知椭圆 E

9、的中心在坐标原点， 对称轴为坐标轴， 且抛物线x 242 y 的焦点是它的一个焦点，又点A(1,2 ) 在该椭圆上。（1）求椭圆 E 的方程；（ 2）若斜率为2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点B，C，当 ABC的面积最大时，求直线l 的方程。例题 5设椭圆中心在坐标原点，A （ 2,0），B（ 0,1）是它的两个顶点，直线y=kx （ k0）与AB 相交于点 D ，与椭圆相交于E,F 两点。（1） ED6DF ，求 k 的值；（ 2）求四边形 AEBF 面积的最大值；例题 6 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标原点，左焦点为F1（ 1，0），P 为椭圆 G 的上顶点，

10、且 PF1O=45（）求椭圆G 的标准方程；（）已知直线 l1： y=kx+m 1 与椭圆 G 交于 A， B 两点，直线 l2： y=kx+m 2（ m1m2）与椭圆 G 交于 C，D 两点，且 |AB|=|CD| ，如图所示（）证明： m1+m 2 =0；（）求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值12（）根据11222，故可得椭圆 G 的F （ 1，0）， PF O=45，可得 b=c=1，从而 a =b +c =2标准方程；（）设 A （ x1，y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）， D（ x4，y4）（）直线 l1：y=kx+m 1 与椭圆 G 联立，利用韦达定理， 可求 AB ，CD 的长，利用 |AB|=|CD| ，可得结论；（）求出两平行线 AB ， CD 间的距离为d，则，表示出四边形ABCD 的面积 S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积 S 取得最大值【解析】： （）解：设椭圆G 的标准方程为因为 F1（ 1， 0）， PF1O=45 ，所以 b=c=1 所以， a2=b2+c 2=2 （ 2 分）所以，椭圆 G 的标准方程为 （3 分）（）设 A （ x1，y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）， D（ x4，y4）精品文档精品文档（）证明：由消去 y