最全面的初中数学概念定义公式大全(可编辑)

1、最全面的初中数学概念定义公式大全 初中数学定义定理公式总结一基本知识一数与代数a数与式1有理数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数数轴画一条水平直线在直线上取一点表示0原点选取某一长度作为单位长度规定直线上向右的方向为正方向就得到数轴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示如果两个数只有符号不同那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数也称这两个数互为相反数在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧并且与原点距离相等数轴上两个点表示的数右边的总比左边的大正数大于0负数小于0正数大于负数绝对值在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值正数的绝对值是他本身负数的绝对值是他的相反数0

2、的绝对值是0两个负数比较大小绝对值大的反而小有理数的运算加法同号相加取相同的符号把绝对值相加异号相加绝对值相等时和为0绝对值不等时取绝对值较大的数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数与0相加不变减法减去一个数等于加上这个数的相反数乘法两数相乘同号得正异号得负绝对值相乘任何数与0相乘得0乘积为1的两个有理数互为倒数除法除以一个数等于乘以一个数的倒数0不能作除数乘方求n个相同因数a的积的运算叫做乘方乘方的结果叫幂a叫底数n叫次数混合顺序先算乘法再算乘除最后算加减有括号要先算括号里的2实数无理数无限不循环小数叫无理数平方根如果一个正数x的平方等于a那么这个正数x就叫做a的算术平方根如果一个数

3、x的平方等于a那么这个数x就叫做a的平方根一个正数有2个平方根0的平方根为0负数没有平方根求一个数a的平方根运算叫做开平方其中a叫做被开方数立方根如果一个数x的立方等于a那么这个数x就叫做a的立方根正数的立方根是正数0的立方根是0负数的立方根是负数求一个数a的立方根的运算叫开立方其中a叫做被开方数实数实数分有理数和无理数在实数范围内相反数倒数绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数绝对值的意义完全一样每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示3代数式代数式单独一个数或者一个字母也是代数式合并同类项所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项把同类项合并成一项就叫做合并同类项在合并同类项时我们把

4、同类项的系数相加字母和字母的指数不变4整式与分式整式数与字母的乘积的代数式叫单项式几个单项式的和叫多项式单项式和多项式统称整式一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数一个多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数整式运算加减运算时如果遇到括号先去括号再合并同类项幂的运算aman amn amn amn abn anbn 除法一样整式的乘法单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母的幂分别相乘其余字母连同他的指数不变作为积的因式单项式与多项式相乘就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项再把所得的积相加公式两条

5、平方差公式完全平方公式整式的除法单项式相除把系数同底数幂分别相除后作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同他的指数一起作为商的一个因式多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式再把所得的商相加分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式这种变化叫做把这个多项式分解因式方法提公因式法运用公式法分组分解法十字相乘法分式整式a除以整式b如果除式b中含有分母那么这个就是分式对于任何一个分式分母不为0分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式分式的值不变分式的运算乘法把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母除法除以一个分式等于乘以这个分式的倒数加减法同分母的分式相加减分母不

6、变把分子相加减异分母的分式先通分化为同分母的分式再加减分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程使方程的分母为0的解称为原方程的增根b方程与不等式1方程与方程组一元一次方程在一个方程中只含有一个未知数并且未知数的指数是1这样的方程叫一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以不为0一个代数式所得结果仍是等式解一元一次方程的步骤去分母移项合并同类项未知数系数化为1二元一次方程含有两个未知数并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程二元一次方程组两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组中各个方程的公共解叫

7、做这个二元一次方程的解解二元一次方程组的方法代入消元法加减消元法一元二次方程只有一个未知数并且未知数的项的最高系数为2的方程1一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数即抛物线了对他也有很深的了解好像解法在图象中表示等等其实一元二次方程也可以用二次函数来表示其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况就是当y的0的时候就构成了一元二次方程了那如果在平面直角坐标系中表示出来一元二次方程就是二次函数中图象与x轴的交点也就是该方程的解了2一元二次方程的解法大家知道二次函数有顶点式-b2a4ac-b24a这大家要记住很重要因为在上面已经说过了一元二次方程也是二次函数的一部分所以他也有自己的一个解法

8、利用他可以求出所有的一元一次方程的解1配方法利用配方使方程变为完全平方公式在用直接开平方法去求出解2 分解因式法提取公因式公式法和十字相乘法在解一元二次方程的时候也一样利用这点把方程化为几个乘积的形式去解3 公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了方程的根x -bb2-4ac 2ax2 -b-b2-4ac 2a3解一元二次方程的步骤配方法的步骤先把常数项移到方程的右边再把二次项的系数化为1再同时加上1次项的系数的一半的平方最后配成完全平方公式2 分解因式的步骤把方程右边化为0然后看看是否能用提取公因式公式法这里指的是分解因式中的公式法或十字相乘如果可以就可以化为乘积的形式3 公式法就把

9、一元二次方程的各系数分别代入这里二次项的系数为a一次项的系数为b常数项的系数为c4韦达定理利用韦达定理去了解韦达定理就是在一元二次方程中根之和 -ba根之积 ca也可以表示为x1x2 -bax1x2 ca利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数在题目中很常用5一元一次方程根的情况利用根的判别式去了解根的判别式可在书面上可以写为读作diao ta而 b2-4ac这里可以分为3种情况i当 0时一元二次方程有2个不相等的实数根ii当 0时一元二次方程有2个相同的实数根iii当 0时一元二次方程没有实数根在这里学到高中就会知道这里有2个虚数根2不等式与不等式组不等式用符号 号连接的式子叫不等式不等式

10、的两边都加上或减去同一个整式不等号的方向不变不等式的两边都乘以或者除以一个正数不等号方向不变不等式的两边都乘以或除以同一个负数不等号方向相反不等式的解集能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集求不等式解集的过程叫做解不等式一元一次不等式左右两边都是整式只含有一个未知数且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式一元一次不等式组关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成了一元一次不等式组一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集求不等式组解集的过程叫做解不等式组一元一次不等式的符号方向在一元一次不等式中不

11、像等式那样等号是不变的他是随着你加或乘的运算改变在不等式中如果加上同一个数或加上一个正数不等式符号不改向例如a bac bc在不等式中如果减去同一个数或加上一个负数不等式符号不改向例如a ba-c b-c在不等式中如果乘以同一个正数不等号不改向例如a bac bcc 0在不等式中如果乘以同一个负数不等号改向例如a bac bcc 0如果不等式乘以0那么不等号改为等号所以在题目中要求出乘以的数那么就要看看题中是否出现一元一次不等式如果出现了那么不等式乘以的数就不等为0否则不等式不成立3函数变量因变量自变量在用图象表示变量之间的关系时通常用水平方向的数轴上的点自变量用竖直方向的数轴上的点表示因变量

12、一次函数若两个变量xy间的关系式可以表示成y kxbb为常数k不等于0的形式则称y是x的一次函数当b 0时称y是x的正比例函数一次函数的图象把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象正比例函数y kx的图象是经过原点的一条直线在一次函数中当k0bo则经234象限当k0b0时则经124象限当k0b0时则经134象限当k0b0时则经123象限当k0时y的值随x值的增大而增大当x0时y的值随x值的增大而减少二空间与图形a图形的认识1点线面点线面图形是由点线面构成的面与面相交得线线与线相交得点点动成线线动成面面动成

13、体展开与折叠在棱柱中任何相邻的两个面的交线叫做棱侧棱是相邻两个侧面的交线棱柱的所有侧棱长相等棱柱的上下底面的形状相同侧面的形状都是长方体n棱柱就是底面图形有n条边的棱柱截一个几何体用一个平面去截一个图形截出的面叫做截面视图主视图左视图俯视图多边形他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形弧扇形由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形圆可以分割成若干个扇形2角线线段有两个端点将线段向一个方向无限延长就形成了射线射线只有一个端点将线段的两端无限延长就形成了直线直线没有端点经过两点有且只有一条直线比较长短两点之间的所有连线中线段最短两点之间线段的长度叫做这两点之间的距

14、离角的度量与表示角由两条具有公共端点的射线组成两条射线的公共端点是这个角的顶点一度的160是一分一分的160是一秒角的比较角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的一条射线绕着他的端点旋转当终边和始边成一条直线时所成的角叫做平角始边继续旋转当他又和始边重合时所成的角叫做周角从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线平行同一平面内不相交的两条直线叫做平行线经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都与第3条直线平行那么这两条直线互相平行垂直如果两条直线相交成直角那么这两条直线互相垂直互相垂直的两条直线的交点叫做垂足平面内过一点有且只有一条直线

15、与已知直线垂直垂直平分线垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线垂直平分线垂直平分的一定是线段不能是射线或直线这根据射线和直线可以无限延长有关再看后面的垂直平分线是一条直线所以在画垂直平分线的时候确定了2点后关于画法后面会讲一定要把线段穿出2点垂直平分线定理性质定理在垂直平分线上的点到该线段端点的距离相等判定定理到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上角平分线把一个角平分的射线叫该角的角平分线定义中有几个要点要注意一下的就是角的角平分线是一条射线不是线段也不是直线很多时在题目中会出现直线这是角平分线的对称轴才会用直线的这也涉及到轨迹的问题一个角个角平分线就是到角边距离相等的点性质定理角平分线

16、上的点到该角边的距离相等判定定理到角的边距离相等的点在该角的角平分线上正方形一组邻边相等的矩形是正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质判定1对角线相等的菱形2邻边相等的矩形3相交线与平行线角如果两个角的和是直角那么称和两个角互为余角如果两个角的和是平角那么称这两个角互为补角同角或等角的余角补角相等对顶角相等同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行反之亦然4三角形三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边三角形三个内角的和等于180度三角形分锐角三角形直角三角形钝角三角形直角三角形的两个锐角互余三角形中一

17、个内角的角平分线与他的对边相交这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线三角形中连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线三角形的三条角平分线交于一点三条中线交于一点从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形的三条高所在的直线交于一点图形的全等全等图形的形状和大小都相同两个能够重合的图形叫全等图形全等三角形全等三角形的对应边角相等条件sssaasasasashl勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方反之亦然5四边形平行四边形的性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线平行四边形的对

18、边对角相等平行四边形的对角线互相平分平行四边形的判定条件两条对角线互相平分的四边形一组对边平行且相等的四边形两组对边分别相等的四边形定义菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形领心的四条边相等两条对角线互相垂直平分每一组对角线平分一组对角判定条件定义对角线互相垂直的平行四边形四条边都相等的四边形矩形与正方形有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的对角线相等四个角都是直角对角线相等的平行四边形是矩形正方形具有平行四边形矩形菱形的一切性质一组邻边相等的矩形是正方形梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形两条腰相等的梯形叫等腰梯形一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对角

19、线星等反之亦然多边形n边形的内角和等于n-2180度多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角在每个顶点处取这个多边形的一个外角他们的和叫做这个多边形的内角和都等于360度平面图形的密铺三角形四边形和正六边形可以密铺中心对称图形在平面内一个图形绕某个点旋转180度如果旋转前后的图形互相重合那么这个图形叫做中心对称图形这个点叫做他的对称中心中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分b图形与变换1图形的轴对称轴对称如果一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴轴对称图形角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

20、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等等腰三角形的三线合一轴对称的性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应线段对应角相等2图形的平移和旋转平移在平面内将一个图形沿着某个方向移动一定的距离这样的图形运动叫做平移经过平移对应点所连的线段平行且相等对应线段平行且相等对应角相等旋转在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度这样的图形运动叫做旋转经过旋转图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角对应点到旋转中心的距离相等3图形的相似比ab cd那么ad bc反之亦然ab cd那么a土bb c土ddab cd mn那么acmbd

21、n ab黄金分割点c把线段ab分成两条线段ac与bc如果acab bcac那么称线段ab被点c黄金分割点c叫做线段ab的黄金分割点ac与ab的比叫做黄金比根号5-12相似各角对应相等各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比相似三角形三角对应相等三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形条件aassssas相似多边形的性质相似三角形对应高对应角平分线对应中线的比都等于相似比相似多边形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方图形的放大与缩小如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点那么这样的两个图形叫做位似图形这个点叫做位似中心这时的相似比又称为位

22、似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比c图形的坐标平面直角坐标系在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系水平的数轴叫做x轴或横轴铅直的数轴叫做y轴或纵轴x轴与y轴统称坐标轴他们的公共原点o称为直角坐标系的原点他们分4个象限xayb记作abd证明定义与命题对名称与术语的含义加以描述作出明确的规定也就是给出他们的定义对事情进行判断的句子叫做命题分真命题与假命题每个命题是由条件和结论两部分组成要说明一个命题是假命题通常举出一个离子使之具备命题的条件而不具有命题的结论这种例子叫做反例公理公认的真命题叫做公理其他真命题的正确性都通过推理的方法证实经过证明的真命题称为定

23、理同位角相等两直线平行反之亦然sasasasss反之亦然同旁内角互补两直线平行反之亦然内错角相等两直线平行反之亦然三角形三个内角的和等于180度三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角由一个公理或定理直接推出的定理叫做这个公理或定理的推论三统计与概率1统计科学记数法一个大于10的数可以表示成a10n的形式其中1小于等于a小于10n是正整数扇形统计图用圆表示总体圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小这样的统计图叫做扇形统计图扇形统计图中每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比各类统计

24、图的优劣条形统计图能清楚表示出每个项目的具体数目折线统计图能清楚反映事物的变化情况扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比近似数字和有效数字测量的结果都是近似的利用四舍五入法取一个数的近似数时四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位对于一个近似数从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止所有的数字都叫做这个数的有效数字平均数对于n个数x1x2xn我们把x1x2xnn叫做这个n个数的算术平均数记为x上边一横加权平均数一组数据里各个数据的重要程度未必相同因而在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权这就是加权平均数中位数与众数n个数据按大小顺序排列处于最中间位置的一个数据或最中间两

25、个数据的平均数叫做这组数据的中位数一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数优劣平均数所有数据参加运算能充分利用数据所提供的信息因此在现实生活中常用但容易受极端值影响中位数计算简单受极端值影响少但不能充分利用所有数据的信息众数各个数据如果重复次数大致相等时众数往往没有特别的意义调查为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查其中所要考察对象的全体称为总体而组成总体的每一个考察对象称为个体从总体中抽取部分个体进行调查这种调查称为抽样调查其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本抽样调查只考察总体中的一小部分个体因此他的优点是调查范围小节省时间人力物力和财力但其调查结果往往不如普

26、查得到的结果准确为了获得较为准确的调查结果抽样时要主要样本的代表性和广泛性频数与频率每个对象出现的次数为频数而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率当收集的数据连续取值时我们通常先将数据适当分组然后再绘制频数分布直方图2概率可能性有些事情我们能确定他一定会发生这些事情称为必然事件有些事情我们能肯定他一定不会发生这些事情称为不可能事件必然事件和不可能事件都是确定的有很多事情我们无法肯定他会不会发生这些事情称为不确定事件一般来说不确定事件发生的可能性是有大小的概率人们通常用1或100来表示必然事件发生的可能性用0来表示不可能事件发生的可能性游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同必然事件发生的概率为

27、1记作p必然事件 1不可能事件发生的概率为0记作p不可能事件 0如果a为不确定事件那么0pa11过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 7平行公理 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行 9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行 11同旁内角互补两直线平行 12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等 14两直线平行同旁内角互补 15定理 三角形两边的和大于第三边 16推论 三角形两边

28、的差小于第三边 17三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 18推论1 直角三角形的两个锐角互余 19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边对应角相等 22边角边公理 sas 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理 asa 有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 24推论 aas 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理 sss 有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边直角边公理 hl 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1

29、 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2 到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角31推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60 34等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等等角对等边 35推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论 2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角

30、形中如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43定理 2 如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直

31、角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c的平方即a2b2 c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长abc有关系a2b2 c2那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于360 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于n-2180 51推论 任意多边的外角和等于360 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对

32、边分别相等的四边 形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积 对角线乘积的一半即s ab2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性

33、质定理1 正方形的四个角都是直角四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直

34、线上截得的线段也相等 79推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 80推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 81三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 l ab2 s lh 83 1 比例的基本性质如果ab cd那么ad bc 如果 ad bc 那么ab cd 84 2 合比性质如果ab cd那么 ab b cd d 85 3 等比性质如果ab cd mn bdn0 那么 acm bdn ab 86平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 87推论 平

35、行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例88定理 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边 89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90定理 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似 91相似三角形判定定理1 两角对应相等两三角形相似asa 92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93判定定理2 两边对应成比例且夹角相等两三角形相似sas 94判定定理3 三边对应成比例两三角形相似sss 95定理 如果一个

36、直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似 96性质定理1 相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆

37、的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 1

38、13圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角90的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角121直线

39、l和o相交 dr 直线l和o相切 d r 直线l和o相离 dr 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相

40、等 131推论 如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上 135两圆外离 drr 两圆外切 d rr 两圆相交 r-rdrr rr 两圆内切 d r-r rr 两圆内含dr-r rr 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n n3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点

41、为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于n-2180n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积sn pnrn2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积3a4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为360因此k n-2 180n 360化为n-2 k-2 4 144弧长计算公式l n兀r180 145扇形面积公式s扇形 n兀r2360 lr2 146内公切线长 d- r-r 外公切线长 d- rr 常用数学公式公

42、式分类 公式表达式 乘法与因式分 a2-b2 ab a-b a3b3 ab a2-abb2 a3-b3 a-b a2abb2 三角不等式 ababa-babab -bab a-ba-b -aaa 一元二次方程的解 -b b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a 根与系数的关系 x1x2 -ba x1x2 ca 注韦达定理 判别式b2-4ac 0 注方程有两个相等的实根 b2-4ac 0 注方程有两个不等的实根 b2-4ac 0 注方程没有实根有共轭复数根 某些数列前n项和123456789n n n1 22n-1 n2 2468101214 2n n n1 12

43、22324252627282n2 n n1 2n1 6 132333435363n3 n2 n1 24 122334455667n n1 n n1 n2 3 正弦定理 asina bsinb csinc 2r 注其中 r 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2 a2c2-2accosb 注角b是边a和边c的夹角四基本方法1配方法所谓配方就是把一个解析式利用恒等变形的方法把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式通过配方解决数学问题的方法叫配方法其中用的最多的是配成完全平方式配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法它的应用十分非常广泛在因式分解化简根式解方程证明等式和不等式求函数的极值和解

44、析式等方面都经常用到它2因式分解法 因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式因式分解是恒等变形的基础它作为数学的一个有力工具一种数学方法在代数几何三角等的解题中起着重要的作用因式分解的方法有许多除中学课本上介绍的提取公因式法公式法分组分解法十字相乘法等外还有如利用拆项添项求根分解换元待定系数等等3换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法我们通常把未知数或变数称为元所谓换元法就是在一个比较复杂的数学式子中用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子使它简化使问题易于解决4判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc 0abc属于ra0根的判别 b2-4ac不仅用来判定根

45、的性质而且作为一种解题方法在代数式变形解方程 组 解不等式研究函数乃至几何三角运算中都有非常广泛的应用韦达定理除了已知一元二次方程的一个根求另一根已知两个数的和与积求这两个数等简单应用外还可以求根的对称函数计论二次方程根的符号解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题等都有非常广泛的应用5待定系数法在解数学问题时若先判断所求的结果具有某种确定的形式其中含有某些待定的系数而后根据题设条件列出关于待定系数的等式最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系从而解答数学问题这种解题方法称为待定系数法它是中学数学中常用的方法之一6构造法在解题时我们常常会采用这样的方法通过对条件和结论的分析构造辅

46、助元素它可以是一个图形一个方程 组 一个等式一个函数一个等价命题等架起一座连接条件和结论的桥梁从而使问题得以解决这种解题的数学方法我们称为构造法运用构造法解题可以使代数三角几何等各种数学知识互相渗透有利于问题的解决7反证法反证法是一种间接证法它是先提出一个与命题的结论相反的假设然后从这个假设出发经过正确的推理导致矛盾从而否定相反的假设达到肯定原命题正确的一种方法反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不只一种 用反证法证明一个命题的步骤大体上分为 1 反设 2 归谬 3 结论反设是反证法的基础为了正确地作出反设掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的例如是不是存

47、在不存在平行于不平行于垂直于不垂直于等于不等于大 小 于不大 小 于都是不都是至少有一个一个也没有至少有n个至多有 n一1 个至多有一个至少有两个唯一至少有两个归谬是反证法的关键导出矛盾的过程没有固定的模式但必须从反设出发否则推导将成为无源之水无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾与已知的公理定义定理公式矛盾与反设矛盾自相矛盾8面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理不仅可用于计算面积而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法称为面积方法它是几何中的一种常用方法用归纳法或分析法证明平面几何题其困难

48、在添置辅助线面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来通过运算达到求证的结果所以用面积法来解几何题几何元素之间关系变成数量之间的关系只需要计算有时可以不添置补助线即使需要添置辅助线也很容易考虑到9几何变换法在数学问题的研究中常常运用变换法把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射中学数学中所涉及的变换主要是初等变换有一些看来很难甚至于无法下手的习题可以借助几何变换法化繁为简化难为易另一方面也可将变换的观点渗透到中学数学教学中将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来有利于对图形本质的认识几何变换包括1平移2旋转3对称10客观

49、性题的解题方法选择题是给出条件和结论要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型选择题的题型构思精巧形式灵活可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能从而增大了试卷的容量和知识覆盖面填空题是标准化考试的重要题型之一它同选择题一样具有考查目标明确知识复盖面广评卷准确迅速有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点不同的是填空题未给出答案可以防止学生猜估答案的情况要想迅速正确地解选择题填空题除了具有准确的计算严密的推理外还要有解选择题填空题的方法与技巧下面通过实例介绍常用方法 直接推演法直接从命题给出的条件出发运用概念公式定理等进行推理或运算得出结论选择正确答案这就是传统的解题方法这种解法叫直接推演法

50、2验证法由题设找出合适的验证条件再通过验证找出正确答案亦可将供选择的答案代入条件中去验证找出正确答案此法称为验证法也称代入法当遇到定量命题时常用此法3特殊元素法用合适的特殊元素如数或图形代入题设条件或结论中去从而获得解答这种方法叫特殊元素法4排除筛选法对于正确答案有且只有一个的选择题根据数学知识或推理演算把不正确的结论排除余下的结论再经筛选从而作出正确的结论的解法叫排除筛选法5图解法借助于符合题设条件的图形或图象的性质特点来判断作出正确的选择称为图解法图解法是解选择题常用方法之一6分析法直接通过对选择题的条件和结论作详尽的分析归纳和判断从而选出正确的结果称为分析法初中几何常见辅助线作法歌诀汇编

51、转人说几何很困难难点就在辅助线辅助线如何添把握定理和概念还要刻苦加钻研找出规律凭经验图中有角平分线可向两边作垂线也可将图对折看对称以后关系现角平分线平行线等腰三角形来添角平分线加垂线三线合一试试看线段垂直平分线常向两端把线连要证线段倍与半延长缩短可试验三角形中两中点连接则成中位线三角形中有中线延长中线等中线平行四边形出现对称中心等分点梯形里面作高线平移一腰试试看平行移动对角线补成三角形常见证相似比线段添线平行成习惯等积式子比例换寻找线段很关键直接证明有困难等量代换少麻烦斜边上面作高线比例中项一大片半径与弦长计算弦心距来中间站圆上若有一切线切点圆心半径连切线长度的计算勾股定理最方便要想证明是切线

52、半径垂线仔细辨是直径成半圆想成直角径连弦弧有中点圆心连垂径定理要记全圆周角边两条弦直径和弦端点连弦切角边切线弦同弧对角等找完要想作个外接圆各边作出中垂线还要作个内接圆内角平分线梦圆如果遇到相交圆不要忘作公共弦内外相切的两圆经过切点公切线若是添上连心线切点肯定在上面要作等角添个圆证明题目少困难辅助线是虚线画图注意勿改变假如图形较分散对称旋转去实验基本作图很关键平时掌握要熟练解题还要多心眼经常总结方法显切勿盲目乱添线方法灵活应多变分析综合方法选困难再多也会减虚心勤学加苦练成绩上升成直线1垂径定理如果一条直线具备以下五个性质中的-任意两个性质经过圆心垂直弦平分弦平分弦所对的劣弧-平分弦所对的优弧那么

53、这条直线就具有另外三个性质注具备时弦不能是直径2两条平行弦所夹的弧相等3圆心角的度-数等于它所对的弧的度数4一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半5圆周-角等于它所对的弧的度数的一半6同弧或等-弧所对的圆周角相等7在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等890o的圆周角-所对的弦是直径反之直径所对的圆周角是90o直径是最长的弦9圆内接四边形的对角互补5三角形的内心与外心三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线 的交点三-角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论1rtabc的三条边分别为abcc为斜边则它的内切圆的半径- 图62abc

54、的周长为图7-0面积为s其内切圆的半径为r则图76弦切角定理及其推论1弦切角顶点在圆上并且一边和圆相交另一边和圆相切的角叫做弦切角如图pac为弦切角2弦切角定理弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半如果ac是o的弦pa是o的切线a为切点则图8推论弦切角等于所夹弧所对的圆周角作用证明角相等如果ac是o的弦pa是o的切线a为切点则图9图107相交弦定理割线定理切割线定理相交弦定理圆内的两条弦相交被交点分成的两条线段长的积相等 如图即papb pcpd割线定理 从圆外一点引圆的两条割线这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等如图即papb pcpd切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割

55、线与圆交点的两条线段长的比例中项如图即pc2 papb图118面积公式s正-图12- 边长 2- s平行四边形底高s菱形底高-图13- 对角线的积 图14-s圆r2l圆周长2r弧长l-图15- 图16s圆柱侧底面周长高2rhs全面积s侧s底2rh2r2s圆锥侧- -底面周长母线rb s全面积s侧s底rbr2数学公式1整数 包括正整数0负整数 和分数 包括有限小数和无限环循小数 都是有理数如3- 图17-02310737373-图18-图19-无限不环循小数叫做无理数-如图20-01010010001 两个1之间依次多1个0 有理数和无理数统称为实数2-绝对值a0-图21-丨a丨a-a0图21-

56、丨a丨a如丨-图22-丨-图22-丨314丨3143一个近似数从左边笫一个不是0的数字起到最末一个数字止所有的数字都叫做这个-近似数的有效数字如com0060结果有两个有效数字604把一个数写成a10n-的形式 其中1a10n是整数 这种记数法叫做科学记数法如407004071050000043-431055乘法公式 反过来就是因式分解的公式 ab ab a2b2 ab 2a22abb2- ab a2abb2 a3b3 ab a2abb2 a3b3a2b2 ab 22ab ab 2 ab 24ab6幂的运算性质-amanamnamanamn am namn ab nanbn 图23- n-n-an图24特别 -图23- n -图25- n-a01 a0 如a3a2a5a6a2a4 a3 2a6 3a3- 327a9 3 1-图26-52-图27-图28- 图29- 2 -图30- 2-图31- 314 o1- -图22图18- 017二次根式- -图32- 2a- a0 -图34-丨a丨-图35-0-图32-图33-图35-图36- a0b0 -如- 3-图20- 245-图37-6a0时-图38-a-图33-图39-的平方根4的平方根