特征方程法求解递推关系中的数列通项

1、精品资源特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题设已知数列an的项满足-ai=ban+ i=can+d其中c #0,c # 1,求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x =cx +d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当xo=a时，an为常数列，即an =a1；当xo =a1时,an =bn +x ,其中bn是以c为公比的等比数列，即bn

2、 =d,4 =a1 -xo.d证明：因为c= 0,1,由特征万程得xo =.作换元bn = an - x0,1 -cdcd ,、贝u bs =an-xo =can - d = can = c(an - x0) cbn.1-c 1 -c当xo &时，b1 #0,数列bn是以c为公比的等比数列，故 bn =b1cna;当 xo=a1时，b1=o,bn为o数列，故 an =a1，nw n.(证毕)下面列举两例，说明定理1的应用.1,、例 1.已知数列an满足：an+ = - an -2, n = n,a1 = 4，求an.31 .3斛：作方程 x = x 2m!jxo =一-.3 2 311.1 当

3、a1 =4时，a #xo,b =a + =.数列bn是以一一为公比的等比数列 .于是2231 n111n433111 nbn *( - 尸=(一 )an=- +bn=- +(- )n,n- n.3232223例2.已知数列an满足递推关系：an书=(2an +3)i,nw n,其中i为虚数单位.当a1取何值时，数列an是常数数列？, 一、一-6 3i解：作方程 x=(2x+3)i,则 xo = 6 3i.-6 3i要使an为常数，即则必须 ai = x0 =现在考虑一个分式递推问题（*）.例3.已知数列an满足性质：对于n n,aan 4.，且a1 = 3，求an的通项公2an 3a.将这问题

4、一般化，应用特征方程法求解,有下述结果定理2.如果数列an满足下列条件：已知ai的值且对于n w n ,都有an书_ pan q ran h欢迎下载（其中p、q、r、h均为常数，且ph # qr,r。0,a1 #）,那么，可作特征方程x=px-q rrx h（1）当特征方程有两个相同的根儿（称作特征根）时，若 a1 =九，贝u an = z,n w n;#一.1.1r右 a1 # z,则 an =一 十九,n w n,其中 bn =+（n -1）, n= n.牛寸力u地，bna1 - 1p - r 1当存在no w n,使bn0 =0时，无穷数列an不存在.（2）当特征方程有两个相异的根 储、

5、九2 （称作特征根）时，则an =儿2cn 上1 , nw n,cn -1其中 cn = （-r）njl,n= n,（其中a1 丰 %）.a1 一 ; p 一 2r证明：先证明定理的第（1）部分.作交换dn = an - , n n则dn 1_ pan q ran han (p - r) q hran h(dn )(p - r) q - hr(dn ) hdn(p - r) -r 2- (h - p) -q二 rdn h - r,九是特征方程的根， 九=-qn r九2十九(h - p) - q = 0.r h将该式代入式得dn+=dn(p) ,n w n. rdn h - r将x =8代入特征

6、方程可整理得ph = qr,这与已知条件 ph丰qr矛盾.故特征方程的r p根九# ,于是p _ 74 # 0.r当d1 =0,即a1 =d1 +九=九时，由式得bn =0, nw n,故an = dn+九=九,nw n.当di #0即ai。九时，由、两式可得 dn =0,nw n.此时可对式作如下变化：1rd n h - rh r1 r= = 一p - h2rdn 1dn(p - r)p- rdnp -r由九是方程x =px+q的两个相同的根可以求得 rx h2r=1,h -rp - 1r2rjr 11 r将此式代入式得 = r一 ,n n.dn 1 dn p- r.1一.r r令bn =，

7、nw n.则bn+=bn +,nw n.故数列bn是以 一 为公差的等 dnpp yr差数列.，、 r- - bn = b1 (n -1), n n.p - r,1其中b1 =d11当 n 二 n,bn #0时，an =dn + 九=一 +九，n= n.bn1当存在n u n,使bn =0时，an =dn +九=十九无意义.故此时，无穷数列an是 000bn。不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 人、 , 其中必有一个特征根不等于 a1 ,不妨令九2丰a1.于是可作变换cn二an _ 1 ,n n.an故cn 1an 1an 1pan +q代入再整理得ran h由第a

8、n(p-,ir) q-,ih,n. n an(p - 2) q - 2h（1）部分的证明过程知 x = r不是特征方程的根, r一%r #0, p -入2r #0.所以由式可得:p - p - 2ran q - 1h pi,nnq -3 2 han2p 一 2特征方程x =q有两个相异根%、九2二方程rx h2rx + x(h p) - q = 0 有两个相异根%、 ” ,而方程q - xh2 一一-x =-q与方程rx2 x(h p) q = 0又是同解方程. p - xrq 一 mp 一 jq - 2hp 一 2r将上两式代入式得p 一。an p 一 2r an - 2p - 1rcn,n

9、 np 一 2r当g =0,即a1 # 时，数列g是等比数列，公比为pi 1r.-.此时对于n匚n都有p 一 2rp 一 1r、n户1 - 1、/ p - 1r、ncn = c1()=()()p-2ra-2 p-2r当ci=0即a1 =，-i时，上式也成立.由cnan且 4 # % 可知 cn = 1, n w n. 12所以anga 、刀亡n.（证毕） cn -1注：当ph =qr时，pan +q会退化为常数；当=0时,an事 ran hpan+q可化归为较易解 ran h的递推关系，在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题).x 4o解:依定理作特征万程 x=，变形得2x2+2x 4

10、= 0,其根为=1,2 = 2.故2x 312特征方程有两个相异的根，使用定理2的第(2)部分，则有ai - i /cn 二(a1 ,-2p - ir严 p -12r3-11-12 nj-()n ,n n.3 2 1-22n，n n.一 an12cn -1cn-1-2 二(二)n,-1_5_5 n.21 n1,5(-5) 一1n.即an(-5)n -42 (-5)n,n n.例4.已知数列an满足：对于nwn,都有13an -25an 3(1)若 & =5,求 an;(2)若 ai =3,求 an;(3)a1 =6,求an; (4)当科取哪些值时，无穷数列an不存在？13x -25解：作特征方

11、程x =.x 3变形得 x2 -10x 25-0,特征方程有两个相同的特征根九=5.依定理2的第(1)部分解答(1)a1 =5,二 a1 =九.，对于 n w n,都有 an =九=5;(2) - a1 = 3, a1 ;/.1 rbn =(n -1)a1 - 1p -r 111(n -1)3-513-1 51 n -1=一十 28 ,令bn =0,得n =5.故数列an从第5项开始都不存在,15n -17当 nw4, n w n 时，an =一+九=.bnn -5(3) , a1 = 6,九=5,a1丰九.1r n -1 bn 二(n -1)= 1,n n.a1 一号.p 一上 r8令 bn =0,则 n = -7 乏 n.对于 n w n, bn # 0.一 anbn15 =1y5n 43（4）显然当=-3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程a1 = 5数列an是