数制编码和逻辑代数

1、电子技术“第第章”讲义丁若冬中山人等物理科学易工程秋木等就第11章数制、编码和逻辑代数第11章数制、编码和逻辑代数11.4逻辑函数的化筒1关于数字电路 数字量和模拟量 数字电路和模拟电路 数字电路的分类(1)按电路结构分类:组合逻辑电路；时序逻辑电路。按集成电路规臂分类0数字电路特点（与模拟电路相比）（1）数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制的数字信号，反映在电路上就是高电平和低 电平。（2）晶体管处于开关工作状态，抗干扰能力强、精度高。（3）通用性强。结构简单、容易制造，便于集成及系列化生产。（4）具有“逻辑思维”能力。数字电路能对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算、逻辑 判断

2、，故又称为数字逻辑电路。11.1数制与数制转换数制:每一位的构成 从低位向高位的进位规则常用到的：十进制，二进制，八进制，十六进制十进制，二进制，八进制,十六进制 a binary digit lias only 2 possibilitic中”“: 他 qc01 h吗 8 吁sbilitie。1 2 ” 7 a decimal digi【has 1() possibilities 逢十进一 ()1 11 2l ll 1 5l m 7l a jexqdegmgl gx) dial jas 16 posgibi呼之o 1 2 ”5 | 6口 8 9，n b| c| d e f逢十六进一几种计数进

3、制数的对照表十进制二进制八进制十六进制000000q1000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012a11101113b12110014c13110115d14111016e15111117f2.二进制数字符号（系数）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9计数规则：逢十进一基数:10权：10的幕 数字符号：0、1 计数规则：逢二进一 基数：2 权：2的幕数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错!3.八进制 数字符号：07 计数规则：逢八进一 基数：8 权：8的幕(128) 8= (ix82+2x

4、8叶8x8。)2可/次kbs”.亨二可片可言至可4.十六进制 数字符号：09、a、b、c、d、e、f 计数规则：逢十六进一 基数：16 权：16的的例至:;:;否 e$：；w：;：（豆夹 i 祖壬i;3 义需 m；：;国欣，茎茎季茎承滂11.1.2数制间的转换二进制，十进制，八进制，十六进制二一十转换刀=牙2例：k e (0,1)-2(1011.01x =1x23+0x22+1x21+1x2+0x2-1+1x2=(h.25)10二、十一二转换整数部分：(s)。=叫 2 + * 2 + 2-2 + 。2二2氏 2t + a,2-2 + + 占)+ 叫同理k2t + * 2-2 + + 仁= 2(

5、kn 2-2 + * 2n-3 + + 七)+ /整数部分的转换：除2取余法。，(217) 10= (11011001) 2小数部分:(5)0=32一】+依22-2 + 一+32一,左右同乘以2(s)产 k_(k_2rx+k_.t2 + +&2t*同理2(a x+k 32-2+-+* m2-m+i) = k ?+(a ?2t+1 2-m+2) 小数部分的转换：乘2取整法。，(0.3125) 10= (0.0101) 2说明：有时可能无法得到0的结果，这时应根据转换精度的要求适当取一定位数。三、二一十六转换例：将(01011110.1011例10)2化为十六进制(0101 ,1110 j011

6、,0010 )2四位二进制数对应一位十六进制数。四、十六一二转换例：将（8fac6加化为二进制(0101,1110 eloll ,0010)2f a c 6)16 一1 r-(10001111101011000110 )2五、八进制数与二进制数的转换例：将(011110.010111)2化为八进制例：将(52.43)8化为二进制(52 . 43以ii ii(101010 . 100011 )2 三位二进制数对应一位八进制数。六、十六进制数与十进制数的转换:4二 (16kg(oj 15)十进制转换为十六进制: 通过二进制转化11.2二进制数的编码二-十进制编码 字符编码 奇偶校验码、几种常用的十

7、进制代码十进制 数8421 码余3码2421 码5211 码余3循环码000000011000000000010100010100000100010110200100101001001000111300110110001101010101401000111010001110100501011000101110001100601101001110010011101701111010110111001111810001011111011011110910011100111111111010编码：代码的编制过程。二一十进制编码（bcd码）bcd码：用一个四位二进制代码表示一副拄 制数字的编码方法。8

8、4215 选取00001001表示十进制数09。 按自然顺序的二进制数表示所对应的十进制数字。 是有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2.故称为8421码。 1010t111等六种状态是不用的，称为禁用码。格雷码（又称循环码）特点：1 .每一位的状态变化都按一定的顺序循环。2 .编码顺序依次变化，按表中顺序变化时, 相邻代码只有一位改变状态。应用：减少过渡噪声四位循环码的编码表十进制数循环码十进制数循环码0000011001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000二、美国信息交换标准

9、代码（asch）asch是一组七位二进制代码，共128个应用：计算机和通讯领域字符扉：专门用来处理数字、字母及各种符 号的二进制代码。最常用的：美国标准信息交换码6ciie。用7位二进制数码来表示字符。可以表示27=128个字符。三、奇偶校验码在存储和传输数据的过程中，有可能出现错误，如何发现错误和纠正错误？ 一位奇偶校验码就可以用来检 测一位错误，双向奇偶校验码可以发现两位错误，纠正校验字一位错误。123456789101112131415。0为a2的图期数据块16校验位11.3逻辑代数基本概念逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数（布尔代数，boole）在二值逻辑中的变量取值：

10、0/111.3.1基本逻辑与（and）或(or).y非(not)(c)(a)(b)以a=1表示开关人合上，=0表示开关人断开; 以y=i表示灯亮，y=o表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：与aby11.3.2逻辑运算与（and）或（or）非（not）与 条件同时具备，结果发生 y=a and b = a&b=ab=ababy000010条件之一具备，结果发生 y= a or b =a+baby000011101111a一21 yb一或条件不具备，结果发生. y = a =not aa ya一jo-y非a_po_y几种常用的复合逻辑运算与非 或非与或非yabyab或非y=(a b)ab-yy=

11、(a+by与或非y=(ab+c-d异或 y= z baby000011101110异或同或 y=aqbaby001010100i i彳ayb同或aby = aq)b1133逻辑函数与真值表逻辑函数 y=f（ab,c,）一一若以逻辑变量为输入，运算结果为输出, 则输入变量值确定以后，输出的取值也随之 而定。输入/输由之间是一种函数笑系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1 o真值表输入变量输出4 b c丫1匕.遍历所有可 能的输入变 量的取值组 合输出对应的 取值abp001010100111逻辑函数的表示方法 真值表 逻辑式 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式各种表示方

12、法之间可以相互转换真值表口逻辑式：1,找出真值表中使y=1的输入变量取值组合。2 .每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值 为1的写原变量，取值为0的写反变量。3 .将这些变量相加即得匕4 .把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中 求出y,列表逻辑式口逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。y = a (b + c)逻辑图 逻辑式2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻 辑运算式。ab(a+byary(4 + 刀)+ (/，+ 与)(g4+6)+(h+*)y= (a + b)(ar + bf)= ab+ab=力6(af+by波形图cpk“ 一 /证明方法：推演真值表11.3-4逻

13、辑函数的基本定理序号公 式序号公 式10，=0; 0- 110/1=0111 +/a= 121 a =a120 +a =43aa=a13a +八二44aaf=q14a + a= 15ab = ba15a+b = b+a6a(bc) = (ab)c16a + (b+c) = (a+b) + c7a (b+c) = a b+ac17a+bc = (a +b)(a +c)8(ab) ab118(a+b)9(a 9 = 4公式(17)的证明 (公式推演法)：右二(4+ 5)(4+。)=a+ab+ac+bc= a(l + b + c) + bc=n+5c=左公式(17)的证明(真值表法)：abcbca+

14、bca+ba+c6a+b; (a+cj00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111111135若干常用公式序号公式21a+ab=a22a+ab=a+b23ab+ab = a24a(a+b) =a25ab+ac + bc = ab+a,cab-/-a,c + bcd=ab+ac26a (ab) = a11.3.6逻辑函数的3个规则 1代入规则-一在任何一个包含人的逻辑等式中，若以 另外一个逻辑式代入式中4的位置，则等式依 然成立。应用举例：式(17) a+bca+b(cd)=(a+b)(a+c)=(a+b)(a+cd

15、)=(a+b)(a+c)(a+d)应用举例: 式(8)(a b) = a + b以代人b(a b cy = + (bcya+b+c 2反演规则对任一逻辑变换顺序先括号 然后乘，最后加不属于单个变量的 上的反号保留不变yyf n +, + = , 0 = l 1n 0, 原变量二 反变量 反变量= 原变量应用举例:y = 4(b + c) + cdp = (h+bc)c +。)= afc + bc + adf + bc 3对偶规则对任一逻辑式将尸中所有的“”换为“+”，所有的“+，换为“，；所有的常量“0”换为常量“1”，所有的常量“1”换为常量 “0”，这样所得到新的函数式，称这个新的函数为原

16、函数的对偶函数。11.3.7逻辑函数的标准形式最小项之和最大项之积最小项m：m是乘积项包含个因子 个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一 次对于n变量函数有2n个最小项最小项举例:两变量a b的最小项a b a b, ab ab （2? =4个）三变量a且c的最小项abc, abc 4bc, abcabc, abc abc, abc (23=8)最小项取值对应编号abc十进制数abc0 0 00m0abc0 0 11abc,0 1 02m2abc0 1 13m3abc1 0 04m4abc1 0 15m5abcf1 1 06m6abc1 1 17最小项的性质 在输入变量任一取值下，有且仅有

17、一个最小项的值 为为 全体最小项之和为1。 任何两个最小项之积为0。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子， 只留下公共因子。一-相邻：仅一个变量不同的最小项如4bc 与 4bcabc + abc = ab(c+c) = ab逻辑函数最小项之和的形式:=abc + bc(a + a)=abc + abc+abc=z ”3,6,7)逻辑函数最小项之和的形式:例：y(a,b,c,d)= abcd + bcd+bc=abcd + (a + a)bcd + bc(d + d)=+ bcd + bcd=+ (a + a)bcd + (a + a)bcdf最大项:对于变量函数2个 m是相加项；包含0

18、个因子。 个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次。如：两变量a b的最大项h + 5, a+b, a + b a + b （2?=4个）最大项的性质 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值 为0; 全体最大项之积为0; 任何两个最大项之和为1; 只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量 之和。=j段大项的编号:最大项取值对应编号：abc十进制数h + + c1 1 17m7h + h + c1 1 06m6a + b + c1 0 15m5a + b + c1 0 04m4a + b+c0 1 13m3a + bc0 1 02m2a + b + c0 0 11m1z + 5 +

19、 c0 0 00mo0kiy=（%）kiy=n %=n% i手ki手k11.4逻辑函数的化简逻辑函数的最简形式最简与或包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也 最少，称为最简的与-或逻辑式。%= abc + bc + acd匕= ac+bc11.4.1公式化简法：反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和s 余的因子。(1份并项法 常用公式奶 廿即工例：f = a(bc + 5c) + abc + bc)(2股收法常用公式工+ ab及ab +，。+= 48 +例：f =疝 + acd(e + f)(3)消去法常用公学+ m = z + b例：f = ab +)c + 反(4)配项法 常利用

20、公式a7 = 1进行配项展开%： 4m助赞丰赘丰欢+9+由+ bef例:y= ac + bc + bd+cd+ a(b + c) + abcd + abde a(b+cyy= ac + bc + bd + cd+ a(bcy + abde=ac + bc + bd + cd + a + abde= a + bc + bd + cd= a + bc + bd11.4.2卡诺图的画法逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式 表示出来以2,个小方块分别代表c变量的所有最小项，并 将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个 最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不 同），就得到

21、表示c变量全部最小项的卡诺图。表示最小项的卡诺图二变量卡诺图三变量的卡诺图xoarbr 加0ab 加】ab 加2ab加3000111m7 4变量的卡诺图加0加3加2m4加5加7加6加12加13加15加14加8加911加100001101100011110五变量的卡诺图11 a3卡诺图化简法用卡诺图表示逻辑函数1 .将函数表示为最小项之和的形式叫。2 .在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ,其 余地方添0。用卡诺图表示逻辑函数:例：y(a,b,c,d)= arbrcd + afbdr + abf = abcd + (c + c)abdf + ab(cd)f + cd + cd+cd =z

22、%(1，4,6,8,9,10,n15)用卡诺图表示逻辑函数abcd010010010010111101100000011110具体方法依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不 同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中 直观地反映出来。合并最小项的原则:两个相邻最小项可合并为一项，消去 一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去 三对因子两个相邻最小项可合并为一项, 消去一对因子用卡诺图化简函数化简步骤：一一用卡诺图表示逻辑函数找出可合并的最小项化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）卡诺图化简的原则: 化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即 覆盖图中所有的1。 乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。 每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。例:y(a,b,c)= acf + ac + brc + bc0100011 11 0例:y(a,b,c)= acf + ac + brc + bcac+ab+bczb + hc + bc化简结果不唯一例:y= abc + abd + acd + cd+ abc + acdf11.4.4具有约束条件的逻辑函数化简1逻