高中数学必修一之知识讲解_指数与指数幂的运算_基础

1、()an=a142l43anz*指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去

2、认清事物的本质【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1整数指数幂的概念an个aa0=1(a0)a-n=1an(a0,nz*)2运算法则（1）aman=am+n；（2）(m)=anmn；（3）aman=am-n(mn，a0)；n（4）(ab)m=ambm.要点二、根式的概念和运算法则1n次方根的定义：若xn=y(nn*，n1，yr)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为y；零的奇次方根为零，记为n0=0；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n0=0.2两个等式(a

3、)=a；（1）当n1且nn*时，nn（2）na,(n为奇数)an=|a|(n为偶数)要点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a0，n，mn*，且1an=naman=(na)m=nam1ma-n=manmn为既约分数，分数指数幂可如下定义：4要点四、有理数指数幂的运算1有理数指数幂的运算性质(a0，b0，a,bq)(1)aaab=aa+b;(2)(aa)b=aab;(3)(ab)a=aaba;当a0，p为无理数时，

4、ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如(-4)2(4-4)2；2(3)幂指数不能随便约分.如(-4)4(-4)12.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指（，（数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（ab）2a22abb2，

5、（ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab）a2abb2）a3b3（ab）a2abb2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：（1）5(-3)5;(2)4(-10)2;(3)4(3-p)4;(4)(a-b)2.【答案】-3；10；p-3；0（a=b）b-a（ab）（4）(a-b)2=|a-b|=0（a=b）b-a（ab）【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.（1）5(-3)5=-3；（2）4(-10)2=10；（3）4(3-p)4=|3-p|=p-3；a-b（ab）（4【总结升华】1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，的平方根

6、是2，但不是4=2.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1）3(-2)3；（2）4(-9)2；（3）6(p-4)6；（4）8(a-2)8.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4-p；（4）a-2(a2)2-a(a2).（2）1例2.计算：（1）5+26+7-43-6-42；1+.2+12-1【答案】22;22【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）5+26+7-43-6-42=(3)2+232+(2)

7、2+22-223+(3)2-22-222+(2)2=(3+2)2+(2-3)2-(2-2)2=|3+2|+|2-3|-|2-2|（2）1=2-1=3+2+2-3-（2-2）=221+2+12-12+1+(2+1)(2-1)(2-1)(2+1)=2-1+2+1=22【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，12+1的分子、分母中同乘以(2-1).举一反三：【变式1】化简：（1）3-22+3(1-2)3+4(1-2)4；（2）x2-2x+1-x2+6x+9(|x

8、|3)-4x3).【答案】（1）2-1；（2）-2x-2(3x0）：（1）a2a；（2）a33a2；（3）aa；（4）y2xx3y3y6x32+151135【答案】a2；a3；a4；y4【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可15（1）a2a=a2a2=a2=a2;2a=a（2）a3323a3=a3+2311=a3；11313（3）aa=(aa2)2=(a2)2=a4；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂y2xx3y3y6x3=y2xx3y61()3=yx3y2xx3y2yxy2=(xx12y)2=y2112xy2x5=y4解法二：从外向里化为分数指数幂y2xx3y3y

9、6x3=(y2xx3y3y61)2x3y2x3=(xy3y611)22=x3y2x3y6111()322xyx3111x3=y224y612xyx35=y4m【总结升华】此类问题应熟练应用an=nam(a0,m,nn*,且n1)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简举一反三：【高清课堂：指数与指数运算369050例1】【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）5a2a；6xx3x-213【答案】（1）210a10；（2）x3【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）682；（2）aa(a0)；（3）b33b2；（4）13x

10、(5x2)2-37311【答案】212；a4；b3；x5【解析】（1）11767682=62322=22=212；13313（2）aa=aa2=a2=(a2)2=a4；211（3）b33b2=b3b3=b3；（4）1=1=13x(5x2)232x(x5)23xx45=31x95=191(x5)3=13x53=x-527-2492138-1例4.计算下列各式：2（1）()3-()0.5+(0.008)-389251（2）(2)2-4(-2)-3+(-)0-()34527【思路点拨】利用指数幂的运算法则即可得出【答案】（1）13；（2）9282491100022【解析】（1）原式=()3-()2+

11、()3279825472=-+259325=-171+2=99312313311（2）原式=()22-4(-)+1-()3(-3)=+1-=2832222【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)(1)8-137(-)0+80.2542+(323)6；(2)641a3-8a3b22a3+23ab+4b3(1-23ba)3a.【答案】112；a1+(2)2+(2)(3)=2+236+2233=112；3426【解析】(1)原式=81(-1)(-)3111131+4441(2)原式=a3(a-8b)1a31a

12、3=111a3+3+3(a-8b)=a.1111(a3)2+2a3b3+(2b3)211113a3-2b(a3)3-(2b3)3113+26【变式2】计算下列各式：【高清课堂：指数与指数运算369050例3】1()-2+()-3+-(1.03)0(-)34663-22【答案】21+1564【解析】原式=16+6+5+26+346=21+1564例5.（2016湖北期末）计算：11322（1）(2)2-(-7.8)0-(3)3+()-2；483m+m（2）m+m-1+211-224ab-1)3（3）()-2410.1-2(a3b-3)2（【思路点拨】1）即合并同类项的想

13、法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.11【答案】（1）；（2）m-2+m2；（3）225【解析】12（1）原式=()22-1-()33+()-1(-2)=-1+-=；3222442-1=m-1+m1=（2）12m2+m2m+m-1+21111m-2+m2m-2+m222；2（3）原式=21-2(-)1033342a2b-23-1(-2)a2b-322234=10225【解析】原式=a23=a6或6a5【总结升华】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力举一反三

14、：【变式1】计算化简下列式子a2a3a2(a0)5【答案】a6或6a51252-注意：当n为偶数时，nan=|a|=a(a0)-a(a0).【变式2】化简x-2+y-2-x-2-y-2x-23+y-23x-23-y-23【答案】-23xyxy【解析】应注意到x与x-2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，-2322原式=(x-3)3+(y-3)322-(x-3)3-(y-3)3x-23+y-23x-23-y-23-2-232-3-+(y)-(x)+xy32+(y)2-x3=(x3)2-y-23-2223-232=-2(xy)-23=-23xyxy.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(1)3+3(2)42+26(3)x2+2x+1+3x3-3x2+3x-12-2-32x(x-1)【答案】22+6；418+42；-2(x0由平方根的定义得：42+26=418+42(3)3x3-3x2+3x-1