三角形五心性质

1、三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点.也是三角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点 （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心：1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、 P为 ABC所在平面上任意一点，点 0是 ABC内心的充要条件是：向量PO

2、 （a pA b pB c pC）a b c3、 O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长 AO交BC边于 N，则有 AO : ON AB : BN AC : CN （AB AC）: BC .重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为XiX2X33yiy2y3）3外心在外心：i、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时， 三角形外部

3、；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合2、若0是 ABC的外心，则 BOC 2 A （ A为锐角或直角）或BOC 36002 A （ A 为钝角）3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1d2d3,c2d1d3,c3d1d2 ； cc!c2c3.重心坐标：（亘9）2c 2c 2c4、外心到三顶点的距离相等 垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7个点可以得到6个四点圆.2、 三角形外心 0、重心G和垂心H三点共线，且 OG:GH 1:2.(此直线称为三 角形的欧拉线(Euler line)3、 垂心到

4、三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、 垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB OB OC OC 0A旁心：1、每个三角形都有三个旁心 .2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。三、三角形五心性质证明垂心：已知： ABC中, AD、BE是两条高，AD、BE交于点O,连接CO并延长交 AB于点F ,求证：CF丄 AB .证明:连接 DE I/ ADB=/ AEB=90 度 / A、B、D、E 四点共圆/ ADE=/ ABE/ EAO=/ DAC / AEO=/ ADC AEO ADC AE/AO=AD/AC

5、EAO OACa/ ACF=/ ADE=/ ABE又/ ABE+/ BAC=90度 / ACF+Z BAC=90度 CF丄 AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.E为AC中点，F为AB中点，GABC重心内心三线相交定共点，叫做 内心”有根源；此圆圆心称内心”如此定义理当然.证明：如图： ABC中D为BC中点,做BG中点H, GC中点I HI GBC的中位线 HI三角对应三顶点，角角都有平分线， 点至三边均等距，可作三角形内切圆，五心性质别记混，做起题来真是好 五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三

6、角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设 ABC的三条高为 AD、BE、CF,其中D、E

7、、F为垂足，垂心为H。性质1垂心H关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。性质2 ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AHHD=BH-HE=CHHFo性质3 H、A、B C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一垂心组）o性质4 ABCA ABH,A BCHAACH的外接圆是等圆。性质5在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于 P、Q,则AB/APtanB+AC/AQ tan C=ta nA+ta nB+ta nC。性质6三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。性质7设O, H分别为 ABC的外心和垂心， 则/

8、BAO=Z HAC, / ABH=Z 0BC, / BCO= / HCAo性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。2、内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心， 即三角形三个角平分线的交点。 内心有下 列优美的性质：性质1设I为厶ABC的内心，则I为其内心的充要条件是：到 ABC三边的距离相等。性质2设IABC的内心，则/ BIC=9012/A，类似地还有两式；反之亦然。性质3设IABC内一点，AI所在直线交 ABC的外接圆于 D。IABC内

9、心的充要条件是 ID=DB=DC。性质4设I ABC的内心，BC=a, AC=b, AB=c, I在BC AC AB上的射影分别为 D、 E、F;内切圆半径 为 r，令 p= (1/2)(a+b+c)，贝U (1)SAABC=pr； (2)r=2SAABC/a+b+c ; (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p：c (4)abcr=p AI Cl。性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 I ABC的/A平分线 AD(D在厶ABC的外接圆上)上的点，且 DI=DB,贝U I ABC的内心。性质6设I ABC的内心，BC=a

10、AC=b, AB=c,Z A的平分线交 BC于&交厶ABC的 外接圆于 D,贝U AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。3、外心三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质：性质 1 三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。性质2设0 ABC的外心，则/ BOC=2Z A,或/ BOC=360-2/ A(还有两式)。性质3设三角形的三条边长， 外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S ,则R=abc/4S。性质4过厶ABC的外心O任作一直线与边 AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点， 则 AB/AP sin2B+ AC/AQ sin2C=sin2A+sin2B+sin2G性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。4、重心性质1设GABC的重心， ABC内的点Q在边BC CA、AB边上的射影分别为 D、E、F,则当Q与G重合时QD QE QF最大；反之亦然。性质2设GABC的重心，AG、BG、