一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案

1、1.如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于 a、b两点，以b为直角顶点在第二象限作等腰rtaabc图1图2图3(1)求点c的坐标，并求出直线 ac的关系式.(2)如图2,直线cb交y轴于e,在直线cb上取一点 d,连接ad,若ad=ac,求证：be=de_5(3)如图3,在(1)的条件下，直线 ac交x轴于m, p (2 k)是线段bc上一点，在线段bm上是否存在一点 n,使直线pn平分4bcm的面积？若存在，请求出点 n的坐标； 若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题。分析：(1)如图1,作cq，x轴，垂足为q,利用等腰直角三角形的性质证明 aab8abcq, 根据全等三角形的

2、性质求 oq, cq的长，确定c点坐标；(2)同(1)的方法证明 abchbdf,再根据线段的相等关系证明abo三 dge,得出结论；1(3)依题意确定 p点坐标，可知 abpn中bn变上的高，再由spbn=2sbcm,求bn,进而 得出on.解答：解：(1)如图1,作cqx轴，垂足为q, / oba+z oab=90 , / oba+z qbc=90 ,/ oab=z qbc,又 ab=bc, / aob=z q=90 , . abo。 bcq,bq=ao=2, oq=bq+bo=3, cq=ob=1, c (-3, 1),1由 a(0, 2), c(-3, 1)可知，直线 ac: y=3x

3、+2;(2)如图2,作chix轴于h, dfx轴于f, dg y轴于g,. ac=ad, abxcb, bc=bd, . bcih bdf,bf=bh=2,.of=ob=1, dg=ob,.bo叵 dge,，be=de11_5(3)如图3,直线bc: y=- 2x- 2, p (2, k)是线段bc上一点,5 3p (- 2, 4),1由 y=3x+2 知 m (-6, 0),5.bm=5,贝u 热bcm=2.假设存在点n使直线pn平分4bcm的面积，_1315则 2bn?4=2x2,1013.bn= 3 , on= 3 ,. bnvbm,点n在线段bm上，13n (- 3,0).图1图2图3

4、点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解.2.如图直线？： y=kx+6与x轴、y轴分别交于点b、c,点b的坐标是(-8, 0),点a的坐 标为(-6, 0)(1)求k的值.(2)若p (x, y)是直线？在第二象限内一个动点，试写出4opa的面积s与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.opa的面积为9,并说明理由.考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：(1)将b点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；(2)用oa的长，y分别表示4opa的底和高，用三角形的面积公式求 s与x

5、的函数关系式;(3)将s=9代入(2)的函数关系式，求 x、y的值，得出p点位置.3解答：解：(1)将 b ( 8, 0)代入 y=kx+6 中，得8k+6=0,解得 k=4;3(2)由(1)得 y=4x+6,又 oa=6,1 9.s=2x6xy=x+18, (-8vxv 0);9(3)当 s=9时，4x+18=9,解得 x=-4,此时 y= 4x+6=3,p (- 4, 3).点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求 法.关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示.3.如图，过点(1, 5)和(4, 2)两点的直线分别与 x轴、y轴交于a、b两点.(

6、1)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数有10个(请直接写出结果)；(2)设点c (4, 0),点c关于直线ab的对称点为d,请直接写出点 d的坐标(6,2);(3)如图，请在直线ab和y轴上分别找一点 m、n使acmn的周长最短，在图 中作 出图形，并求出点 n的坐标.图图考点：一次函数综合题。分析：(1)先利用待定系数法求得直线ab的解析式为y=-x+6;再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标；(2)首先根据直线 ab的解析式可知 4ab是等腰直角三角形， 然后根据轴对称

7、的性质即可 求出点d的坐标；(3)作出点c关于直线y轴的对称点e,连接de交ab于点m ,交y轴于点n,则此时4cmn 的周长最短.由 d e两点的坐标利用待定系数法求出直线 de的解析式，再根据 y轴上点 的坐标特征，即可求出点 n的坐标.解答：解：(1)设直线ab的解析式为y=kx+b,把(1, 5), (4, 2)代入得,kx+b=5, 4k+b=2,解得 k= - 1, b=6,，直线ab的解析式为y=-x+6;当 x=2, y=4;当 x=3, y=3;当 x=4, y=2;当 x=5, y=1.图中阴影部分(不包括边界)所含格点的有：(1, 1), (1, 2), (1, 3),

8、(1, 4),(2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1), (3, 2),(4, 1).一共10个；(2) 直线y= - x+6与x轴、y轴交于a、b两点，二.a点坐标为(6, 0), b点坐标为(0, 6), .oa=ob=6, / oab=45 . 点c关于直线ab的对称点为d,点c (4, 0), .ad=ac=2, abxcd), .z dab=z cab=45 ,/ dac=90 , 点d的坐标为(6, 2);(3)作出点c关于直线y轴的对称点e,连接de交ab于点m,交y轴于点n,则nc=ne 点 e ( - 4, 0).又.点c关于直线 ab的对称点为 d,，cm

9、=dm, . cmn 的周长=cm+mn+nc=dm+mn+ne=de,此时周长最短.设直线de的解析式为y=mx+n.把 d (6, 2), e ( - 4, 0)代入，得6m+n=2, 4m+n=0,1 4解得 m= 5, n= 5,1 4直线de的解析式为y=&+e.4令 x=0,得 y= 5,4.点n的坐标为(0, 5).故答案为10; (6, 2).图图点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度.4.若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点b,与y轴分别交于 a、c(1)填空：

10、写出 a、c两点的坐标，a (0, 8), c (0, 3);(2)若/ abo=2/cbo,求直线 ab和cb的解析式；(3)在(2)的条件下若另一条直线过点b,且交y轴于e,若那be为等腰三角形，写出直线be的解析式(只写结果).a/考点：一次函数综合题。分析：(1)由两条直线解析式直接求出a、c两点坐标；88(2)由直线y=mx+8得b ( - / 0),即ob=n,而ao=8,利用勾股定理求 ab,根据角平 分线性质得比例求 m的值，再根据直线 bc与x轴的交点为b求n即可；(3)根据(2)的条件，分别以 a、b为圆心，ab长为半径画弧与y轴相交，作ab的垂直 平分线与y轴相交，分别求

11、交点坐标.解答：解：(1)由直线 y=mx+8 和 y=nx+3 得 a (0, 8), c (0, 3), 故答案为：(0, 8), (0, 3);88(2)令直线 y=mx+8 中 y=0,得 b ( n, 0),即 ob=n,又 ao=8, / abo=2/ cbqab ac /1+a 8. bo=oc,即 24、=5=5x,4解得m=3, 3 81又由y=nx+3经过点b,得-n= - ir,解得n= 2,41. .直线 ab: y= 3x+8,直线 cb: y= 2x+3;/22由(2)可知 ob=6, ab=vob +oa =10,当be为等腰三角形时，1 47 7直线 be的解析

12、式为：y=3x+18 或 y= - 3x- 2 或 y=- 3x- 8 或 y=24x+4.点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式.5.如图，在平面直角坐标系中， o为坐标原点，p (x, y), pal x轴于点a, pb y轴于点 b, c (a, 0),点e在y轴上，点 d, f在x轴上，ad=ob=2fc eo是那ef的中线，ae交pb 于点 m, - x+y=1.(1)求点d的坐标；(2)用含有a的式子表示点p的坐标；(3)图中面积相等的三角形有几对？考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分

13、析：(1)根据p点坐标得出a, b两点坐标，进而求出-x+y=do,即可得出do的长，即 可得出d点坐标；(2)利用c点坐标得出co的长，进而得出y与a的关系式，即可得出 p点坐标；(3)利用三角形面积公式以及 ao与fo的关系，进而得出等底等高的三角形.解答：解：(1) p (x, y), pa! x轴于点a, pb y轴于点b,a (x, 0), b (0, y),即：oa=- x, bo=- y,.ad=bo,一 x do= - y,- x+y=do,又: x+y=1,，od=1,即：点d的坐标为(1,0).(2) eo是3ef的中线,.ao=of=- x, ,.of+fc=co 又ob

14、=2fc=- v, oc=ay. . 一 x ：=a,又: x+y=1,3 - jy=1 a,2-2ay= 3 ,-2a- 1-2a - 1 2 - 2&，p(3,3 )；(3)图中面积相等的三角形有 3对，分别是：zaeoafeo, gamo 与480, aomeafbeva二点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关3系，根据已知得出 a=1-a是解题关键.t 8y=3x -6.如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点a (2, - 3),与x轴交于点b,且与直线平行.(1)求：直线l的函数解析式及点 b的坐标；y=3x-(2)如直线l上有一点m (a,

15、 - 6),过点m作x轴的垂线，交直线3于点n,在线段mn上求一点p,使4pab是直角三角形，请求出点 p的坐标.3k_ 8分析：(1)设直线l的解析式为：y=kx+b,因为直线l与直线 片平行，所以k=3,又直线l经过点a (2, - 3),从而求出b的值，进而直线l的函数解析式及点(2)点m (a, - 6)在直线l上，所以可先求出 a的值，再分别分：当b的坐标可求出；ab为斜边时；当p点的坐标即可.解答：解：(1)设直线;直线l平行于y=3x-.k=3,l的解析式为y=kx+b3(kw。，pb为斜边时；当pa为斜边时，进行讨论求出满足题意的直线l经过点a (2- 3=2x 3+b b=-

16、 9，直线l的解析式为y=3x-9,点b坐标为(3, 0)；(2) .点 m (a.a=1,则可设点n (1，3) 3 , 当ab为斜边时，-6)在直线l上, p d, y),1，y的取值范围是-61 2 3 4 5 6x-1l考点：一次函数综合题； 一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：(1)先求出e点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形aecd的面积；(2)根据已知求出直线 入即可求出解析式；1上点g的坐标，设直线l的解析式是y=kx+b,把e、g的坐标代(3)根据直线1经过点 求出b的值即可得出直线 角形的面积公式即可求出4解答：解：

17、(1)当 y=0 时，x=2e (2, 0),y=-x -33t，o/f (2)且与直线y=3x平行，知k=3,把11,同理求出解析式 y=2x-3,进一步求出 m、 mnf的面积.8f的坐标代入即可n的坐标，利用三由已知可得：ad=ab=bc=dc=4 ab/dc,四边形aecd是梯形，_1，四边形 aecd 的面积 s=2x (2-1+4) x4=10答：四边形 aecd的面积是10.(2)在 dc上取一点 g,使 cg=ae=1, 贝u st梯形aegd=s梯形ebcg.g点的坐标为(4, 4), 设直线l的解析式是y=kx+b,代入得：l2k+b,rk=2解得：心二-4,y=2x 4.

18、f (十)且与直线y=3x平行,即:y=2x- 4, 答：直线l的解析式是(3)二.直线li经过点y1=kx+b,设直线1i的解析式是则：k=3,3+b代入得：0=3x(-%9解得：b=2,9yi=3x+已知将(2)中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x-4+1,即:y=2x- 3,3当 y=0 时，x= 2,315m (2 0),尸 3k+解方程组尸外-3得：15即：n (- 2, - 18), 1 33snmf=2xg- (- 2) x 卜 18|=27 .答：anmf的面积是27.点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点

19、的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析 式.39.如图，直线y=4x+6与x轴、y轴分别相交于点 e、f,点a的坐标为(-6, 0), p (x, y)3是直线y= 4x+6上一个动点.(1)在点p运动过程中，试写出 4opa的面积s与x的函数关系式；27(2)当p运动到什么位置，4pa的面积为8 ,求出此时点p的坐标；(3)过p作ef的垂线分别交x轴、y轴于c d.是否存在这样的点 p,使cog foe? 若存在，直接写出此时点 p的坐标(不要求写解答过程)；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角

20、形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析：(1)求出p的坐标，当p在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当p在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；(2)把s的值代入解析式，求出即可；(3)根据全等求出 oc、od的值，如图 所示，求出c、d的坐标，设直线 cd的解析式 是y=kx+b,把c ( - 6, 0), d (0, - 8)代入，求出直线 cd的解析式，再求出直线 cd和 3直线y=4x+6的交点坐标即可；如图 所示，求出c、d的坐标，求出直线 cd的解析式，再求出直线cd和直线y=4x+6的交点坐标即可.23解答：解：(1)p (x, y)代入

21、 y=4x+6得：y=4x+6,3.p (x, 4x+6),当 p 在第一、二象限时，4opa的面积是 s=2oak y=2x 卜 6| x( 4x+6) =4x+18 (x - 8)18 (xv - 8)99s=4x+18 (x- 8)或 s=- 4x当p在第三象限时， 4pa的面积是s=2oak ( - y) =- 4x-opa的面积s与x的函数关系式是答：在点p运动过程中, -18 (xv - 8).2727 927 9解：(2)把s= 8代入得:8=4+18 或 8=- 4x- 18,解得：x= 6.5 或 x= 69x=- 6.5 时，y=8,(舍去).p点的坐标是(-6.59；).

22、(3)解：假设存在p点,25 25).如图所示：p的坐标是24 163p的坐标是（25, 25）168 2424 168存在p点，使co必foe, p的坐标是（-25, 25）或（25, 25）.点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求.10.如图，在平面直角坐标系中，直线 ab与x轴交于点a,与y轴交于点b,与直线oc: y=x交于点c.（1）若直线ab解析式为y=-2x+12,求点c的坐标；求4oac的面积.（2）如图，作/ a

23、oc的平分线 on,若ab，on,垂足为e, aoac的面积为6,且oa=4, p、q分别为线段 oa、oe上的动点，连接 aq与pq,试探索aq+pq是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，说明理由.考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。分析：（1） 联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点 c的坐标. 欲求4oac的面积，结合图形，可知，只要得出点a和点c的坐标即可，点 c的坐标已知，利用函数关系式即可求得点a的坐标，代入面积公式即可.（2）在 oc上取点 m,使 om=op,连接 mq,易证 apog moq,可推出 aq+pq=aq+mq; 若想使得 aq+pq

24、存在最小值，即使得 a、q、m三点共线，又 ablop,可彳导/ aeo=z ceq 即证祥e8 ceo （asa）,又oc=oa=4,利用 4ac的面积为6,即可得出 am=3 , aq+pq 存在最小值，最小值为 3.y= - 21+12解答：解：（1）由题意，尸乩（2分）x=4解得i产1所以c （4, 4） （3分）（4分） 把y=0代入y=-2x+12得，x=6,所以a点坐标为（6, 0）,所以2. （6分）（2）存在；由题意，在 oc上截取om=op,连接 mq,. op 平分/ aoc,/ aoq=z coq,又 oq=oq, .pog moq （sas, （7 分）.pq=mq,

25、.aq+pq=aq+mq,当a、q、m在同一直线上，且 amoc时，aq+mq最小. 即aq+pq存在最小值. . ablop,所以/ aeo=z ceo. ae8 ceo （asa）, .oc=oa=4,.oac的面积为 6,所以 am=2 6+4=3.aq+pq存在最小值，最小值为 3. （9分）点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度.11.已知直角梯形 oabc在如图所示的平面直角坐标系中，ab/ oc, ab=10, oc=22, bc=15,动点m从a点出发，以每秒一个单位长度的速度沿ab向点b运动，同时动点 n从c点出发，

26、以每秒2个单位长度的速度沿 co向。点运动.当其中一个动点运动到终点时，两个动 点都停止运动.(1)求b点坐标；(2)设运动时间为t秒； 当t为何值时，四边形 oamn的面积是梯形 oabc面积的一半； 当t为何值时，四边形 oamn的面积最小，并求出最小面积； 若另有一动点p,在点m、n运动的同时，也从点 a出发沿ao运动.在的条件下， pm+pn的长度也刚好最小，求动点 p的速度.了个on考点：一次函数综合题；勾股定理；轴对称-最短路线问题。专题：动点型；待定系数法。分析：(1)由题意可以先构造矩形 oabd,然后根据勾股定理进行求解；(2)是动点型的题要设好未知量：am=t , on=o

27、c- cn=22- 2t,根据四边形 oamn的面积是梯形 oabc面积的一半，列出等式求出t值；设四边形oamn的面积为s,用t表示出四边形 oamn的面积，根据二次函数的性质求 出最值；由题意取 n点关于y轴的对称点 n,连接mn交ao于点p,此时pm+pn=pm+pn =mn 长度最小，表示出点 m, n, n的坐标，设直线 mn的函数关系式为y=kx+b,最后待定系数 法进行求解.解答：解：(1)作bd)oc于d,则四边形oabd是矩形，.od=ab=10,.cd=oc- od=12,. oa=bd=/bc2 up,b (10, 9);(2) 由题意知：am=t, on=oc- cn=

28、22- 2t,四边形oamn的面积是梯形 oabc面积的一半，(t+22-2t) x9=4x4(10+22) x9.22 2,t=6,另(t+22-2t) x 9= - -t+99设四边形oamn的面积为s,则 2z ,04局0,且s随t的增大面减小，当t=10时，s最小，最小面积为 54. 如备用图，取n点关于y轴的对称点n,连接mn交ao于点p, 此时pm+pn=pm+pnmn 长度最小.当 t=10 时，am=t=10=ab, on=222t=2, m (10, 9), n (2, 0),，n ( 2, 0);10k+b=9设直线mn的函数关系式为y=kx+b,贝 u i - 2k+b-

29、0 ,3 p (0,2，15 .ap=oa- op= 2 ,动点p的速度为24个单位长度/秒.点评：此题是一道综合题， 难度比较大,考查了勾股定理的应用和待定系数法求函数的解析式，动点型的题是中考的热点，平时要多加练习，注意熟悉这方面的题型.12.如图，在平面直角坐标系 xoy中，直线ap交x轴于点p (p, 0),交y轴于点a (0, a), 且 a、b 满足(p+1)2=0.(1)求直线ap的解析式；(2)如图1,点p关于y轴的对称点为 q, r (0, 2),点s在直线aq上，且sr=sa求直 线rs的解析式和点s的坐标；(3)如图2,点b ( - 2, b)为直线ap上一点，以ab为斜

30、边作等腰直角三角形 abc,点c 在第一象限，d为线段op上一动点，连接 dc,以dc为直角边，点d为直角顶点作等腰三ao-ef角形dce, ehx轴，f为垂足，下列结论： 2dp+ef的值不变；2dp的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值.考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于 x轴、y轴对称的点的坐标。专题：代数几何综合题；动点型。分析：(1)根据非负数的性质列式求出 a、p的值，从而得到点 a、p的坐标，然后利用待 定系数法求直线的解析式；(2)根据关于y轴的点的对称求出点 q的坐标，再利用待定系数法求出直线 aq的解析式,设出点s的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点s的坐标，再利用待定系数法求解直线 rs的解析式；(3)根据点b的横坐标为-2,可知点p为ab的中点，然后求出点 b得到坐标，连接 pc,过点c作cg，x轴于点g,利用角角边证明 祥po与4pcg全等，根据全等三角形对应边相 等可得pg=aq cg=pq再根据4dce是等腰直角三角形，利用角角边证明4cdg与aedf全等，根据全等三角形对应边相等可得dg=ef,