理科数学第一轮复习第三章数列含教案和课件3等比数列

1、等比数列一、基础知识1定义与定义式从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列空二q(q为不等于零的常数)an2.通项公式an= a1qnA,推广形式：a. =amqn,变式q = n2(n m,m, n丘 N) amn ai (q1)二 C(1-qn)i -q注:应用前n项和公式时，一定要区分3.前n项和Sn4. 等比中项：若a、b、c成等比数列5. 在等比数列 a 1 中有如下性质：字辺(q“且q=1)1 -qq =1与q=1的两种不同情况，必要的时候要分类讨论.贝U b是a、c的等比中项且b 二、ac(1) 若 m n p q, m,n, p,q N 则am -aap

2、 a(2) 下标成等差数列的项构成等比数列(3) 连续若干项的和也构成等比数列.6. 证明数列为等比数列的方法：(1)定义法:若an 1an数列云为等比数列(2) 等比中项法：若a： 1 =an Gn 2( nN且a.an何= 0)二 数列玄为等比数列(3) 通项法若an =cqn(c, q均是不为0的常数，n N ) 数列玄为等比数列前n项和法:若& = Aqn - A(A,q为常数，且q = 0,q = 1)=数列玄为等比数列7. 解决等比数列有关问题的常见思维方法(1) 方程的思想(知三求二”问题)(2) 分类的思想 运用等比数列的求和公式时，需要对q = 1和q = 1讨论 当a10,

3、q -1或a ： 0,0 ： q : 1时，等比数列3为递增数列(an 1 -an =a1qn4(q -1)a: 0,q -1或a10,0 ： q ： 1时,等比数列 玄 为递减数列二、范例剖析1. 关于基本公式的运用.，例 1.已知等比数列：an f中，a1+a2+a3=7 , aia2a3=8,求 an。 详见优化设计P41典例剖析例1，解答略。变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？ak/ ak例2.已知数列Sn 为等差数列，公差dM 0, a? 的部分项组成下列数列:ak，恰为等比数列，其中 ki=i, k2=5, k3=17，求 ki+k2+k3+kn。详见优化设计P41典

4、例剖析例2，解答略。2. 关于等比数列的证明例3数列：an ：,bn 的通项公式分别是an = 2n,bn = 3n 2,它们公共项由小到大排列的数 列是 匕1写出的前5项 证明bn?是等比数列思维分析：容易证明g匚是等比数列，由定义式，只需找出、Cn 中任意相邻两项关系即可解(1) C 的前 5 项为:8、32、128、512、2048(2)设 am =bp =Cn，Cn =2m =3p 2,而am1 =2 2m = 2(3p 2) = 3 (2p 1) 1 am 1 不在 b 中,又am 2 =4 2m =4 (3p 2) =3 (4p 2) 2, am 2在、bn中-am 2是Cn中的项

5、即Cn 1项，Cn 1 = 4Cn,故：Cn 是等比数列3.数学应用题-数列建模例4一个球应从100米高处自由下落，每次着地后又跳回到原高度的一半落下，当它第10次着 地时，共经过了多少米？思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出an，再结合数列相关性质解题。 解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2100 =100米，因此球第十次着地时共经过的路程为21 9= 300米100 100 100100(2)100 100 2 8 100222228 _ 12练习变式4:一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每 年生日

6、，到银行储蓄a元，一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款(含利 息)自动转为新的一年定期，当孩子 18岁上大学时，将所有存款(含利息)全部取回，则取 回总钱数为多少？解:a(1 r)18 - a(1r)17a(1 r)二旦(1 r)19 一(1r)4.等比数列综合题例5设各项均为正数的数列 en 和：bn 满足5an，5bn，5an 1成等比数列，Igbn, lgan+1, lgbn+1成等差数列，且a1=1, b1=2, a2=3,求通项an, S。详见优化设计P 42典例剖析例3,解答略。备用题：(01年全国高考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并1以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 -，本年5度当地旅游收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收1入每年会比上年增加一4（1） 设n年内（本年度为第一年）总投入为 an万元，旅游业收入为bn万元，写出an、bn的 表达式。（2）至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？思维分析：建立等比数列模型11 n 14 n解：（1）an =800800（1）800（1）=4001-（一）5551115bn =400 - 400（1）400（1）=1600（ ）n -1444