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少齿差传动的啮合问题和计算方法Shuting Li.Nabtesco有限责任公司。栎山202号，日置町7028-2 ，津市市，三重县恳514-1138 ，日本 2007年7月15日收稿；修订稿2007年10月2日收到； 2007年10月16日录用摘 要本文叙述了关于少齿差行星齿轮传动（PDSTD）的啮合问题和数值分析方法的理论研究。文中将数学规划方法T.F.Conry,A.Serireg.接触弹性体设计的数学规划方法.美国机械工程师协会(ASME)学报,应用力学学报38(6)(1971)387392和有限元方法S.Li.薄缘辐板齿轮三维的啮合模型和承载齿接触分析.ASME学报,机械设计学报,124(3)(2002)511517; S.Li,考虑加工误差、装配误差和修形的一对直齿齿轮的接触强度和弯曲强度的有限元分析分析方法.机械制造和机械原理, 42(1)(2007)88114的概念引入到较为复杂的工程接触问题的处理中，通过一个力学模型和有限元方法（FEM）来解决PDSTD中三维（3D）的接触分析和载荷计算。有限元的方法已经经过了多年的发展。把成熟的有限元程序用于完成PDSTD的接触分析，使得PDSTD的轮齿、销和轴承滚动体接触状态十分明确。研究PDSTD时发现，当它承受15 kgm的扭矩时，只有四对齿参与啮合，并且这四对齿并不在外齿轮的偏移方向上，而是在与偏移方向成20-30角的位置。轮齿、销和滚动体各自承担的载荷差别很大，轮齿承载最大，远远大于销和滚动体上的载荷，这意味着对PDSTD来说，轮齿的强度比其余两个重要得多。另外，销承担的载荷也只是相当于滚动体承载的一部分。关键词：齿轮；齿轮系统；行星传动；少齿差；接触分析；有限元法1.概述在20世纪后期，随着工业自动化的发展，大减速比的齿轮传动系统得到广泛应用。少齿差行星齿轮传动（PDSTD）也普遍用于自动化的工业生产。尽管每年要制造很多少齿差行星齿轮减速器，然而到目前为止，PDSTD的强度设计计算仍然是一个没有解决的难题。专业用语符号：PDSTD 少齿差行星齿轮传动FEM 有限元法FEA 有限元分析3D 三维ISO 国际标准化组织 FT 齿面载荷FP 销轴载荷FR滚动体载荷Z1 外齿齿轮齿数Z2 内齿齿轮齿数X1 外齿齿轮变位系数X2 内齿齿轮变位系数m 齿轮模数1 内齿齿轮外径2 外齿齿轮内径3 外齿齿轮上销轴线所在圆直径（i-i） 假定的接触点对，同样的有（1-1），（2-2），（m-m）,(a-a),(k-k),(j-j),(b-b),(n-n) 表示一个弹性体或者外齿齿轮 表示另一个弹性体或内齿齿轮k 任意一对啮合点啮合前的间隙（或齿侧间隙）,同样的有jFk 啮合点对之间在公法线方向的接触力，同样的有Fjk，k 假定的啮合点（k-k）在接触力Fk方向上的位移akj,akj 接触点处的变形影响系数0 一对弹性体在外作用力方向上初始的最小间隙 一对弹性体在外力作用下沿力方向的相对位移或者在力矩T作用下，内齿轮相对于外齿轮的角偏移量Y 随即变量，Y=Y1,Y2,.,Yk,.,YnTXn+1 定义变量，同样有Xn+1 ，Xn+2 ，Xn+n ，Xn+n+1I nn 矩阵Z 目标函数S 变形影响系数矩阵F 啮合点的接触力矩阵，F=F1 ，F2 ，Fk ，FnT 啮合点对的间隙矩阵，=1 ，2 ，k ，nTe 单位矩阵，e=1,1,.,1,.,1T0 0矩阵，0=0,0,.,0,.,0Trb 内齿轮的基圆半径P 作用于一对弹性体上的外力PG PDSTD中齿面啮合点接触力的合力T PDSTD传递的力矩0 啮合角为了完成PDSTD的强度计算，我们有必要首先知道轮齿、销和滚动体上分布的载荷。由于目前对于PDSTD还没有用来做接触分析和载荷计算的有效方法，所以齿轮设计人员不得不根据直齿齿轮和螺旋齿轮强度计算的ISO标准4-6来近似计算PDSTD的强度7。众所周知，PDSTD的接触问题完全不同于任何一种直齿和螺旋齿轮，所以ISO标准不适合用于PDSTD的强度计算。Manfred和Antoni8应用FEM对摆线传动进行了位移分布和应力的分析。Yang和Blanche9也研究了有一定加工误差的摆线传动的设计和应用的方法。Shu10对PDSTD承载因素的测定进行了研究。Chen和Walton11研究了PDSTD的优化设计。本文提出一种用于解决PDSTD的接触分析和载荷计算问题的有效方法。基于20多年来对齿轮装置接触分析的经验和FEM软件的发展，文中采用建立一个力学模型和FEM来完成PDSTD的接触分析和载荷计算。相应的，FEM程序经过多年努力也获得较大发展。得益于此，PDSTD中轮齿、销和滚动体的接触状态已十分明确，也知道了载荷在轮齿、销和轴承滚动体上的分布。研究发现，在大小为15m的力矩作用下，PDSTD中只有四对齿参与啮合，并且这四对齿并不在外齿轮的偏移方向上。轮齿、销和滚动体上承担的载荷相互比较，可以发现，轮齿承受最大载荷，远远大于其余两个的载荷，同时，所有销的载荷也只相当于滚动体载荷的一部分。知道了轮齿、销和滚动体上的载荷以后就很容易完成PDSTD的强度计算。2传动系统的结构和原理图1是本文研究对象PDSTD的一种简单型式。在图1中，该PDSTD包括一个直齿内齿轮，一个直齿外齿轮，两个球轴承，一个输入轴，一个输出轴，8个用来传递力矩的销，相当于中心轴承的22个滚动体。为了使内外齿轮啮合，必须使外齿轮相对于内齿轮有一个偏心。这个偏心是通过曲轴的回转运动来实现的。这个曲轴就是一个能为外齿轮提供偏置运动的凸轮（在图1中，当曲轴旋转时，外齿轮就回交替产生偏心运动）。同时曲轴又是系统的输入轴。图1显示的是曲轴的偏心方向与+Y方向重合时的位置。在图1中，O1、O2分别是外齿轮和内齿轮的中心，e是曲轴的偏心距。e=O1O2 。PDSTD的齿轮参数和结构参数见表1。由于PDSTD是“K-H-V”型行星齿轮传动的一种，内外齿轮的齿数差又很小，所以这种传动系统通常被称为少齿差行星齿轮传动。当内齿轮固定时，系统的传动比等于Z1/(Z2-Z1)，其中Z1、Z2分别为外齿轮和内齿轮齿数。从Z1/(Z2-Z1)可以看出，齿数差(Z2-Z1)很小的时候，传动比Z1/(Z2-Z1)就很大。就图1中的系统而言，齿数差(Z2-Z1)为1，则传动比等于Z1。图1少齿差传动的一种形式表1PDSTD的齿轮参数和结构尺寸齿轮参数 齿轮1 齿轮2 结构尺寸齿轮类型 外齿轮 内齿轮 直径1 80齿数 Z1=49 Z2=50 直径1 36变位系数 X1=0.0 X2=1.0 直径1 41.125 齿轮宽度 12 12 销轴数 8螺旋角 0 0 销轴直径 4模数（） 1 滚动体数目 22压力角 20 滚动体直径 3齿形 渐开线刀具顶端半径 0.375 偏心方向 +Y偏心距e 0.971由于在PDSTD中用到了内齿齿轮，就必须像普通的渐开线内齿轮传动那样，要考虑齿顶和齿根的干涉问题。当然这种干涉问题可以通过轮齿的修形来解决，如进行齿根和齿顶的变位。另外为了避免干涉，也可采用其他齿形，如改进渐开线、圆弧齿形、摆线形等。3PDSTD的载荷分析和轮齿啮合的面接触模型图2是PDSTD中外齿轮的受力图。从图中可以看出，外齿轮受三种载荷，分别是由轮齿啮合产生的齿面载荷FT ，由中心轴承产生的滚动体载荷FR和由外加力矩产生的销轴载荷FP 。齿面载荷沿着内齿轮齿面啮合点的公法线方向，也即是沿着内齿轮齿廓上啮合点的运动方向。滚动体载荷是沿着外齿轮中心孔的半径方向。销轴载荷是沿着销中心所在圆的切线方向。尽管三种载荷已经在图2上表示出来了，事实上，我们并不知道轮齿、销、滚动体是否分担载荷，这是文中必须解答的问题。用FEM进行接触分析就是用来解决这个问题。图2 在行星传动中外齿轮的受力图 图3 啮合齿的面接触 图4 内外齿轮上的饿啮合点对在进行PDSTD的接触分析之前，有必要注意一下这种特殊的传动形式的轮齿的啮合状态。PDSTD中，轮齿的啮合状态不同于一般的内齿轮传动，一般的内齿轮传动有一条几何啮合线，理论上已经知道有多少齿参与啮合以及在不同的啮合位置哪个齿即将参与啮合，而PDSTD的啮合位置不在几何啮合线上，理论上也不知道哪里的齿齿廓将要接触，有多少齿参与啮合和哪个齿即将进入啮合。甚至不知道，对于PDSTD是否存在几何啮合线。另外一个区别就是每对齿的接触状态不同。如前面所述，普通的内齿轮传动，一对齿在几何啮合线上接触，文中称做“轮齿线接触”。但是对于PDSTD，轮齿像谐波传动一样是齿形上的一部分面在接触，文中称做“轮齿面接触”。图3中是参数为表1的PDSTD的轮齿的真实接触状态。从图3可以看出轮齿5、6、7、8、9齿廓的大部分是面接触状态。所以利用FEM对PDSTD的承载齿进行接触分析时，如图4上给出的很多点对（i-i）、(j-j)、（k-k),(n-n)必须取在内外齿轮的齿廓之间。这些点对假设开始是处于啮合状态的，本文目的在于通过FEM完成对PDSTD的接触分析最终来弄清楚哪对接触点将要退出啮合。4用于一对弹性体接触分析的弹性接触理论的基本原理41 一对弹性体的变形协调原理在图5中，和是在外力P作用下即将接触的一对弹性体。这儿讨论的接触问题受到普通表面承载能力的限制。 （a）三维视图 （b）剖视图图5 一对弹性体的接触模型随即作用力可以表示为一定区域内的应力分布。先作如下假设：（1）变形量很小；（2）两个物体遵循线弹性规律；（3）接触面光滑并且具有连续的一阶导数。在上述假设下，可以在弹性理论的范围内对这对弹性体进行接触分析。在图5中，这对弹性体的接触问题可以转化为在和的假定接触面上有很多点对在接触，如同图4中齿轮的接触一样。这些接触点对表示为（1-1），（2-2），（m-m）,(a-a),(k-k),(j-j),(b-b),(n-n),n是假定接触点对的总数。图5中b图是a图中两物体接触面的法平面的剖视。其中，k是啮合前任意两个啮合点对(k-k)之间的间隙，Fk是k与k在载荷P作用下啮合时，在它们公法线方向的啮合力（由于一般啮合区域通常非常狭小，在这里假定：所有啮合点对的公法线近似沿着外力P的方向。这种假设在工程领域是可行的，但文中将采用接触点对的真实方向）。k ，k分别是k和k点啮合后在力 Fk 方向上的变形量。0 是和之间最小的初始间隙，是O1 、O2 （图5b中的受力点）的相对位移。对任意一个接触点对(k-k)，如果(k-k)接触，则(k-k)的位移和间隙的和（k +k+k ）等于相对位移量；如果(k-k)没有接触，则（k +k+k ）大于。用等式（1）、（2）表示上述关系，用等式（3）综合（1）、（2）：k +k+k -0 （不接触） （1）k +k+k -0 （接触） （2）则k +k+k -0 （k=1，2，3，n） （3）nn根据赫兹理论，在外力作用下的变形与接触面的外形和外力P有关，也就是接触变形由接触面的几何形状和外作用力P两个因素决定。当外力改变时，一对弹性体的接触区域也随之改变,这种变化表明外力P与变形之间是一种非线性关系。但是由于这种非线性关系是由接触区域的变化得来的，因而它只能称做“几何非线性”，而不是“材料非线性”。所以，对于假定的处于接触的点对来说，计算弹性变形时，形变量与接触力（接触点对上的力，不是外力P）仍然是线性关系。那么接触点对的弹性变形量k 和k通过引入变形影响系数akj和akj，可以用等式（4）表示， j=1j=1k= akj Fj ； k= akj Fj （4） n其中Fj是(j-j)之间的啮合力。把（4）代入（3）可以得到等式（5），若把（5）用矩阵的形式表达出来，可以得到等式（6），j=1 （akj+akj）Fj+k -0 （5） SF+-e0 （6）其中 S=Skj= akj+akj F=F1，F2 ，Fk ，FnT =1 ，2 ，k ，nT e=1,1,.,1,.,1T 0=0,0,.,0,.,0T （k，j=1，2，n；k，j=1，2，n） 42 弹性体接触的力平衡n文中假设所有啮合点对之间的啮合力与外力P同向，由于接触区域很小，所以这种假设在工程中可行。根据这个假设，可以认为外力P等于所有啮合力Fj（j=1n）的总和，得到等式（7）。将（7）写成矩阵形式得到（8）， j=1 P=Fj （7） eTF=P （8）43 用数学规划法计算接触载荷等式（6）和（8）是判断啮合点对是否接触的依据。两个弹性体和的接触问题可以看作是在已知变形影响系数akj和akj，间隙k和外力P的情况下，看接触力是否满足等式（6）和（8）。但是仅仅靠这两个限制条件是不能确定啮合力Fj的，因为没有一种数学方法可以处理这种只有两个限制方程而没有目标函数的问题。上述问题可以采用数学规划理论的改进单纯形法来处理。根据改进单纯形法的理论，只有限制方程而没有目标函数的问题可以通过引入一些有利变量来建立一个人为的目标函数，进而当作数学规划模型来处理。所以，数学规划理论的改进单纯形法在这里可以建立一个数学规划模型并且解决一对弹性体的接触分析问题。因为方程（6）是一个大于或等于0的不等式限制条件，为了把它变换成一个等式约束方程，依据改进单纯形法引入一个松弛系数Y（一个正变量），于是得到等式（9）和（10），SF+-e-IY=0 （9）或者-SF+e+IY= （10）其中Y=Y1,Y2,.,Yk,.,YnT（松弛系数，Yk0，k=1，2，n），I是n阶单位矩阵。根据改进单纯形法引入一些正变量Xn+1 ，Xn+2 ，Xn+n ，Xn+n+1（通常称做人为变量）得到目标函数Z。那么基于改进单纯形法12-14，成对弹性体接触分析的改进单纯形法模型就建立起来了，如式（11）-（13），目标函数Z= Xn+1 + Xn+2 + Xn+n + Xn+n+1 （11）约束条件-SF+e+IY+IZ= （12）eTF+ Xn+n+1=P （13）其中S=Skj= akj+akj，k，j=1，2，nZ= Xn+1 ，Xn+2 ，Xn+n T F=F1 ，F2 ，Fk ，FnT Y=Y1，Y2，.，Yk，.，YnT =1 ，2 ，k ，nT Fk 0，Yk 0，k0，0，k=1，2，n Xn+m0，m=1，2，n+1 等式（11）是根据改进单纯形法的原理引入的目标函数。式（12）是由式（10）得到的一个约束，在式（12）中， IZ也是依据改进单纯形法引入的。式（13）是由（8）得到的另一个约束，Xn+n+1也是依据改进单纯形法引入的。建立了上述数学规划法模型之后，弹性体的接触分析问题就可以看作是在式（12）、（13）约束下对目标函数（11）的数学规划。或者更具体的说，在知道变形影响系数矩阵S，间隙矩阵和外力P的情况下，通过数学规划法，把式（11）作为目标函数，式（12）和（13）作为约束条件求得接触载荷F。上述的数学模型是数学规划法的标准形式，所以利用改进单纯形法12-14可以轻易求解方程（11）-（13）。5. PDSTD接触分析和载荷计算的FEM51 接触分析的力学模型第4章中讲述的方法不能直接用于PDSTD的接触问题，因为PDSTD采用渐开线齿形，如图4中所示，齿廓上不同的啮合点载荷方向不同。因此，如果仅仅认为一对弹性体的接触分析必须像图5中那样载荷在同一个方向才能进行，那么上述方法就不能用于PDSTD的啮合分析。但是如果改变思想，把上述方法中的一个载荷方向的接触引申为接触点所有载荷方向的接触，则第4章中的基本原理就可以用来解决PDSTD的啮合问题。接下来介绍如何发展第4章中的基本原理以解决PDSTD的啮合问题。图6a是PDSTD啮合分析的力学模型。在图6a中，所有的滚动体在啮合点都由支承代替，这些支承称为滚动支承，它们只能承受径向载荷，在切线方向是游动的。同样，所有的销轴都用止推支承代替，它们只能承受切向载荷而在销中心圆的径向是游动的。n在图6a中，外加力矩T作用在内齿轮上，齿面上啮合点处的齿面载荷就产生了。图6b显示了内齿轮齿面上啮合点的位置和载荷方向。从图6b中可以发现不同位置的不同啮合点载荷方向不同，但是由于齿形为渐开线，不同位置啮合点的载荷方向沿着所在位置的运动方向。那么，啮合点的所有法线都和内齿轮的基圆相切，如图6b。据此可以得到，j=1T= Fj rb （14）n其中，Fj 任意啮合点j的齿面载荷，如图6b所示。n是内齿轮所有承载齿面上啮合点的总数。rb 是内齿轮的基圆半径。由于 rb 是一个常量，所以式（14）可以写成式（15），j=1T= rb Fj （15）式（15）中的Fj 与式（7）中的不同，前者有不同的载荷方向而后者载荷方向相同。 （a） 力学模型（b） 啮合点及其运动轨迹图6 FEM啮合分析力学模型的剖视图在图6 a中，用于代替销和滚动体的边界支承会受到因要平衡齿面载荷而产生的反作用力。由于滚动体只能承受径向载荷，销只能承受切向载荷，所以边界支承如图6 a所示。那么PDSTD的啮合问题可以作以下表述。力矩T作用在PDSTD的内齿轮上，齿面上的啮合点上将产生一个沿着各自运动轨迹的齿面载荷。外齿轮中心孔的边界支承受沿中心孔径向的载荷，由于有替代了销，还要承受沿销中心圆切向的载荷。PDSTD的啮合分析就转化为在销和滚动体提供的边界条件下，PDSTD的啮合齿在啮合点载荷方向的接触分析。当然进行承载齿的啮合分析时边界条件并不是已知的。这种特殊的边界条件不确定的承载齿的接触分析通过FEM和数学规划法的反复计算来完成。52 假定的啮合齿对和点对由于理论上对PDSTD，有多少对齿参与啮合，一对齿是否啮合预先不知道，所以当力矩T作用时，假定有很多对齿在啮合。在图6 a中，在做PDSTD的啮合分析时，内齿轮的约一半的齿取在了FEM模型中，这表示在图6a中取的所有齿都假设与外齿轮的轮齿接触。整个外齿轮都取在接触分析的FEM模型中。另一方面，假定的啮合齿齿面有很多对啮合点，这些点对像图4中给出的点对一样。在图4中，只有四对啮合点（i-i）、(j-j)、(k-k)、(n-n)作为例子给出了。在实际计算中，为了得到正确的齿面载荷分布，必须取足够多的啮合点对。本文进行啮合分析计算时，假定啮合的每对齿轮的齿廓上取了13对啮合点。在图4中，接触点取在它们各自的轨迹线上。例如，啮合点(j-j)在点j的轨迹线上，(k-k)在点k的轨迹线上。所有的点对所在轨迹线的方向不同。53 如何确定内外齿轮的边界条件在图1中，内齿轮通常是通过螺钉固定在电动机的法兰上。所以，当如图7b所示的部分齿的有限元模型用来通过3D和FEM来计算内齿轮的变形影响系数时，在图7a和b中局部齿模型外圆面和两端面上的节点在三个方向上固定，作为FEA的边界条件。对内齿轮这个边界并不转化到所有的计算。对外齿轮而言，如图8c，外齿轮由滚动体和销支承。滚动体只能对外齿轮提供径向支持而销只能提供切向支持。在外齿轮的FEA之前，哪些滚动体和销支承着齿轮哪些没有并不清楚。所以在FEA的开始，假设所有销都为齿轮提供切向支持，所有的滚动体都为齿轮提供径向支持。然后可以进行外齿轮的FEA，这些销和滚动体的反作用力在FEA之后也可以求得。接下来就是要确定这些销和滚动体上反作用力的方向。如果这些反作用力是拉力，则它们在下一次计算时是不受力的，反过来，如果它们受到压力作用，那么下一次计算时他们将继续被固定。通过这种方法，FEA不断重复直到所有销和滚动体的载荷方向不再变化，则它们的正确的边界条件就得到了。这些边界条件最终被用于外齿轮的FEA中。图8b是用来代替销和滚动体的边界节点的想象图。54 计算变形影响系数和啮合点的间隙所有假定啮合齿对及其上面的啮合点对取定后，计算变形影响系数和所有假定啮合轮齿上齿廓延长线上啮合点之间的间隙。（a）作为边界条件的节点（b）内齿轮的FEM网格划分模型图7 计算内齿轮齿面啮合点变形系数的FEM模型啮合点的位置认为确定后，啮合点的间隙可以运用几何计算。如图4所示，j 是(j-j)之间的间隙，k是 (k-k)之间的间隙。j和k 的方向不同，它们沿着各自的渐开线计算。外齿轮和内齿轮啮合齿面的变形影响系数由3D和FEM分别计算。如上所述，不同啮合点的变形影响系数有不同的方向。它们沿着各自的渐开线计算。例如，在图4中，j点的变形影响系数沿着j点的渐开线计算而k点的变形影响系数沿着k点的渐开线计算。这是将传统的数学规划法从一个接触方向发展到多个接触方向。啮合齿面变形影响系数的计算内齿轮比外齿轮简单。图7b中给出的是计算内齿轮变形影响系数的FEM模型。通过3D和FEM计算变形影响系数时，图7a中给出的边界节点会被固定。由于内齿轮的边界条件不变，所以没有必要重新计算变形影响系数。图7a是图7b中给出的内齿轮的边界条件的一个剖视。计算变形影响系数时，模型外圆面和两端面上的节点作为边界条件都被固定。外齿轮啮合齿面上啮合点的变形影响系数的计算比内齿轮更复杂。因为从理论上不能确定哪些销和滚动体在接触，所以通过3D和FEM计算啮合点的变形影响系数时边界条件是不确定的。为了得到正确的外齿轮啮合点变形影响系数，FEM计算时必须像下面这样不断重复计算。图8 计算外齿轮变形影响系数的FEM模型运用图8中给出的模型计算外齿轮齿面啮合点变形影响系数。开始，按照图8c所有的滚动支承和止推支承固定（如图8b中节点固定）作为边界条件，通过3D和FEM计算假定啮合点变形影响系数。当然很可能有些销和滚动体并没有接触，这意味着开始给出的边界条件是错误的。但是由于啮合分析后可以得到新的边界条件，所以变形影响系数的计算要在新的边界条件下不断重复计算，直到在正确的边界条件下得到正确的变形影响系数。55 计算外力Pn从式（15）可以得到（16），j=1PG =T/ rb= Fj （16）这里，PG与式（7）中的P有不同的含义。PG 是啮合点上各个不同方向载荷的和，这里载荷方向不包含PG 在内。56 计算所有假定啮合点的齿面载荷分布式（11）-（13）可以不做改变直接用于PDSTD的啮合分析。唯一的区别是变形影响系数akj,akj，间隙和接触载荷Fj都沿着各点各自渐开线计算。 akj，akj，和P已知，轮齿载荷F和可以通过改进单纯形法解方程（11）-（13）求得。这里是内外齿轮的相对偏移角度。基于F的值可以计算出轮齿的接触形式和每个齿分担载荷的大小。因为齿轮传动效率较高，所以啮合齿面的摩擦不计。57 销和滚动体的载荷分布计算轮齿载荷分布已知，则可以利用图2和8给出的模型运用外齿轮的FEA来计算销和滚动体的载荷。首先，轮齿载荷作用在承载齿齿面，然后通过FEA和计算固定便捷边界节点（图8中所示的滚动支承和止推支承）的反作用力来计算销和滚动体载荷。固定边界节点上的反作用力求出后，就可以知道销和滚动体的接触状态。如果销和滚动体上的反作用力为拉力，那么他们在下一次计算时不承担载荷；如果销和滚动体上的反作用力是压力，则他们承担载荷并在下一次计算时仍被固定。像这样，不断得到销和滚动体接触状态的边界条件，把这些边界条件反馈到5.3节用于外齿轮齿面啮合点变形影响系数的下一次计算中。5.8 下一次计算回到5.3节，重复5.35.7节的计算过程直到销和滚动体的接触状态与上次计算相比没有变化，然后输出轮齿、销、滚动体的载荷。5.9 FEM软件的发展VFor语言在个人电脑上应用的多年努力使得FEM软件得到极大发展。超参数六面体单元2，3得到应用。下面给出FEM软件运行的流程框图，框图中的每一步都做了相应解释。1) 、输入传动装置的参数和结构尺寸；FEM软件可以对任意一个给出了表1中列出齿轮参数和结构尺寸的PDSTD系统进行啮合分析和载荷计算。给出变位系数后，它也可以分析非标准（正变位或负变位）齿轮。2） 、输入FEM网格划分模型，齿轮啮合位置参数和外力矩一个轮齿从进入啮合到退出啮合的位置在文中作为一个变量。啮合中如果这个变量能不断确定，那么啮合位置也就能持续确定。显然，计算前这个变量必须给出。内外齿轮网格的划分还受到其他参数的影响。根据这些参数来确定那些地方要细致划分而哪些地方可以粗略划分。通常轮齿接触的区域和齿根仔细划分网格。齿轮网格的划分可以随着这些参数的变化而变化。啮合分析时传递得力矩也要给出。3） 、自动划分内外齿轮的FEM网格结构尺寸、齿轮参数、啮合位置参数、FEM网格划分参数给定后，程序就可以自动为内外齿轮划分网格。4） 、给出内齿轮轮齿的啮合范围，生成内外齿轮齿面的啮合点对内齿轮轮齿啮合范围如图7所示。如图4中给出的内外齿轮齿面的啮合点对也是自动生成的。5）、计算每对啮合点对的间隙k 每个啮合点对的间隙是根据几何关系自动计算的。6） 、给出内外齿轮的边界条件图8b和图7a所示的被固定的节点是作为边界条件分别计算外齿轮和内齿轮的变形影响系数。7） 、利用3D和FEM计算齿面啮合点的变形影响系数啮合点对取定后，通过3D和FEM计算假定啮合点的变形影响系数。例如，计算一对啮合点的变形影响系数时，模型如图8所示，将一个单位力沿着啮合点所在渐开线作用在啮合点上，那么各啮合点沿着各自渐开线的变形量可以通过3D和FEM计算出来。齿面上所有啮合点都重复这样的计算。然后将这些计算出来的变形量写成矩阵就得到外齿面啮合点的变形影响系数矩阵。内齿轮利用图7中给出的FEM模型也通过相同方法计算。8） 、建立方程（11）-（13），解方程求得轮齿载荷建立方程（11）-（13）的数学模型，运用数学规划法中的改进单纯形法解方程求得轮齿载荷（啮合点对之间的接触力）。9） 、运用FEA计算销和滚动体的载荷根据外齿轮的固定的边界节点的反作用力的计算，运用FEA来计算销和滚动体的载荷。10） 、根据销和滚动体的载荷方向确定新的边界条件在第6步中，所有的止推支承和滚动支承被固定作为计算外齿轮变形影响系数的边界条件。这些最初的边界条件并不是完全正确。正确的边界条件由止推支承和滚动支承上的载荷方向得到。如果销和滚动体上承受压力，则这个销或滚动体在下一次计算时仍被固定；反过来，如果销或滚动体受到拉力，说明它们不承受载荷，则下次就不用计算。销和滚动体上所有载荷的方向像这样核对之后就得到新的边界条件。得到的新的边界条件用在第7步中外齿轮的变形影响系数的下一次计算中。11） 、判断边界条件是否改变在第10步中得到的外齿轮的新的边界条件与前一次计算的旧边界条件比较。如果没有变化则执行第12步；如果边界条件变了，跳到第7步，用新的边界条件重新计算。旧的边界条件指前面计算中使用的边界条件，新的边界条件指当前计算中使用的边界条件。12） 、输出轮齿载荷，销和滚动体载荷轮齿载荷、销和滚动体载荷由此输出。13） 、结束6.计算举例齿轮参数和结构尺寸如表1所示。在所有计算中，外齿轮的偏移方向沿着+Y方向，如图1、2、6。图9a是计算中用到的三维FEM模型。图9b是图9a的一个剖视图，它只显示了部分齿。在图9中，啮合齿被细致地划分了网格。在外面齿宽方向有16个网格（17个节点），在齿廓上有12个网格，齿根圆角部分有8个网格。计算中输出力矩为15kgm。计算结果如下。（a）FEM的三维模型（b）啮合齿的剖视图图9 PDSTD啮合分析的三维FEM模型61 轮齿载荷的分布图10反映了每对齿的最小间隙与齿所处的位置之间的关系。在图10中，每对齿的位置用一个角度0表示，如图2。每对啮合的齿上的总载荷是根据所有节点载荷计算的，每对齿的总载荷和它的位置之间的关系如图10所示。图2与图10中显示的齿数一致。从图2可以看出齿5、6、7、8并不在外齿轮的偏移方向（图2中0=90）上。它们在Y轴左边，这是由于齿4、5、6、7、8之间有很小的啮合间隙。在图10中，可以看出6、7齿上的总载荷远大于5、8齿。图10 齿侧间隙和轮齿载荷分布节点合力沿着齿廓方向，轮齿合力的纵向分
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