微分的概念、性质及应用

1、图2-1从上式可以看出,A X。2 2X X。2x。xA分成两部分，第一部分2x。A是A的线性函数，即图中带有斜第二章第6节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用 微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1. 微分的定义计算函数增量 y f x0 X f X0是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方 法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由X。变到X。X （图2-1 ），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为 x，面积为A，

2、贝y A是x的函数：A x2。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自X。取得增量 x时，函数 A相应的增量A，即2线的两个矩形面积之和，而第二部分X在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当2 2x 0时，第二部分x 是比 x高阶的无穷小，即x 0 x。由此可见，如果边长改变很微小，即I x很小时，面积的改变量 A可近似地用第一部分来代替。般地，如果函数 y f x满足一定条件，则函数的增量y可表示为其中A是不依赖于 x的常数，因此 A x是x的线性函数，且它与 y之差y Ax Ox ,是比 x高阶的无穷小。所以，当A 0,且 x很小时，我们就可近似地用 A x来代替 y。

3、定义 设函数y f x在某区间内有定义，x0x及x0在这区间内，如果函数的增量y f xo x f xo可表示为y A x 0 x ，其中A是不依赖于 x的常数，而0 x是比 x高阶的无穷小，那么称函数 y f x在点 X。是可微的，而 A x叫做函数y f x在点x。相应于自变量增量 x的微分，记作dy， 即dy Ax。定理1 函数fx在点X。可微的充分必要条件是函数f x在点X。可导，且当f点X0可微时，其微分心曰 定是dyX0 x。设函数y f X在点X可微，则按定义有式成立。式两边除以xyX曰是,A 0 xAx当 x 0时,由上式就得到因此,00XX0 。如果函数 f X在点x0可微，

4、则f X在点x0也一定可导（即f X存在）欢迎下载2A f x0 。反之，如果y f x在点x0可导，即lim yx 0 x存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成X0，fX其中0 （当 x 0 ）。由此又有f x0X X。因 x 0 x，且不依赖于 x，故上式相当于式，所以 f x在点x0也是可微的。由此可见，函数f x在点X。可微的充分必要条件是函数f x在点X。可导，且当f X在点X。可微时，其微分- 定是dy f x0 x。微分在近似计算中的应用:在f X。0的条件下，以微分dy f x0 x近似代替增量f X0Xf X0时，相对误差当 X 0时趋于零。因此，在 X很小时，有精确例1设

5、yxe cosx，求 dy解:屯Xe cosxXe sinxdxdyeX(cosxsin x)dx1欢迎下载3度较好的近似等式dy。即 f x0 Xf x0X0或 f (x)f(x)f (x) X特别地，当x00, x很小时，有f(x)f(0)f (0)x(3)(3)式是计算零点附近的函数值当 X很小时，有下列近似计算公式:对1 xsin xtgxln(1 x)例证明:(当X很小时)f(x)因为f(0)1 f (0)丄(1n11nX)|x由 f(x) f(0) f (0)x 1故，当 x很小时，n1 X 1Xn例2 一个充好气的气体，r 4m,升空后，因外面气压降低，气球半径r增大了 10cm

6、, 求体积增加了多少？43解：因为Vr33所以 V dv (4 r3) x 4 r2 x3234 3.14 40.120(m )例3求4.2的近似值.解设 f (x). x，取 X。4, x 0.2，则1x 4.2f (x)f(4)2 f (4)21 x所以.4.2f(4) f (4)(4.2 4)2.05或者：4.2, 4(10.05)2.1 0.052(1 0.5 0.05)2.052. 微分的几何意义在直角坐标系中,一个确定点 M X0,到曲线上另一点N为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。图2-2函数 y f x的图形是一条曲线。对于某一固疋的x0值，曲线上有 yo当自

7、变量x有微小增量 x时，就得x0x, y0 y .从图2-2可知：MQ x ,QN y。过M点作曲线的切线，它的倾角为，则QP MQ tan x f x0 ,dy QP。dy就是曲线的切线上 M由此可见，当y是曲线y f x上的M点的纵坐标的增量时,因此在点 M的邻近，我u、v都可导）点的纵坐标的相应增量。当x很小时，y dy比 X小得多。们可以用切线段来近似代替曲线段。3. 微分运算法则及微分公式表由dy f xdx，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当du v du dv，d Cu Cdu，d u v vdu udv ， u vdu udvd厂vv微分公式表：1d xx dx，d si

8、n xcos xdx，d cosx sin xdx，d tan xsec2 xdx，d cot xesc2 xdx，d secx secx tanxdx，d cscxcscxcot xdx，d ax ax In adx，d exexdx，d loga x1xln adx，d Inxdx， x1d arcs in x dx，V1 x2d arccosx1 d arctanx2 dx，1 x21 d arccotx2 dx。1 x注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如:I dx2d x，欢迎下载7d-,x dxx1 dx d ax b，a1 axdx一 dax。In a4. 复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:x都可导，则复合函数yx的微分为dy yxdxf ux dx。由于 x dx du ,所以，复合函数 y的微分公式也可以写成dy f u du 或 dyyudu。由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数， 微分形式dy f u du保持不 变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任一可微函数时），微分形式dy f u du并不改变。例4求y esinx的微分解 dy d（esinx） esinxdsinx esinx cos