浙江省衢州市高二数学《离散型随机变量的均值》教案

1、离散型随机变量的均值一、教材分析期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学，科产生深远的影响。二、学情分析本节课是一节概念新授课， 而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。三、教学目标1、知识目标1） 了解离散型随机变量的 均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均 值或期望.2、能力目标1 ）理解公

2、式“ e （ae +b） =aee +b，以及“若el b （n,p ）,贝u ee =np” .能熟练地 应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。3、情感目标1 ）承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。四、教学重点难点重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义（b、c类目标）难点：离散型随机变量期望的实际应用（ a类目标）五、教学过程（一）、复习引入1 .随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母 e、y等表示.2 .离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散

3、型随机变量.3 .离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序 列出，而连续性随机变量的结果不可以 列出(二)、新课讲授根据已知随机变.量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数e的分布列如下e 45678910p0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的 均值或期望.根据射手射击所得环数e的分布列，我们可以估计，在 n次

4、射击中，预计大约有p( =4)xn =0.02n 次得 4 环；p代=5)xn =0.04n 次得 5环;p(亡=10) xn =0.22n 次得 10 环.故在n次射击的总环数大约为4 0.02 n 5 0.04 n 10 0.22 n=(4 m 0.02 + 5父0.04+ 10x0.22)x n ,从而，预计n次射击的平均环数约为4父0.02 + 5乂0.04 +10x0.22 = 8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平.对于任一射手，若已知其射击所得环数e的分布列，即已知各个 p(u=i) (i=0

5、, 1,2,，10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数：0mp( =0) + 1吓(0=1) +10mp、=10).1.均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量e的概率分布为x1x2xnpp1p2pn则称e= x1p1 +x2p2 + +4pn+ 为e的均值或数学期望，简称期望.2 .均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .3 .平均数、均值：一般地，在有限取值离散型随机变量e的概率分布中，令p1 = p2 =1 .1=pn ,则有p1= p2= =pn=一，e- =(x1+x2+十*口户一，所以 工的数学期望nn又称为平均数、均值.4 .

6、均值或期望的一个性质：若“=a+b(a、b是常数)，七是随机变量，则刀也是随机变量，它们的分布列为x1x2xn刀ax1 +bax2 +baxn +bpp1口pn于是 e n = (ax1 +b) p1 + (ax2 +b) p2 + +(axn +b) pn +=a(xl pi+x2 p2+xnpn +)+b(p1+p2十+pn +)=ae：+b,由此，我们得到了期望的一个性质：e(a-b)=ae-b5 .若 e i b (n,p ),贝u ee =np证明如下：p( =k) =c：pk(1-p)n =c：pkqn上,+ + kx ckpkqn+ nxet=0x c0p0qn + 1x cnp

7、1qn+ 2x c；p2qn/encn p又kcnk 二 kn!k!(n -k)!n (n 7)!(k-1)!(n-1)-(k-1)!k- ncn，9e = np ( cn j0 n_. 111 n j2p q + cn qk 1 k 1 (n)4k)+ cn/p q+n -1 0n 1p q ) =np(p +q) = np .故 若七b(n, p),则e巴=np.三、讲解范例：1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得0.7 ,求他罚球一次得分 x的期望.解：因为 p(=1) =0.7,p=0) =0.3 ,所以 e =1 0.7 - 0 0.3 =0.7

8、.例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分,学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分(20,0.9 ) , n b(20,0.25),e e - 20 0.9 =18, e-20 0.25 =5 .由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5之和5刈.所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:e(5 ) = 5e( ) = 5

9、 18 =90, e(5 ) = 5e( ) = 5 5 = 25 .例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0.01 .该 地区某工地上有一台大型设备， 遇到大洪水时要损失 60 000元，遇到小洪水时要损失 10000 元.为保护设备，有以下 3种方案：方案1:运走设备，搬运费为 3 800元.方案2:建保护围墙，建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施，希望不发生洪水.试比较哪一种方案好.解：用x1、x2和x3分别表示三种方案的损失.采用第1种方案，无论有无洪水，都损失 3 800元，即x = 3800 .采用第2种方案，遇到大洪水

10、时，损失 2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时， 损失2 000元，即v 62000 ,有大洪水；x2 =2000,无大洪水.同样，采用第3种方案，有60000,有大洪水；x3=10000,有小洪水；0,无洪水.于是，ex=3 800 ,ex= 62 000 x p (x2 = 62 000 ) + 2 00000 x p (x 2 = 2 000 )=62000 x 0. 01 + 2000 x (1-0.01) = 2 600 ,e* = 60000 xp (x3 = 60000) + 10 000xp(x3 =10 000 ) + 0 .x p (x3 =0)=6

11、0 000 x 0.01 + 10000 x 0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地，我们可以这样来 理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望.解：: p(亡=i) =1/6,i =1,2,，,6,.e =1 1/6 2 1/66 1/6 =3.5.例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%对这批产品进行抽查，每次抽取1件

12、，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次.求抽查次数之的期望(结果保留三个有效数字).解：抽查次数取1 m u m10的整数，从这批数量很大的产品中抽出 1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15 ,取出正品的概率是 0.85 ,前k-1次取出正品而第k次(k=1, 2,，10)取出次品的概率：p(w =k) =0.85k,x 0.15 (k=1, 2,，10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：p伐=10) =0.859*由此可得u的概率分布如下:12345678910p0.10.1270.1080.090.0780.066

13、0.0560.0480.0400.2315542366196根据以上的概率分布，可得 巴的期望= 5.35*e =1 0.15 2 0.1275 -10 0.2316例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数学期望.解：抛掷骰子所得点数e的概率分布为所以eu =1x 1 +2x 1+ 3x6+5x=(1 +2+3+ 4+5 + 6)抛掷骰子所得点数 e的数学期望，就是 e的所有可能取值的平均值.例7.某城市出租汽车的起步价为若行驶路程超出4km,则按每超出10元,行驶路程不超出4km时租车费为lkm加收2元计费(超出不 足lkm的部分按10元,lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程

14、为15km.某司机经常驾车在机场与此宾(这个城e是馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程市规定，每停车5分钟按lkm路程1f费)，这个司机一次接送旅客的行车路程一个随机变量.设他所收租车费为(i )求租车费 y关于行车路程e的关系式;(n)若随机变量 e的分布列为15161718p0.10.50.30.1求所收租车费y的数学期望.(出)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停.车累计最多几分钟？解：(i )依题意得y =2(七-4)十10,即 刀=2 e +2;(n ) e2 =15x0.1 +16x0.5+17x0.3+18x

15、0.1=16.4y =2 七 +2en =2ew +2=34.8(元)故所收租车费y的数学期望为34.8元.(出)由 38=2 e +2,得 =18, 5x(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3球，以巴表示取出球的最大号码，则e2 =()a. 4;b. 5;c. 4.5 ; d. 4.75.答案：c .2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7 ,求他罚球1次的得分e的数学期望；他罚球2次的得分y的数学期望；他罚球3次的得分e的数学期望.解：因

16、为p(u=1)=0.7, p仁=0) =0.3,所以em =1x p( =1) +0x p =0) =0.7y的概率分布为y 012p0.32c2 m 0.7m0.3 0.72所以 eu =0x 0.09+ 1x 0.42 +2x 0.98=1.4 .e的概率分布为0123p0.33c3 m0.7m0.32c； m0.72m 0.30.73所以 e =0x 0.027 + 1 x 0.189 +2x 0.98 = 2.1.3.设有m升水，其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为e ,求e的数学期望.，一 一一一，人 ，一1一分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的

17、概率是,事件“七二k”发生，即m 个大肠杆菌中恰有 k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件 a (在此升水中含一个大肠 杆菌)恰好发生 k次的概率计算方法可求出p( e =k),进而可求 ee .解：记事件a: “在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则p(a)=.m_k 1 k 1 n-k p( e =k)=r(k尸c： ) (1 - )(k=0,1, 2,.，n).e b(n)，故 e =nx 1 = _n_.mmm五、课堂小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量 e的期望的基本步骤：理解 e的意义，写出 e可能取的全部值；求e取各个值的概率，

18、写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出ee公式e (ae +b) = ae e +b,以及.服从二项分布的随机变量的期望ee =np .六、课后作业1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球， 从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 (用数字作答)解：令取取黄球个数 t (=0、1、2)则巴的要布列为012p31035110于是 e ( ) =0x +1 x 3 +2x =0.810510故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取 2个球，每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记 1分，每取到一个红球记 2分，用表示得分数求-的概率分布列 求的数学期望解：依题意u的取值为0、1、2、3、4,什 ec：1-=0 时，取 2 黑 p( -=0)= c2 =6巴=1时，取1 黑 1 白 p( t=1)