导数基础部参变分离变更主元

1、导数基础部分离变量：例1：设函数y f (x)在区间D上的导数为f (x)， f (x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上，g(x) 0恒成立，则称函数y f(x)在区间D上为“凸函数”，432xmx3x已知实数m是常数，f(x)12 6 2(1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数” 求b a的最大值.2mx 小3x2g(x) x2mx 3f(x)在区间0,3上为“凸函数”，2g (x) x mx 30在区间0,3上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(X)g(0

2、)g(3)3 09 3m 3 0432解：由函数f (x)匹竺得f (x)12623解法二：分离变量法:当 x 0时， g(x)x2mx30恒成立,x 3 时,g(x)x2mx0恒成立等价于m亘二的最大值x(0 x 3 )恒成立,而 h(x) x 0在m 2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)2F( 2)0 2x x 3021 x 1F(2)0 2x x2 30( 0 x 3 )是增函数，贝y hmax(x)h(3) 2x/当m 2时f (x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m 2时g(x)2x mx 30恒成立再等价于F(m) mx x2a 1,b R)变更主元法：例2：设函数f(x

3、) 1 x3 2ax2 3a2x b(03(I)求函数f (x)的单调区间和极值；(n)若对任意的x a 1,a2,不等式f (x) a恒成立，求a的取值范围解:2 2(i) f (x) x 4ax 3a x 3a x a当 x=3a 时，f (x) 极大值=b.则等价于g(x)这个二次函数gmax(x)agmin(x)ax 4ax 3a的对称轴x 2a令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a)令f (x)0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，&)和(3a, +)3 3.当 x=a 时， f(x)422a x 4ax 3aa恒成立(n)由| f (x)| wa,得：对任意的 x

4、 a 1,a2,g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边,立，等价于；0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法)g(x) x 4ax 3a 在a 1,a 2 上是 增函数.g(x)max g(a 2) 2a 1. g(x)min g(a 1) 4a 4.于是，对任意x a 1,a2，不等式恒成g(a2)4a 又 0 a 1, . a 1. a,解得4a 1.g(a1)2a 1a5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系32例3：已知函数f(x) x ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，3 t 6 2 g(x) xx (t 1)x 3 (t 0)2(I)求a,b的值；1,4时，求f (x)的值域;(出)1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t的取值范围。解:/ 2f (x) 3x 2ax f/(1)3b 1 a 解得9b(n)由(I)知,f(x)在1,0上单调递增，在0, 2上单调递减，在2, 4上单调递又 f( 1)4, f(0)0,f (2)4, f(4)16 f (x)的值域是4,16(川)令 h(x) f (x) g(x)2x2 (t1)x 3x 1,4思路1 ：要使f(x) g(x)恒成立，只需h