我的教育统计学笔记

1、教材：教育统计学（王孝玲编著，修订版）华东师范大学出版社1993年6月第一版第一章 绪论第一节 什么是统计学和心理统计学一、什么是统计学统计学是研究统计原理和方法的科学。具体地说，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物总体信息的数字资料，并以此为依据，对总体特征进行推断的原理和方法。统计学分为两大类。一类是数理统计学。它主要是以概率论为基础，对统计数据数量关系的模式加以解释，对统计原理和方法给予数学的证明。它是数学的一个分支。另一类是应用统计学。它是数理统计原理和方法在各个领域中的应用，如数理统计的原理和方法应用到工业领域，称为工业统计学；应用到医学领域，称为医学统计学；应用到心理学领域，称为心

2、理统计学，等等。应用统计学是与研究对象密切结合的各科专门统计学。二、统计学和心理统计学的内容统计学和心理统计学的研究内容，从不同角度来分，可以分为不同的类型。从具体应用的角度来分，可以分成描述统计，推断统计和实验设计三部分。1描述统计对已获得的数据进行整理、概括，显示其分布特征的统计方法，称为描述统计。2推断统计根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证，在一定可靠程度上，对总体分布特征进行估计、推测，这种统计方法称为推断统计。推断统计的内容包括总体参数估计和假设检验两部分。3实验设计实验者为了揭示试验中自变量和因变量的关系，在实验之前所制定的实验计划，称为实验设计。其中包括选择怎样的

3、抽样方式；如何计算样本容量；确定怎样的实验对照形式；如何实现实验组和对照组的等组化；如何安排实验因素和如何控制无关因素；用什么统计方法处理及分析实验结果，等等。以上三部分内容，不是截然分开，而是相互联系的。第二节 统计学中的几个基本概念一、随机变量具有以下三个特性的现象，成为随机变量。第一，一次试验有多中可能结果，其所有可能结果是已知的；第二，试验之前不能预料哪一种结果会出现；第三，在相同的条件下可以重复试验。随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。我们把能表示随机现象各种结果的变量称为随机变量。统计处理的变量都是随机变量。二、总体和样本总体是我们所研究的具有共同特性的个体的总和。总体中的每个单

4、位成为个体。样本是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。当总体所包含的个数有限时，这一总体称为有限总体。而总体所包含的个数无限时，则称为无限总体。样本中包含的个体数目称为样本的容量，一般用n来表示。一般来说，样本中个体数目大于30称为大样本，等于或小于30称为小样本。在对数据进行处理时，大样本和小样本所用的统计方法不一定相同。三、统计量和参数样本上的数据特征是统计量。总体上的各种数字特征是参数。在进行统计推断时，就是根据样本统计量来推断总体相应的参数。第二章 数据的初步整理 第一节 数据的来源、种类及其分类一、统计资料的来源统计资料的来源有两个方面：1、经常性资料2、专题性资料:（1）调查资

5、料（2）实验资料二、数据的种类数据是随机变量的观察值。它是用来描述对客观事物观察测量的数值。数据的种类不同，统计处理的方法也不同。根据统计数据来源可分为点计数据和度量数据；按随机变量取值情况，可分为间断性随机变量的数据和连续性随机变量的数据。1、点计数据和度量数据点计数据是指计算个数所获得的数据。度量数据是指用一定的工具或一定的标准测量所获得的数据。2、间断性随机变量的数据和连续性随机变量的数据取值个数有限的数据，称为间断性随机变量的数据。这种数据的单位是独立的，两个单位之间不能划分成细小的单位，一般用整数表示。取值个数无限的（不可数的）数据，称为连续性随机变量的数据。它们可能的取值范围能连续

6、充满某一个区间。数据的单位之间可以再划分成无限多个细小的单位。数据可以用小数表示。三、数据的统计分类数据的统计分类，是指按照研究对象的本质特征，根据分析研究的目的、任务，以及统计分析时所用统计方法的可能性，将所获得的数据进行分组归类。它是对数据进行归纳、整理、简化、概括的第一步，为进一步分析研究打下基础。分类的标志按形式划分，可分为性质类别和数量类别。性质类别是按事物的不同性质进行分类。这种分类不表明事物之间的差异。性质类别还可以进一步分成不同的层次。数量类别是按数值大小进行分类，并排成顺序。在排列顺序时，可以直接按数值大小进行排列，也可以用等级顺序进行排列。第二节 统计表一、统计表的结构及其

7、编制的原则和要求。统计表一般由标题、表号、标目、线条、数字、表注等项构成。标题标题是表的名称，应确切地、简明扼要地说明表的内容。表号表号是表的序号。标目标目是表格中对统计数据分类的项目。线条线条不宜过多。数字表内数字必须准确，一律用阿拉伯数字表示，位次对齐，小数的位数一致。表注它不是表的必要组成部分。二、统计表的总类1、简单表只列出观察对象的名称、地点、时序或统计指标名称的统计表为简单表。2、分组表只按一个标志分组的统计表为分组表。3、复合表按两个或两个以上标志分组的统计表为复合表。三、频数分布表列法1、简单频数分布表（1）间断变量的频数分布表（2）连续变量的频数分布表步骤：求全距决定组数和组

8、距决定组限决定组限登记频数2、累积频数和累积百分比分布表（1）累积频数分布表用累积频数表示的频数分布表称为累积频数分布表。（2）累积百分比分布表累积百分比分布表是累积频数分布表的变型。它是用累积百分比表示的频数分布表。第三节 统计图一、统计图的结构及其绘制规则统计图由标题、图号、标目、图形、图注等项构成。下面按其构成部分说明绘图的基本规则。标题图的名称应简明扼要，切合图的内容，必要时可注明时间、地点。图号文章中若有几幅画，则需按其出现的先后次序编上序号，写在图题的作前方。标目对于有纵横轴的统计图，应在纵横轴上分别标明统计项目及其尺度。图形图形线在图中为最粗，而且要清晰。图注图注不是图中必要组成

9、部分。二、表示间断变量的统计图1、直条图直条图是用直条的长短表示统计事项数量的图形。它主要是用来比较性质相似的间断性资料。2、圆形图圆形图是用来表示间断性资料构成比的图形。三、表示连续变量的统计图1、线形图线形图用来表示连续性资料。它能表示两个变量之间的函数关系；一种事物随另一种事物变化的情况；某种事物随时间推移的发展趋势等。2、频数分布图常用的频数分布图有直方图、多边图和累积多边图。（1）直方图直方图用面积表示频数分布。用各组上下限上的矩形面积表示各组频数。（2）多边图多边图以纵轴上的高度表示频数的多少。（3）累积频数和累积百分比多边图第三章 集中量集中量是代表一组数据典型水平或几种趋势的量

10、。它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。第一节 算术平均数一、算术平均数的概念算术平均数是所有观察值得总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。计算公式为（3.1）。算术平均数的特征：（1）观察值的总和等于算术平均数的N倍；（2）各观察值与其算术平均数之差的总和等于零；（3）若一组观察值是由两部分（或几部分）组成，这组观察值的算术平均数可以由组成部分算术平均数而求得；二、算术平均数的应用及其优缺点算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些条件：（1）反应灵敏。（2）严密确定。简明易懂，计算方便。（3）适合代数运算。（4）受抽样变动的影响较小。除此之外，算数平均数还有几个特殊的优点：

11、（1）只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数。（2）用加权法可以求出几个平均数的总平均数。（3）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值。（4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。算术平均数的缺点：（1）易受两极端数值（极大或极小）的影响。（2）一组数据中某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数。第二节 中位数一、中位数的概念中位数是位于依一定顺序排列的一组数据中央位置的数值，在这一数值上、下各有一半频数分布着。二、中位数的计算方法1、原始数值计算方法将一组原始数据依大小顺序排列后，若总频数为奇数，就以位

12、于中央的数据作为中位数；若总频数为偶数，则以最中间的两个数据的算术平均数作为中位数。2、频数分布表计算法若一组原始数据已经编成了频数分布表，可用内插法，通过频数分布表计算中位数。三、百分位数的概念及其计算方法百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值。在心理测量中，常通过计算百分位数来说明、解释和评价分数在团体中所处的位置。计算公式为（3.5）。四、中位数的应用及其优缺点中位数虽然也具备一个良好的集中量所应具备的某些条件，例如比较严格确定、简明易懂，计算简便，受抽样变动影响较小，但是它不适合进一步的代数运算。它适用于以下几种情况：（1）一组数据中有特大或特小两极端数值时；（2）

13、一组数据中有个别数据不确切时；（3）资料属于等级性质时。第三节 众数一、众数的概念众数是集中量的一种指标。对众数有理论众数及粗略众数两种定义方法。理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。粗略众数是指一组数据中频数出现最多的那个数。二、众数的计算方法1、用观察法直接寻找粗略众数粗略众数不需要计算，可通过观察直接寻得。2、用公式求理论众数的近似值(1)皮尔逊(K.Person)的经验法利用皮尔逊发现的算术平均数、中位数、众数三者关系来求理论众数近似值的经验公式为（3.6）。(2)金氏(W.I.King)插补法当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和与以下各组频数总和相差较多时

14、，可以用金氏公式计算众数，以进行比率调整。其公式为（3.7）。三、众数的应用及其优缺点众数虽然简明易懂，但是它并不具备一个良好的集中量的基本条件。它主要在以下情况下使用：（1）当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时；（2）当需要利用算术平均数、中位数和众数三者关系来粗略判断频数分布的形态时；（3）利用众数帮助分析解释一组频数分布是否确实具有两个频数最多的集中点时。第四节 加权平均数、几何平均数一、加权平均数加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。计算公式为（3.8）或（3.9）。二、几何平均数几何平均数是N个数值连乘积的N次方根。计算公式为（3.10）。当一个数列的后一个数据是以前一个

15、数据为基础成比例增长时，要用几何平均数求其平均增长率。第四章 差异量第一节全距、四分位距、百分位距（略）第二节平均差一、平均差的概念所谓平均差，就是每一个数据与该组数据的中位数（或算术平均数）离差的绝对值的算术平均数。二、平均差的计算方法用原始数据计算平均差的公式为（4.3）三、平均差的优缺点平均差意义明确，计算容易，每个数据都参加了运算，考虑到全部的离差，反应灵敏。但计算要用绝对值，不适合代数运算。第三节 方差和标准差一、方差和标准差的概念方差是指离差平方的算术平均数。其定义公式为（4.5），计算公式是（4.7）。标准差是指离差平方和平均后的方根。即方差的平方根。其定义公式为（4.6），计算

16、公式是（4.8）。二、方差和标准差的应用及其优缺点方差和标准差的优点：反应灵敏，随任何一个数据的变化而表示；一组数据的方差和标准差有确定的值；计算简单；适合代数计算，不仅求方差和标准差的过程中可以进行代数运算，而且可以将几个方差和标准差综合成一个总的方差和标准差；用样本数据推断总体差异量时，方差和标准差是最好的估计量。第三节 相对差异量一、相对差异量的概念上述全距、四分位距、平均差及标准差都是带有与原观察值相同单位的名数，称为绝对差异量。这种差异量对两种单位不同，或单位相同而两个平均数相差较大的资料，都无法比较差异的大小，必须用相对差异量（即差异系数）进行比较。所谓差异系数是指标准差与其算术平

17、均数的百分比。它是没有单位的相对数。其计算公式是（4.11）二、差异系数的用途1、比较不同单位资料的差异程度2、比较单位相同而平均数相差数较大的两组资料的差异量程度3、可判断特殊差异情况三、差异系数的应用条件从测验的理论来说，只有等比量表才使平均数等于零成为不可能。也就是说，用来测量的量尺，既具有等距的单位，又具有绝对零点，这时所测量出的数据其平均数才不可能等于零，这时才能计算差异系数。第五节 偏态量及峰态量偏态量及峰态量是用以描述数据分布特征的统计量。一、偏态量1、利用算术平均数与众数或中位数的距离来计算。2、根据动差来计算。二、峰态量1、用两个百分位距来计算。2、根据动差来计算。第五章概率

18、及概率分布第一节概率的一般概念一、概率的定义概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。1、后验概率的定义以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。计算公式是（5.2）。2先验概率的定义先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。古典概率模型要求满足两个条件：（1）试验的所有可能结果是有限的；（2）每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。若所有可能结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概率计算公式为（5.3）。二、概率的性质1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；2、不可能事件的概率等于0

19、；3、必然事件的概率等于1。三、概率的加法和乘法1、概率的加法在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。2.概率的乘法A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独立事件。两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。二项分布一、满足以下条件的试验称为二项试验：（1）一次试验只有两种可能结果，即成功和失败；（2）各次试验相互独立，互不影响；（3）各次试验中成功的概率相等。二、二项分布函数二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现不同次数（X=0,1,n）的概念分布叫做二项分布

20、。二项展开式的通式就是二项分布函数，运用这一函数式可以直接求出成功事件恰好出现X次的概率。三、二项分布图从二项分布图可以看出，当p=q，不管n多大，二项分布呈对称形。当n很大时，二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。四、二项分布的平均数和标准差当二项分布接近于正态分布时，在n次二项实验中成功事件出现次数的平均数和标准差分别可以由公式=np和=计算而得。五、二项分布的应用1.求成功事件恰好出现X次的概率 2.在教育学中主要用来判断实验结果的机遇性与真实性的界限。若实验次数n较大，一般都用正态分布近似处理。六、正态分布1.正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。2.

21、正态曲线的特点（1）曲线在Z=0处为最高点。（2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称。（3）曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永远不与基线相交。（4）标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。（5）曲线从最高点向左右延伸时，在正负1个标准差是拐点。正态分布中的、N都是常量，在每个正态分布中，它们的变化会导致正态曲线不同，如下图，尽管平均数相同，但由于不同而正态分布的形态差异较大。N个平均数相同的正态分布，标准差小的，正态曲线高狭，标准差大的，正态曲线就低阔。（如上图）3.标准正态分布：平均数为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布4.正态分布在测验计分方面的应用（1）将原始分数转换成标准分

22、数标准分数的意义：第一，各科标准分数的单位是绝对等价的；第二、标准分数的正负和大小可以反映出考生在全体考分中所处的地位。（2）确定录用分数线（3）确定等级评定的人数（4）品质评定数量化5.基本随机变量中有不服从正态分布的，对他们进行检验的方法有：偏态描述法（偏态量数SK）当SK 0时，分布为正偏态；SK30）时，样本平均数与总体平均数离差统计量均呈正态分布。三、未知条件下总体平均数的区间估计1、未知条件下总体平均数的区间估计的基本原理当总体未知，总体呈正态分布，样本容量无论大小时，或者当总体未知，总体虽不呈正态分布，但样本容量较大（n 30）时，样本平均数与总体平均数离差统计量均呈t分布。区间

23、估计的计算公式为（6.10）和（6.11）。2、小样本的情况3、大样本的情况可以用正态分布近似处理。假设检验的基本原理假设检验：通过对两个统计值的比较、分析，判断两者之间的差异是抽样误差所致还是由于总体参数间真正存在差异的过程叫做假设检验。（统计值之间的差异一般有：两个平均数、两个方差、两个比率、两个相关系数的差异。对于这些差异一般分两种情况讨论：样本统计量与相应的总体参数的差异；两个样本统计量之间的差异。）（利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。）统计假设检验就是利用两个统计值之间的差异来检验其总体参数是否有差异。显著差异：通过检验，如果所

24、得差异超过了统计学所规定的某一误差界限，则表明这个差异已不属于抽样误差，而是样本来自的总体本身确有差异，这种情况称之为差异显著。表明两者之间有本质的差别。差异不显著：若所得差异未达到规定的界限，则表明该差异主要来自抽样误差，此时称之为差异不显著。表明两者之间无本质差别。一、假设假设检验一般有两个相互对立的假设。即零假设（或称原假设、虚无假设、解消假设）和备择假设（或称研究假设、对立假设）。假设检验是从零假设出发，视其被拒绝的机会，从而得出决断。二、小概率事件把出现小概率的随机事件称为小概率事件。小概率事件是否出现，这是对假设作出决断的依据。两种判断小概率出现的水平：（1）以P0.05作为小概率

25、事件的标准（2）P0.01为标准。这个标准称为显著性水平，用=0.05，=0.01表示，当取定0.05（0.01）时，只要统计量的值在抽样分布中出现的概率等于或者小于0.05（0.01）就可以认为小概率发生，则拒绝零假设。三、显著性水平拒绝零假设的概率称为显著性水平。显著性水平和可靠性程度之间的关系是：两者之和为1。四、统计决断的两类错误及其控制如果拒绝了属于真实的零假设，即如果样本统计量的总体参数正是假设的总体参数，但是由于样本统计量的值落入了拒绝区域。而零假设遭到拒绝，这时就会犯第一类型的错误。这种错误的可能性大小正是显著性水平的大小，故又称这类错误为错误。如果保留了属于不真实的零假设，就

26、会犯第二类型的错误。犯这种“假设属伪而被保留”的第二类错误的概率，等于值，故又称这类错误为错误。要使第一类错误的概率保持在需要的水平上，而控制第二类错误的概率，有以下方法：（1）利用已知的实际总体参数与假设参数值之间的大小关系，合理安排拒绝领域的位置，选择双侧检验还是单侧检验，左侧检验还是右侧检验；（2）加大样本容量。平均数差异的显著性检验第一、相关样本平均数差异的显著性检验相关样本:两个样本内个体之间存在着一一对应的关系，这两个样本称为相关样本。相关样本有以下两种情况：（1）用同一测验对同一组被试在试验前后进行两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。（2）根据某些条件基本相同的原则，把被试

27、一一匹配成对，然后将每对被试随机地分入实验组和对照组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用同一测验所获得的测验结果，也是相关样本。相关样本平均数差异的显著性检验方法和步骤：（1）提出假设（2）选择检验统计量并计算其值。（3）确定检验形式（4）统计决断如：1.提出假设：2.选择检验统计量并计算其值： 3.确定显著性水平，查表求出临界值。df=？，t（n）0.05=？，t(n)0.01=? 4.统计决算 ： t(17)0.01=2.567t*=2.835 P0.01 接受H1 第二、独立样本平均数差异的显著性检验两个样本内的个体是随机抽取的，它们之间不存在一一的对应关系，这样的两个样本称为独立样本

28、。一、独立大样本平均数差异的显著性检验两个样本容量n1和n1都大于30的独立样本称为独立大样本。二、独立小样本平均数差异的显著性检验两个样本容量n1和n1均小于30，或其中一个小于30的独立样本称为独立小样本。独立小样本平均数差异的显著性检验方法：1、方差齐性时如果两个独立样本的总体方差未知，经方差齐性检验表明两个总体方差相2、方差不齐性时对于方差不齐性的两个独立样本平均数差异显著性检验，需要用校正的t作为检验统计量。第三、方差齐性检验方差的齐性检验：对两个总体方差差异的显著性进行检验，当两个总体方差的差异不显著时，就说两个总体方差齐性或一致或相等。两种齐性检验方法：1.t检验：对两个相关样本

29、的方差进行齐性检验。2.F检验：对两个独立样本方差是否齐性进行检验。一、F分布若从方差相同的两个正态总体中，随机抽取两个独立样本，以此为基础，分别求出两个相应总体总体方差的估计值，这两个总体方差估计值的比值称为F比值，F比值的抽样分布称为F分布。F分布的形态随F比值分子和分母中自由度的变化而形成一簇正偏态分布。一般情况下，经常应用的是右侧F检验，计算F值时，将大的总体方差估计值作为分子，小的作为分母。第 章方差分析方差分析可以一次性综合地检验三个及三个以上样本均值的差异显著性程度。它是通过分析样本数据的各项变量来源，以检验三个或三个以上样本平均值是否具有显著性差异的一种统计方法。组间差异（组间

30、平方和）：指各组平均值与总平均值离均差的平方和，即各组平均数之间的差异。SS组内差异（组内平方和）：指每个被测的观测数据与其组内的平均值离均差的平方和，即各组内部分数之间的差异，记为SS方差分析的类别：单因素方差分析、多因素方差分析、协方差分析、多元方差分析、重复测量方差分析、方差成分分析第一节方差分析的基本原理一、方差分析的目的方差分析的基本功能就在于它对多组平均数差异的显著性进行检验的作用。二、方差分析的逻辑组间差异对组内差异的比值越大，则各组平均数的差异就越明显。通过对组间差异与组内差异比值的分析，来推断几个相应平均数差异的显著性，这就是方差分析的逻辑。三、以F检验来推断几个平均数差异的

31、显著性四、方差分析中的几个概念实验中的自变量称为因素。只有一个自变量的实验称为单因素实验。有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验。某一个因素的不同情况称为因素的“水平”。包括量差或质别两类情况，按各个“水平”条件进行的重复实验称为各种处理。第二节完全随机设计的方差分析为了检验某一个因素多种不同水平间的差异的显著性，将从同一个总体中随机抽取的被试，再随机地分入各实验组，施以各种不同的实验处理以后，用方差分析法对这多个独立样本平均数差异的显著性进行检验，称为完全随机设计的方差分析。一、n 相等的情况用公式（8.4）-（8.6）。二、n 不相等的情况用公式（8.7）-（8.8）。三、运用样本统计

32、量进行组间与组内方差的F检验用第181页上的公式。第三节随机区组设计的方差分析用方差分析法对多个相关样本平均数差异所进行的显著性检验，称之为随机区组设计的方差分析每一区组内被试的人数分配有以下三种方式：（1）一个被试作为一个区组；（2）每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍；（3）区组内以一个团体为一个基本单元。区组平方和等数据的计算用公式（8.9）-（8.11）。第四节各个平均数差异的显著性检验对多组平均数的逐对差异检验，以Newman-Keul提出的q检验法（或称N-K）最为常用。一、完全随机设计的q检验公式（8.14）或（8.15）。二、随机区组设计的q检验公式（8.16）。第五节多组

33、方差的齐性检验多组方差的显著性可以用哈特莱（Hartley）所提出的最大F值检验法进行齐性检验。公式（8.17）。第六节多因素方差分析简介一、多因素方差分析的功能多因素方差分析不仅可以检验各个因素对因变量作用的显著性，而且还可以检验因素与因素间共同结合对因变量发生交互作用的显著性。二、双因素完全随机设计方差分析的基本方法计算时使用公式（8.18）-（8.20）和第204-205页上的公式。第九章总体比率的推断第一节比率的抽样分布一、数据的特点对点计数据的统计推断，应采用总体比率的推断方法或卡方检验。当事物仅被划分成两类，可用总体比率的推断进行统计推断；当事物被划分为成两类以上时，则需用卡方检验

34、进行统计推断。当然卡方检验也可以对仅有两种类别的资料进行统计推断。二、比率的抽样分布比率的抽样分布是二项分布。当p=q，无论n的大小，二项分布呈对称形；当p q且np5时，二项分布已经开始接近正态分布。三、比率的标准误比率的标准误是由二项分布的标准差除以n而获得。第二节总体比率的区间估计一、正态近似法公式（9.3）（9.5）。二、查表法用附表6。第三节总体比率的假设检验一、正态近似法公式（9.6）（9.5）。二、查表法用附表6。第四节总体比率差异的显著性检验一、两个独立样本比率差异的显著性检验两个独立样本比率差异的标准误：公式（9.8）。如果两个独立样本的最小频数都等于或大于5，两个样本比率之

35、差的抽样分布也接近于正态，于是可用Z检验两个比率之差的显著性。其检验统计量为公式（9.11）。二、两个相关样本比率差异的显著性检验两个相关样本比率之差的检验公式为（9.13）。第十章卡方检验第一节2及其分布一、卡方检验的特点卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验。即根据样本的频数分布来推断总体的分布。它属于自由分布的非参数检验。它可以处理一个因素分为多种类别，或多种因素各有多种类别的资料。所以，凡是可以应用比率进行检验的资料，都可以用卡方检验。二、卡方检验的统计量卡方检验统计量的基本形式为公式（10.1）。2值有以下几个特点：（1）2值具有可

36、加性。（2）2值永远是正值。（3）2值的大小随实际频数与理论频数差的大小而变化。三、2的抽样分布2分布有以下几个特点：（1）2分布呈正偏态，右侧无限延伸，但永不与基线相交。（2）2分布随自由度的变化而形成一簇分布形态。自由度越小，2分布偏斜度越大；自由度越大，2分布形态越趋于对称。第二节单向表的卡方检验把实得的点计数据按一种分类标准编制成表就是单向表。对于单向表的数据所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验，即单因素的卡方检验。一、按一定比率决定理论频数的卡方检验二、一个自由度的卡方检验当df=1，其中只有一个组的ft 5，就要运用亚茨（Yates）连续性校正法（10.2）。三、频数分布正态性的卡

37、方检验第三节双向表的卡方检验把实得的点计数据按两种分类标准编制成的表就是双向表。对双向表的数据进行的卡方检验，就是双向表的卡方检验，即双因素的卡方检验。在双向表的卡方检验中，如果要判断两种分类特征，即两个因素之间是否有依从关系，这种检验称为独立性卡方检验。在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，这种卡方检验称为同质性检验。双向表的独立性卡方检验和同质性卡方检验，只是检验的意义不同，而方法完全相同，都应用公式（10.3）或（10.4）。对于同一组数据所进行的卡方检验，有时即可以理解为独立性卡方检验，又可以理解为同质性检验，两者无本质区别。第四节四格表的卡方检验一、独立样本四格表

38、的卡方检验独立样本四格表的卡方检验，就是双向表中2*2表的卡方检验。它即可以用缩减公式由实际频数直接计算2值，又可以用上述求理论频数的方法计算2值。1缩减公式2值的计算独立样本四格表2值的缩减公式为（10.6）。2校正2值的计算当df=1，样本容量总和N 30或N 50时（决定于对检验结果要求的严格程度），应对2值进行亚茨连续性校正。其校正公式为（10.7）。二、相关样本四格表的卡方检验1缩减公式2值的计算相关样本四格表2值的缩减公式为（10.8）。2校正2值的计算当df=1，两个相关样本四格表中(b+c) 30或(b+c) 50（决定于对检验结果要求的严格程度），应对2值进行亚茨连续性校正。

39、其校正公式（10.9）。第十一章相关分析第一节相关的意义一、相关的概念两个变量之间不精确、不稳定的变化关系称为相关关系。二、相关系数用来描述两个变量相互之间变化方向及密切程度的数字特征量称为相关系数。一般用r表示。相关系数的值，仅仅是一个比值。它不是由相等单位度量而来（即不等距），也不是百分比，因此，不能直接作加、减、乘、除。相关系数只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，并不能揭示二者之间的内在本质联系。第二节积差相关一、概念及其适用范围1积差相关的概念当两个变量都是正态连续变量，而且两者之间呈线性关系，表示这两个变量之间的相关称为积差相关。2积差相关使用的条件（1）两个变量都第十二章回归

40、分析第一节一元线性回归一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归。一、回归线一条最能代表散点图上分布趋势的直线，这条最优拟合线即称为回归线。常用的拟合这条回归线的原则，就是使各点与该线纵向距离的平方和为最小。二、回归方程确定回归线的方程称回归方程。1用最小二乘方法求回归系数公式（12.2a）或（12.2b）。2.求截距公式（12.3a）或（12.3b）。三、用原始数据计算回归系数公式（12.4a）或（12.4b）。第二节一元线性回归方程的检验一、估计误差的标准差公式（12.9）。二、一元线性回归方程检验的方法一元线性回归方程检验有三种等效的方法：（1）对回归方程进行方差分析；（2）对两个变量的相

41、关系数进行与总体零相关的显著性检验；（3）对回归系数进行显著性检验三、一元线性回归系数显著性检验方法在回归线上，当与所有自变量X相对应的各组因变量Y的残值都呈正态分布，并且残值方差为齐性时，由X估计Y回归系数的标准误为公式（12.11）或（12.12）。可以用公式（12.13）或公式（12.14）进行显著性检验。三、测定系数测定系数指回归平方和在总平方和中所占比例，这个比例越大，意味着误差平方和所占比例越小，预测效果就越好。测定系数同时等于相关系数的平方。第三节一元线性回归方程的应用一、用样本回归方程推算因变量的回归值二、对因变量真值的预测第四节多元线性回归简介一、二元线性回归方程1二元线性回

42、归方程的意义二元线性回归方程是指Y对X1与X2的线性回归方程。2.二元线性回归方程的建立原理和一元线性回归方程一样，二元线性回归方程也用最小二乘法来确定回归系数。用公式（12.25a）和（12.25b）。3.二元线性标准回归方程为了比较两个自变量在估计预测因变量时所起作用的大小，需要将三个变量分别转换成标准分数，然后比较由标准分数所建立的标准回归方程中的两个标准回归系数，以此判断两个自变量作用的大小。二、二元线性回归的检验二元线性回归的检验包括两个方面：一是检验回归方程的显著性；另一是检验两个偏回归系数的显著性。（一）二元线性回归的检验二元线性回归方程的显著性有两种等效的检验方法：一是方差分析

43、，二是复相关系数显著性检验。复相关系数表示两个自变量组合起来与因变量之间的相关程度。可通过对二元测定系数开平方根得到，然后通过查表进行显著性检验。（二）偏回归系数的显著性检验两个偏回归系数的显著性检验公式为（12.29a）和（12.29b）。三、多元线性回归方程中自变量的选择1.从组成回归方程的所有自变量中选择最优的自变量对所有可能的回归方程逐一检验，选择一个显著性程度最强的方程。2.逐步回归逐步回归的原理是按每个自变量对因变量的作用，从大到小逐个地引入回归方程，每引入一个自变量要对回归方程中的每一个自变量都进行显著性检验（即对其偏回归系数进行显著性检验）。这样逐步地引入自变量，并剔除不显著的

44、自变量，直至将所有的自变量都引入，并将不显著的自变量都剔除为止，最后形成的回归方程就是最优方程。第十三章非参数检验假设检验的方法有两种：参数检验和非参数检验。在实际研究工作中，样本所属的总体分布形态一般是未知的，所获得的资料也不一定是等距变量或比率变量，因此需要采用新的统计方法进行检验。这种检验方法不要求样本所属的总体呈正态分布，一般也不是对总体进行检验，故称之为自由分布的非参数检验方法。非参数检验不仅适用于非正态总体名义变量和次序变量的资料，而且也适用于正态总体等距变量和比率变量的资料。故应用广泛，但灵敏度和精确度不如参数检验。第一节符号检验符号检验是通过多两个相关样本的每对数据之差的符号（

45、正号或负号）进行检验，以比较这两个样本差异的显著性。一、小样本的情况当样本容量较小，n 25时，二项分布接近正态分布，因此可以用正态分布近似处理，公式用（13.2）。第二节符号秩序检验威尔科克逊（F.Wilcoxon）提出了既考虑差数符号，又考虑差数大小的符号秩次检验法。一、小样本的情况当样本容量n 25时，二项分布接近与正态。于是可用正态分布近似处理。检验统计量为公式（13.5）。第三节秩和检验当比较两个独立样本的差异时，可以采用曼-惠特尼（Mann-Whitney）两人提出的秩和检验方法。又称曼-惠特尼U检验法。一、小样本的情况当两个独立样本的容量n1和n2都小于10，并且n1n2时，可以用查表法。二、大样本的情况当两个独立样本的n1和n2都大于10，T分布接近与正态，对于两个样本的差异可以用正态分布的Z比率进行检验。公式（13.8）。第四节中位数检验中位数的检验方法是将各组样本数据合在一起找出共同的中位数，然后分别计