大学微积分l知识点总结二

1、【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数：F (X)=f (X), x I，则称F (X)是f (X)的一个“原函数”。 (2)若F (x)是f (X)在区间上的一个原函数，贝U f(x)在区间上的全体函数 为F (X)+c (其中c为常数) (3)基本积分表 Idx = Jdx =x +c g角M+c g1,以常数） 1X dx =ln +c X dx dx X =- +c（a 0, a 工1, a为常数） In a X , =e +c 1 , dx = arctan x（或一 arc cot x ）+c Wx2 J # dx =arcsin x（或一arccos

2、x ）+c J1 -X2 JIn X dx =x ”ln X -x +c f J 1dx = ln（x+J1 +x2 c 1X f ,dx = arcsin- +c 7a2-X2a f1 J 2丄 2 a +x f1 J 22 a -X 1X亠 dx = arcta n +c a dx = Tn 2a a a +x a -x Jshx dx =chx +c Jchx，dx =shx +c d cosx , =-ln cosx +c cosx fsin x dx = -cosx +c Jcosx dx =si n X + c fta n x dx = In cosx +c Jcot x dx =

3、 In sin x +c fsecx dx =1 n|secx +tanX +c fcscx dx =1 n|cscx-cosx +c fsin1 2 X dx =丄 sin 2x +c 24 fcos X+-sin2x +c 24 2 ftan X dx = tanx -x +c fcot2 X dx = -cot X - X + c 2 fsec x dx =tanx +c fcsc x dx = -cotx +c fsecx tanx dx =secx +c fcscx cotx dx = -cscx +c fa f(X)dx = a 订 f (x) dx J f(X) g(x)】dx

4、= f f (x) dx Jg (x) dx 数乘运算 加减运算 线性运算 (7) 复合函数的积分：f (x)如(X) dx =F (x)+c 1 1 (8) 般地，J f(ax+b) dx = ” Jf (ax + b)、d(ax+b) = ”F(ax + b)+c 、a a Jf(x+b) dx = F(x + b)+c （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的 函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 jJa2 -x2 dx 二 fJx2 -a2 dxn X

5、 =a X =a sin t sect JUx2 +a2 dx = X =a tant 分部积分法： 若u =u(x),v = v(x)均可导，且 Ju(x) v(x) dx存在，则 Ju(x) v(x) dx也存在 并有：Ju(x) v(x) dx =u(x) v(x) - fu(x) v(x) dx 简写为：Ju dv =u v - Jv du 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f（u） 功能：dy = ydu = f (u) du 说明: 设函数为y = f(u),此时如果u是自变量，贝U函数y = f(u)的微分形式为: dy =ydu = f(u) du 如果u是中

6、间变量，即u=g(x),函数即为复合函数。自 变量为X，即： y = g(x)l复合函数求导得：y = f g(x)g(x).那么复合函数 y = fg(x) t自变量为x，g(x) = u为中间变量的微分形式为： dy =ydx = fg(x)Q(x) .dx.因为u = g(x),g(x) lx = du.带入得： dy = f (u) du 因此，无论u是自变量还是中间变量，均有dy=f(u)”du 这称为一阶微分形式不变性。 2 + X +C (12 )分段函数的积分 例题说明：Jmax1,x2dx 解: x2(x -1) max(1,x2 )= (-1 x 1) h 32 亠3 -

7、+g(x-1) 33 Jmax(1,x2) dx=x+c2(-1x0,令 Jax2 +bx +c =t -需X 含有J ax2 +bx +c的积分. _ 若 c0,令 V ax2 + bx + c = xt - Jc 对于可得：ax2 +bx + c =t2 -2jatx +ax2 对于可得：x -b：2。t t -a (19) 其他形式的不定积分 Jxf(x)lx= fx df(x) =x f(x)-Jf(x) qx-xflx)- f(x) + c sinx dx=Ai ex sinx+A? ex cosx + q待定系数法) Jx2 x dx=eX(A x2 +A X + A J (Bj

8、”x2 + B2+ B2 ) ex dx = ex (A, ”x2 + A x + A3 片 c 组合法： Irsi nx. 11 =Jdx 、sinx +2cosx .rcosx. 12 =fdx 、sin x+2cosx li +12 = J1 dx = x 2li +I2 =1 nsi nx+ 2cosx 2.补充知识(课外补充) 【例谈不定积分的计算方法】 1、不定积分的定义及一般积分方法 2 、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 (1)定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其 中(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数)，

9、则(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c T积分号 f(X)T被积函数 XT积分变量 f (x) dXT被积表达式 n 推论：若 f(X)=2 K ”fi(x) dx i 4 n 则：J f(X)dx =2 ki ” J fi (x) dx Li 4 L (2) 般积分方法 有理函数 J(分解) 多项式及部分分式 之和 万能代换 有理a数有理式 三角函数有理式 A (三角代换) 简单无理数 值得注意的问题: 第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法， 要注意综合使用各种积分方 法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能 够积出。 不能用普通方法积出的积分:

10、例如：Je* dx, si nx Jdx, x fsin2 x dx 丄dx In x 1 / /4 dx Jl +x4 + x3 dx jJl -k2 sin2 X dx(Ov K 1) 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 (1)多次分部积分的规律 Ju 宀 U闪 当U为口次多项式时，U”叫g计算大为面便T 求妙”五 原式=严 x-x+23x-1 6x 、八 (2)对于 巴cosx+b sinx，dx的积分 c cos X + d sin x 求解方法为：令 a cosx +b sin x = A(c cosx +d sin x) +B (c cosx + d n x) 例如：求 产0sxsi

11、nx dx cosx +sin x 解：令 3cosx si nx = A(cosx +si nx) +B(cosx + si nx)即可 (3)简单无理函数的积分 被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分 fR(x,Vab) dxT 设t =Vax +b jJx，佬T I *cx+d 丿 jR(x,叮ax + b，max+b hdxT令t = Vadb,其中p是m,n的最小公倍数 dxT 令 cx + d (4)求 I dx 解法：I dx,其中a -b H kn 、sin(X +a) sin(x +b) 1sinx+a)(x + b) dx sin(a b)，崗n(x

12、+ a) sin(x+b)x 求: dx l5x_a)n(x_”dx，其中，.为自然数 解法：I (x-ajb) * (6)求 I = Jx max2 +bx+c dx 解法：令xJ t ax e (7)统一公式 h = feax sinbx dx =(a sinbx b cosbx)+c a +b ax ax I2 = Je cosbx dx=2 (a cosbx + b sinbx) +c a +b (8)计算技巧 同时出现 同时出现 同时出现 同时出现 TX和+x时，令 x = tan2t Vx和J1 - X时，令 X =si n21 Jl -x2 和 arcsin x时，令 x = s

13、i nt Jl-x2 和 arccosx时，令 x =cost 1 (9)求 f 2 dx a -x 解法：令丄严+x)+(a-x) dx 2a (a +x) -(a -x) 小结：几分钟含有根号，应当考虑米用合适的方法去掉根号再进行计算。 (10)当遇到形如Jr_dX的不定积分，可以分为 以下三种情况： 、ax +bx +c 2 = ax + bx + c A。时，可将原式化为：(X-捲)(X-X2)其中，X-I ,x2为ax2+bx + c = 0的两个解. dx 则原不定积分为： f dx _ f dx=1fd(x -X1)J d(X X2) -x1 X -X2 ax +bx+c(xx,

14、) (x-x?) X2 x x-x? J 1 =ln X2 X1 可以利用完全平方 公式，然后化为：J(x-k)，(x-k) AVO时, 可以先给分母进行 配方，然后化成：f飞Jdx的形式求解 ，X2 +a (11)三角函数的积分：fsinmx m和n中有一个奇正数时利用 恒等式：sin 2x=1-cos2x或cos2x = 1-si n2x。最 后将得到形如：fcosp x sin x dx或Jsinq x cosx dx。这两个积分可以直接 得到： cosnx dx fcosP X sinxdx = -jcos卩 x d cosx = 1cos卩十 x + c p+1 fsinqX cos

15、x，dx = sinqx dsin x = 1sinq*x+c q+1 m, n都是偶数时可以利用恒 等式：cos2cos2X 此外，也可以利用“积 化和差，和差化积”公 21-cos2x ,sin x= 2 2 式 (12)三角函数的积分：Jtanmxsecxdx m, n均为偶数时，利用恒等式: sec: x = tan2 m,n均为奇数时，可分出tanx m偶n奇时，将tanmx改为secx，然后利用sec x = 1 + tan2 x计算 X +1 secx (即secx的导数)计算 (13)关于形如：fm cosx+ n sinx .dxabO 的解法 a cosx +b sin x

16、 卄 亠 c I c rmi 首卡 m cosx + n sin X , m 片 丄 n ., 右a HO, b=0,贝U原式 =fdxhJ1 伙+tanx、dx aa a cosx =-x-n In|cosX +c a a 若 a=0.bH0,贝 y原式=fm8sx+n si nx f(x)三0:则是指在整个 区间上都等于0 推论：若f(x),g(x)在区间a,b上连续，f(x)g(x),且f (x)不恒等于g(x),则： bb Jf(X)dx fg(x) dx aa 若f(x)在a,b上可积，则 b f f (x)，dX 兰 J f (x) dx a 若f(X )在a,b上可积，mf(x)

17、M，X亡a,b，m, M均为常数，则: b m(b-a) Jf(x) dxM(b-a) a (积分中值定理) 若f(x)在闭区间a,b上连续，则至少存在一点匕忘a,b,使得： b Jf(X)dx =f (匕)(b-a) a (3)微积分学基本公式：牛顿一莱布尼茨公式 b Jf(X)dx =F(b) -F(a) a F(x)是f(X)的一个原函数 (3微积分学基本定理: X 设f(x)在区间I上连续，a引是一个固定点，则由变 上限积分G(x)= Jf (t)dt a X引，定义的函数在I上可导，且G(x)=f(x) 推论：若函数f(x)在某区间I上连续，则在此区间上f (X)的原函数一定存在，

18、X 原函数的一般表达式写 成:J f(t)dt+c( C是任意常数，X引，引为固定点) a (4)若U(x),V(x)在区间I上可导，当X迂I时，U(x),V(x)属于E,且f(X)在E区间 上连续，贝y： d u(x) 一 Jf(t) dt = f U(x)u(x) -f V(x)】v(x) dXv(x) (5)两个推论 设函数f(x)以及g(x)在a,b上连续，贝U: eI2 bb IJ f(x) g(x) dx a. J f 2(x) ”dx . Jgx) dx 百Xx) aa b2 F2b Jf(x)+g(x) dx2)，有: 尊匹 ?2 fsinnx dx = Jcosn x dx

19、= 灵活运用变量代换计 算积分 n-3 1兀 (n为偶数) 1 1 n -2 2 2 n-3 T 2 1 (n为奇数) n-2 3 n -1 n n -1 n 00 特殊算法：Jx f (sinx) dx =二 ” f (sin x) dx 0 2 aa 、a 推广：设 f(X)= f (a _x),则 Jx 卄(X)qx M ” J f (x) .dx 0 2 0 (13)换元法求定积分时，在将X换成t的同时，也要将上限与 下限进行相应的改 b 变。改变结果可能形成 J ,a b的形式，该函数的导数 是复数。但是对求定积 a 分的值无关，依然可以正常去求。 (14)极坐标与直角坐标的互化 把

20、直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相 同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是 (P ,0).贝U： X = P cos9 y = P sin 日 F2=x2+y2 an日=-(X KO ) Ix (15)定积分中容易混淆的x与t的关系的问题 对于定积分，被积表达式中的无所谓t还是x，最后都会被积分上下限所替 代。所以在变限函数积分的上下限中含 x的时候，被积表达式用t表示以示区 别。当然如果此时被积表达式中含 x和t，在二者都有的情况下，则把x看成常 数提到外面或者换元换走 例证: 设g(x) =1 订X J(xt) dt x

21、 0 解题思路：换元，注意积分是对t积分，因此X可以视为常数 b 下面用Jf(x) dx表示在a, b上对X作积分 a 令U =xt,则积分上下限由t在b,i止变为u在b, x上 u、1 X 11 x 又 T t =,二原式=.Jx f (u) du =订 f (u) du = g(x) XX 0 XX 0 定积分证明问题中关于x与t化简后的计算方法: 化简结果出现f(x,t)f(t)x的情况时，先令t=x,再令t= a,得出结果 a x 计算结果出现Jf(t)dt时，该式的导数为f(x) a 2.补充知识(课外补充) 【积分中值定理及其应用】 积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积

22、分与被积函数之间的 关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值 以及广泛的应用。 、积分中值定理的内容 定理：积分第一中值定理 若f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少存在一点J使得: b Jf(x) dx= f() (ba),ab a 定理：推广的积分第一中值定理 若f(x)， g(x)在闭区间a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则在a,b上至少 存在一点J使得： bb Jf(X)Q(x) dx = f ()订g(x) dxQ 兰 Wb ) aa 二、积分中值定理的应用 由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分 和某个函数之间的等

23、式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理 在应用积分中值定理时应注意以下几点: 在应用中应注意被积函数在区间a,b上这一连续条件，否则结论不一定 会成立 在定理中的g(x)在a,b上面不能变号，这个条件也不能去掉。 定理中所指出的E并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b内的点 F面就其应用进行讨论 (1) 估计定积分的值 119 例如：估计f /dx的值 0 解：原式=1订X19 dx =丄1,其中亡0,11 0 20 (2) 求含有定积分的极限 说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理 时，要注意中值E不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中 n的趋近方式。 兀 2 dx

24、的 值 则: 例如：求 lim sinnx n 0 若直接使用中值定理， n兀 limfsin x dx = sin nT 垃.2 0乙 因为没有排除 匕上，所以0匕 -不能严格断定sin PtO 2 2 所以通过这种方法并不能确定函数极限 故采用以下方法：取其中 幼任意小的正数 丑丄匹 I 2亠2 =limfsinnx*dx+ Jsinn x dx J； 0尹 对第一个积分使用推广的第一积分中值定理有： 耳亠心、. lim fsinnx，dx = lim ! -巴 isinn be 0nbcl2丿 2 所以：lim fsinn x dx = FO 而对于第二个积分: X n n s h-2 J 2 f sinn x 兀上 2 2 dx Jdx = t 兀上 2 - 2 ，弋可以任意小，二lim fsinnx*dx = O n_i-bC j r 0 (3)证明中值E的存在性命题 说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中 值定理。 (4)证明积分不等式 说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强 的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便 去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。 .119 例如：求证：r-