初二数学解题技巧

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1）遇到三角形的 中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” .4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平

2、分线的性质定理或逆定理.5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，ad为4abc的中线，求证：ab+ac2ad 。分析：要证 ab+ac2ad，由图形想到: ab+bdad,ac+cdad , 所以有：ab+ac+ bd+cd ad +ad=2ad ,但它的左边比要证结论多 bd+cd ,故不能直接证出此题，而由 2ad想 到要构造2ad,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一

3、个三角形中去。证明：延长 ad至e,使de=ad ,连接be, ce。3图例3、如图， abc中，bd=dc=ace是dc的中点，求证： ad平分/ bae.因为 bd=dc=ac ,所以 ac=1/2bc因为e是dc中点，所以ec=1/2dc=1/2ac/ace=/bca,所以bcasmce所以/ abc= / cae因为 dc=ac ,所以/ adc= / dac/ adc=/abc+ / bad所以/ abc+ / bad= / dae+ / cae所以/ bad= / dae即ad平分/ bae应用:、截长补短 例1.已知：如图1所示， ad为 abc的中线，且/ 1=/2,/3=/4

4、。求证：be+cfef。分析：要证be+cfef ,可利用三角形三边关系定理证明，须把 be, of, ef移到同一个三角形中，而由已知/1=72, /3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 en, fn, ef移到同个三角形中。再连结eg,bg证 明在 dn 上 截 取 dn=db , 连 接ne , nf 。1、如图， abc 中，ab=2ac ad 平分 bac,且 ad=bd 求证：cdl ac证明：取ab中点e,连接devad=bddexab,即/aed=90o【等腰三角形三线合一】v ab=2acae=ac又. / ead=/cad【ad 平分/bac

5、】ad=ad丁./aed0/acd (sas). c=/aed=90o .cd laca2、如图，ac/ bd, ea,eb分别平分/ cab,/ dba cd过点 e,求证；ab = ac+bd在ab上取点n，使得an=ac/ cae= / ean ,ae为公共边，所以三角形cae全等三角形ean所以/ ane= /ace又ac平行bd所以/ ace+ /bde=180而/ ane+/enb=180所以/ enb= /bde/ nbe=/ebnbe为公共边，所以三角形ebn全等三角形ebd所以bd=bn所以 ab=an+bn=ac+bd3、如图，已知在 vabc内,0obac 60 , c

6、40 , p, q分别在 bc, ca上，并且 ap,q位bq分另1j是 bac ,abc的角平分线。求证：bq+aq=ab+bp证明：做辅助线pm|i bq,与qc相交与mob（首先算清各角的度数）z apb=180 / bap/abp=180 30 80 =70且/apm=18 0 / apb/mpc=180 70zqbc （同角相等）=180 70 40 =70 ./apb=/apm又; ap是bac的角平分线，丁. / bap= / mapap是公共边 .abpamp（角边角） .ab=am, bp=mp在ampc 中，/mcp=/mpc=40 mp=mcab+bp=am+mp=am+

7、mc=ac在aqbc中vz qbc=qcb=40bq=qcbq+aq=aq+qc=acbq+aq=ab+bp4、角平分线 如图，在四边形abcd43, bo ba,ad= cq bd平分求证： a c 1800延长ba,作df, ba的延长线，作 debc/ 1 = /2de=df (角分线上的点到角的两边距离相等) 在 rtadfa 与 rtadec 中ad=dc,df=de rtadfartadec (hl) ./ 3=/c 因为/ 4+/3=180 . /4+/c=180 即/a+/c=180 ?id5、如图在 abc中，ab ac, /1 = /2, p 为 ad上任意一点，求证；ab

8、-acpb-pc延长ac至e,使ae=ab ,连结pe。然后证明一下 abpaep得至ij pb=pe备用（角边角证很容易吧） pce 中，ecpe-pcv ec=ae-ac , ae=ab ec=ab-ac又 pb=pe . pe-pc=pb-pcab-acpb-pc应用:、平移变换例1 ad为 abc的角平分线，直线 mnl ad于a.e为mnlh一点， abc周长记为 pa , ebc周长记为pb .求证pb pa .例2如图，在 abc的边上取两点 口 e,且bd=ce求证：ab+acad+ae.ad,ce相交于点o,求证：oe=od四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 abc中，/

9、 b=60 , abc的角平分线在ac上取点f,使af=ae ad是角a的平分线 角 eao= fae/v ao=ao三角形aeo与afo全等（两边夹角相等）eo=fo ,角 aoe= aof : ce是角c的平分线 角 dco/ fco.角 b = 60 角 a+角 c= 180 60 = 120 角 cod= cao+角 oca= a/2 +角 c/2 = 60 度 角 ocf = 180角 aof-角 cod = 18060 60 = 60 角 ocf= cod oc=oc三角形ocd与cfo全等(两边夹角相等)cf=cd . ac=af+cf =ae+cd即：ae+cd=ac2、如图，

10、 abc中，ad平分/ bag dgl bc且平分 bc, dei ab于 e, df，ac于 f.(1)说明be=cf的理由；(2)如果ab=a , ac=b ,求ae、be的长.证明：连接bd,cddg，bc于g且平分bc所以gd为bc垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等bd=cd角平分线上的点到角两边距离相等,ad平分/bac, delab于e, dflac的延长线于fa所以de=df在 rtzbed,rt zcfd 中e/de=dfb g cbd=cdfrt bed 0 rt cfd(hl)dbe=cf应用:五、旋转例1正方形abcm, e为bc上的一点，f为cd上的一点,b

11、e+df=ef 求/ eaf 的度数.将三角形adf绕点a顺时针旋转90度，至三角形wj ge=gb+be=df+be=ef又 ae=ae , af=ag ,所以三角形aef全等于aeg所以/ eaf= / gae= / bae+ / gab= / bae+ / daf又 / eaf+ / bae+ / daf=90所以/ eaf=45度abg例2 d为等腰 rt abc斜边ab的中点，dml dn,dm,dm别交bc,ca于点 e,f。(1)(2)做 dpbc,.d为中点,当 mdn绕点d转动时，求证 de=df 若ab=2,求四边形decf勺面积。垂足为p,做dqlac,垂足为qabc 为等腰 rtaabcdp=dq=?bc=?ac又/ fdq= / pde(旋转)/ dqf= / dpe=90.dqfadpesadqf=sadpe又; s四边形decf=s四边形dfcp+s adpe，s 四边形 decf=s 四边形 dfcp+s