高三数列求通项求和

1、求数列通项一、专题精讲例 1：形如anan 1d已知数列 an 满足，1，求数列 an 的通项公式an 1 an 1 a1解：由 an 1an1得 an 1an1 则a2a11;a3a21;a4a31;anan 11;叠加得出： ana1n1所以数列 an 的通项公式为ann分析 :等差数列通项公式的推导是基础，需要让学生发现并领悟技巧例 2：形如 anan 1nd已知数列 a 满足a1an，a1，求数列 a 的通项公式nn11nn2解：由 an 1an2n1得 an 1an 2n1 则a2a1211;a3a2221;a4a3231;anan 12(n1)1;1叠加得出： an a1 n21所

2、以数列 an 的通项公式为an n2分析：本题是例 1 的一个发散， 可以让学生根据例1 自己发散， 改题，例 1 里有哪些量可以改，改动之后有什么变化，以及变化之后的解决办法例 3：形如 anqan 1已知数列 n 满足an 1n，13，求数列 n 的通项公式a2aaa解：因为 an1 2an， a13，所以 anan 12，0，则anananan 1a3 a2 a1an1an 2a2a1故2223n132所以数列 an 的通项公式为 an32n1例 4：形如 anqan 1d已知数列 an 满足 an 12an +1， a13 ，求数列 an 的通项公式解：an12an +1，令 an 1

3、d2(an d ) ，求得 d1an112(an1) ，即 an1是公比为2 的等比数列，首项是 4ann 14 2n 1n 11 (a1 1) 22an2n 11例 5：形如 an qan 1 n已知数列 an 满足 an1a+n， a13，求数列 an 的通项公式2 n解：a12a +n ，令 an1k(n1) d2(ankn d ) ，求得 k 1, d 1nnan1n112(ann 1) ，即 ann 1 是公比为 2 的等比数列，首项是 5ann1 ( a1 1 1) 2n 15 2n 1an5 2n 1n1例 6：形如 anqan 1d n已知数列 an 满足 an 12an35n

4、 ， a1 6 ，求数列an 的通项公式解：设 an 1x5n 12(anx5n )2将an 1ann 代入式，得annxn 1anxn，2353552252等式两边消去2an ，得 3 5nx 5n 1 2 x 5n ，两边除以 5n ，得 35x2x, 则x1,代入式得 an 15n 12(an5n ) 由1及式得 ann，则an 15n 12，150an5na 5 6 5 1 0则数列 an5n 是以 a1511为首项，以2 为公比的等比数列，则 an5n2n 1 ，故 an2n 15n例 7：形如an 1anpan1已知数列 an满足 a15， an 1an，求数列通项anan21解：

5、由题可知12an 112an 1anan1 是首项为 1 ，公差为 2的等差数列an51119an2 n2n55an15910n92n5思考：本题递推公式里各项的系数能不能任意变化？分子能不能加一个常数？二、专题过关检测题 1： 已知数列 an 满足 an12(n1)a ， a13，求数列 an 的通项公式n解：因为 an 12(n1)an， a13 ，所以 an0，则 an 12(n 1) ，故anananan 1a3a2 a1an 1an2a2a12( n11)2( n2 1)2(21)2(1 1)32n 1 n(n1)3233 2n 1n!3所以数列 an 的通项公式为 a3n 1n!.

6、n2检测题 2：已知数列 an 满足 an 1ann， a1，求数列 an 的通项公式2331解：由 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1 则an (anan 1) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1 ) a1(23n 11)(23n2 1)(2321)(2311)32(3n13n23231 )( n 1)32 3(1n13)(n1)33n133n13nn13所以 an3nn1.检测题 3: 已知数列 an满足 a12, a25,且 an 23an 12an0, 求通项公式解：由题可知an2an12an12an0，即 an2an 12( aa )n 1n数列 an 1

7、an是首项为3 公比为2 的等比数列anann113 2anan13 2n2an 1an3 2n32a2a3 201叠加可得 an3 202n2202n13 2n 1a132023nan113 2三、学法提炼1、专题特点：各个题型从“ 1”到“k”到“n”的转化模式及方法2、解题方法：类比发散学习3、注意事项：以上几个例题题型的转变有内在的联系，由浅入深，老师在讲解的时候要让学生体验到题型转化加大难度的方法 , 必须抓住几个题型之间的联系去讲解4数列求和一、专题精讲例 1：公式法、性质法求和数列 an 的前 n 项和 Snn则 a2a2an2（）21,12A (2n1)2B 1 (2n1)C

8、4n1D 1 ( 4n1)33解：利用公式 an SnSn 1(n2)Sn2n1,Sn 12n 11an =2n 1,当n=1时， a1 =1=S1所以数列是等比数列，a2= 2 n 2n2则 a2a2a2a12(1-4n） (4 n-1 ）2n=11-43所以选择 D例 2：分组法求和求通项为 an2n2n1的数列的前 n 项和 ;解：根据分析，可以得出an2n21，nSn a1a2an122 n2n12 2112 22112n2(12nn(222 )2(1n2 (1n nn2 )1222n 1n22例 3：裂项相消法求和求和：11111 22 334n( n1)5解: 观察通项公式的特点，

9、发现an111.n(n1)nn 1原式=（ 11 ）（11 ）+（11）11 1+2+nn121= 11 + 11 + 1112 23nn1=1-1n 1例 4：错位相减法求和若数列 an的通项 an n3n ，求此数列的前n 项和 Sn .解析：根据分析题意，观察数列的特征可以得出：Sn1 312 32n3n 3Sn1 322 33n3n 1 有得：-2Sn3132+3 n -n3n 1= 3（1-3n )n3n 113Sn3（1- 3n ) n 3n 142二、专题过关检测题 1： 已知等比数列 an 的前 n 项和为 10，前 3n 项的和为 70，求其前 2n 项的和 .解析： 3Sn

10、S3n，q1a1 (1qn )1q10,a1 (1q 3n )170,q上面两式相比得 q2na110,1qqn6 0得qn2或qn3( 舍)S2 n30.检测题 2： 求和： (2 11)(2212 )(2 n1n )3336解：有分析题意可以得到：111(2 13)(2232 )(2n3n )=2 1+2+3+ n +( 1+ 12+ 1n )333=2n n1(1- 1n )(1+ )+ 332 1- 131 1=n(n+1)+ 2 (1- 3n )检测题 3: 求11111,(* )21 2312341 2 3nN1n解: 观察通项公式的特点，发现:an112211)1 2nn n1)

11、n(n 1)(n n 12原式=2（11 ）（11 ）+（ 11 ）111+22+nn 11=21111+11)=2(1-1)(+2+nnn123112nn1检测题 4: 若数列 an的通项 an(2n1) a n （其中 a0 ），求此数列的前n 项和 Sn解析：根据分析题意，观察数列的特征可以得出：当 a1时， Sn =1+3+5+(2 n（）n =n2 ;1)=1+2 n1n2当 a1时， an(2 n1)aSn1 a13 a2(2 n 1) anaSn1 a23 a3(2 n 1) an 1 有得：a2anan 1(1aSna1+2n1)2-(2（n-1=a+ 2a 1-a)(2 n1

12、)an 11an 1（n-1(2 n1)aSnaa 1-a)1a-a2 -1a(1)综上所求：21）n（ aSnn 1（n -1a= (2 n 1) aa 1-a )（ a）1a-(1a)2 - 1a17三、学法提炼1、专题特点：以课本上的等差等比求和方法为基础发散，发现几种特殊形式的数列求和方法2、解题方法：类比学习3、注意事项：基础性质一定要强调，等差等比求和公式的推导学生一定要掌握，在挖掘知识的时候老师对学生的引导要耐心细致，把几种题型的联系分析清楚数列综合一、能力培养综合题 1： 在等差数列 an 中， a16a17a18 a9 36 ，其前 n 项和为 Sn.(1) 求 Sn 的最小

13、值，并求出 Sn取最小值时 n 的值；(2) 求 Tn|a1| |a2| |an|. 解析 a16 a17 a183a17 36. a17 12.又 a9 36， d a17 a9 1236 3，1798首项 a1 a98d 60，(1) 方法一：设前 n 项和 Sn 最小，则an0，3630，n得 n20或 n21.an10，即n1 630，3故n20 或21时n 的值最小，且最小值为20 21 630.nSS S方法二：n 60n nn1 33(n241 )S22n41 3 n 2 2 5043.28* nN，当 n20 或 21 时， Sn 取最小值，最小值为 630.(2) 由 an3

14、n630，得 n21.32当 n21 时， Tn Sn (41 nn ) ；2当 n21 时， Tn a1 a2 a21 a22 an Sn2S21 3( n241n) 1260. 2822 n， .综合题 2： 已知数列an 的首项 a1 ， an1a ， n1,23 an11 1(1) 证明：数列an是等比数列；n(2) 求数列 an 的前 n 项和 Sn. 分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从an1 2an 得到 1 1与 1 1的等式关系an1an1an1 11. 欲求数列n(2) 充分利用 (1) 的结论得出an 的前 n 项和 Sn 可先求出 Tn1 22 33 n的值

15、 n1 2anan 2n22 22n 解析(1)，aan11 an1 1 1 1 ，an12an22an 1 111 1an，a2n1又 a12， 1 1 1，3a121 11为首项， 1为公比的等比数列数列 an是以22(2) 由(1)知 11 11 1，an22n12n即11 ， n n nan 2n1an2n.设 Tn1 2 3 n，2232n22112n1n则 Tn 23 n n1，222221 1 1n111121得 Tn 2 n nn1 2 nn11 n nn1222221222121 n Tn2 2n12n.又 123 n n n1 . 2n数列 an的前 n 项和n2 n4 n

16、22 nn n1Sn2n2n .222二、能力点评第 1 题去绝对值是解题的关键点，需要分类讨论。第 2 题通过构造等比数列求通项，以及用错位相减法进行数列求和。9学法升华一、知识收获求通项的方法：1. 叠加2. 叠乘3. 待定系数法4. 分式形式的递推公式求和方法：1. 倒序相加2. 错位相减3. 公式法4. 分组求和5. 裂项相消二、方法总结学习总结解题通法的时候，要记清楚每种方法适用的题型。如果对自己的要求较高的话，就要去理解总结各种题型之间的联系三、技巧提炼类比学习在等差等比的学习里用到的很多，这也是一种常用的学习方法，可以让学生的学习更轻松课后作业作业 1：已知数列 a满足 a1an

17、 ，1，求数列a的通项公式。n3 22n n2 nann1an 1an3 ，则an 1an3 ，故数列ana121 为首项，以解： an 1 2an 3 2两边除以2，得n 1nn 1n n 是以12222222223 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 an1 (n3 ，所以数列 an 的通项公式为an3 n1n。22n1) 2( 22)2【本题解题的关键是把递推关系式an 12ann转化为an 1an3，说明数列 an3 22n 1n2n 是等差数列，再直接利用an22等差数列的通项公式求出1(n1)3 ，进而求出数列 an 的通项公式】n22作业 2：已知数列 an 满足 an1

18、3an5 2n4， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1y 3(anx2ny)将 an 1 3an 5 2n 4 代入式，得3an52n4x2n 1y3(anx2ny)10整理得 (52x)2n4y3x2n3y 。52x3xx5令y3 y，则，代入式得4y2an 152n 123(an52n2)由 及式，n 1得 an52n20 ，则 an 152n23 ，an522故 数 列 an5 2n2 是 以 a15 21211213为首项，以 3为公比的等比数列，因此an 5 2n2 13 3n 1 ，则 an13 3n 15 2n2 。【本题解

19、题的关键是把递推关系式an 13an52n4 转化为 an 152n15 2n2) ，从而可知数列2 3(an an 5 2n2 是等比数列，进而求出数列 an52n2 的通项公式，最后再求数列 an 的通项公式】作业 3：设首项为正数的等比数列，它的前n 项之和为 80，前 2n 项之和为6560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列a11qn8011q解：由题意1qn82qn81a1 1 q2 n656021q代入（ 1），a11qn80 1q，得：1q1 0，从而q1，a an递增，前 n 项中数值最大的项应为第n 项 a1qn 1q1 qn1qnqn 181qn 154, qn 1815427,qqn，qn13 a1q1312 ， 此数列为2,6,18,54,162