数学建模-银行信誉度量化指标正式版

1、竞赛队编号（参赛学生不填写）：_西北师范大学2010年数学建模竞赛参赛队员姓 名学 号所在学院鱼自发0237物理与电子工程学院殷耀鹏0235物理与电子工程学院赵钦锋0245物理与电子工程学院指导教师：石玉仁 竞赛题目（在AB上打勾）： A B 银行客户贷款信誉度衡量摘要关于次贷风险的度量和防范是一个重要的研究内容，次贷风险的防范应该从信贷源头开始。针对银行客户贷款问题，我们对客户登记表中的个人信息进行量化，并且建立了客户信用程度、偿还能力的评价指标信誉度。建立了多元线性回归方程以确定客户信誉度，应用层次分析法计算出回归系数。计算回归系数过程中，首先构造了层与层之间的判断矩阵，并对所构造的判断矩

2、阵进行严格的一致性检验，对于不满足一致性的判断矩阵，需重新构造，直至其满足一致性为止；其次，采用二次收敛的的方法，剔除了个别偏差很大专家意见的干扰，尽量减小主观影响因素；最后，通过求权向量，将筛选后剩余专家权重意见进行加权，取得综合权重。所建的模型中，将二次收敛方法与层分析法结合起来，解决了层分析法的最大弊端 不能很好的解决群体专家决策问题。进而求出了比较精确的多元线性回归系数。在此过程中，针对前面建立的模型，运用VB软件开发了客户信誉度评判系统，在应用过程中，只需向系统输入客户基本信息，该系统便可立即给出客户信用程度及偿还能力的评价指标。从而辅助有关部门进行决策。关键词：层次模型；线性回归；

3、一致性检验；二次收敛1.问题重述 2008年9月，美国次贷危机终于演变成了一场严峻的全球经济危机。并且随后又爆发了希腊政府主权债务危机。很明显，美国次贷危机和希腊主权债务危机都是因为信用关系链中断导致的金融危机。当然，银行贷款也具有一定的风险，银行信贷风险的防范应该从信贷源头开始。就银行客户而言，特别是信贷客户，其中的许多申请者具有很高的信用值，而有些则不是，对于银行来说其风险主要来自不了解哪些申请者是信誉度高的客户，哪些是信用度低的客户。针对此问题，银行设置了贷款用户需要填写的商业银行客户登记表，以期望通过贷款用户在表中所填写的个人基本信息来确定出他们的信誉度，进而决策出是否进行贷款活动。对

4、于以上的背景情况，我们考虑影响用户信誉度的因素，建立合适的数学模型，并以此模型为基础，运用计算机编程，开发一套应用软件，使其很快的从客户所填写的基本信息中判断出此人的贷款信誉度，从而为银行提供一定的理论判断依据。2.符号说明符号符号代表意义银行客户贷款信誉度偿还能力指标信用程度指标影响银行客户信誉度中的各个元素各个元素在银行客户偿还能力指标中所占的比重各个元素在银行客户信用程度指标中所占的比重3.模型假设(1) 模型建立过程中，假设各个层之间的相互影响是独立的，而且每层中的所有元素对上一层的影响也相互独立的。(2) 假设银行客户所填写的个人基本信息都是真实可靠的，不存在虚假性。(3) 假设同一

5、层因素对上层有影响，同时又受到下一层因素的影响作用。4.模型建立与求解决策是人们进行选择或判断的一种思维活动，也是我们随时都会遇到的问题。有些决策简单容易，如买什么菜，做怎样的饭，穿什么样的衣服等，但是有些决策却复杂困难，例如，中学毕业上大学，如何选择志愿，要考虑到本人的兴趣爱好，学习基础，专业前途等因素；假期到了，人们打算外出旅游，如何选择旅游景点，要考虑景色、费用、居住、饮食及交通等条件是否舒适方便；一个经济学家在进行社会、经济以及科学管理问题的决策时，所面临的常常是相互影响、相互制约的大量因素构成的复杂系统。总之，人们的决策活动无论是简单的还是复杂的，他都是在系统的观点下的一个综合判断过

6、程。人们在处理类似上面举例的决策类问题时，要考虑的因素有多有少，有大有小，但有一个共同的特点是它们都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。过去，人们主要依靠主观进行判断，缺乏科学性，但是随着社会的发展，大量的数学工具的使用，是我们有可能定性和定量结合地研究各种社会、经济等问题。层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨迪教授于世纪年代正式提出的一种实用的多准则决策方法。该方法是一种定量与定性结合，将人的主观判断用数量的形式表达和处理，已解决多因素复杂系统，特别是难以用数量形式描述的社会系统的分析方法。他把复杂的问题分解成各个组成因

7、素，又将这些因素按支配关系分组成递阶层次结构，然后应用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。它特别适用于那些难以完全用定量进行分析的复杂问题。它可以使人们的思维过程层次化。逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据。它具有实用性，灵活性和简洁性等优点。在我们遇到的有关商业银行客户信誉度问题中，年龄，婚姻状况，是否本地户口，住宅性质，个人财产，本地定居时间构成了银行客户的顾客特征；工作类别，工作年限，分期付款占收入的比例，活期存款余额，存储账户金格构成了职业情况的5个因素；信用额度，信用历史，持卡时间，持卡消费种类，担保情况，担保人数量，分期付款计划有购成了信用卡状

8、况。而顾客状况，职业情况，信用卡状况有影响到银行客户的偿还能力和信用程度。偿还能力和信用程度最终直接影响决定一个贷款客户的信誉度。根据以上分析，我们建立如图1所示的层次分析结构。A层为标层，B层,C层，D层都作为影响A层的准则层。将最底层中的每一个因素关于B层中的元素偿还能力和信用程度进行量化，对每一个影响因素中的各种情况采用打分量化方法，分数15分，分数越高，表示银行客户该属性表现越好。例如：对于偿还能力进行量化是，对于年龄这一影响因素，30岁以下打3分，理由是基本无固定收入，但具有较大的偿还潜力；3040岁之间打4分，理由是大多数人工作基本确定，有了固定收入，具有很大的偿还潜力；4049岁

9、之间打5分，理由是大多数人随着工作时间增长，经验逐渐积累，收入处于增长状态，并且有一定的财富积累。5065岁打2分，虽然有财富积累，但接近退休，收入降低，偿还潜力下降；65岁以上打1分，理由是收入降低，身体状况下降，支出增多。再例如对信用程度进行量化时，对于担保人数这一因素进行量化时，随着担保人数的增多，我们打的分依次增高，理由是担保人数越多，这位银行客户的信用程度相对来说比较好。详细量化请见附页中的表一，表二。 量化各个信息以后根据模型假设，我们建立多元线性回归模型 其中，代表客户信誉度，表示偿还能力，表示信用程度，表示在中所占的比重，表示在中所占的比重。 其中代表影响信誉度的最基本元素，代

10、表相对应在中所占比重，代表相对应在中所占比重。 运用层分析法来确定多元线性回归系数我们继续以图1所示的框架图作为层次分析法的递阶层次结构示意图：4.2.1 构造两两比较的判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层因素为准则层，所支配的下一层因素为.我们确定因素对于准则层相对的重要性即权重。在我们所采用层分析法的中，元素的权重我们是不知道的，且不容易通过统计方法获得，且由于较多因素影响，即使统计出一定的数据，但也可能存在着较大的误差。因此我们采用两两比较的方法。设要比较个元素对准则层的影响确定他们在中所占的比重，每次取两个因素和，以表示和对的影响程度之比，得到一个两两比较的判断矩阵 观察构造出来的判断矩

11、阵，它具有以下性质 因此，我们又把判断矩阵称为正互反矩阵。 描述因素相互影响大小的的取值也做某种规定性的量化，我们在描述事物好坏，强弱时往往用相等、较强、强、很强、绝对强来表示差别程度，正像我们优秀、良好、中、及格、不及格大体区分考试成绩一样，一般的，的取值为如下表所示： 表1 比例尺度的取值方法相等较强强很强绝对强 采用这种比例标度是符合心理学理论的：心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上的差别能力在级之间，采用1标度反应大多数人的判断能力。其次，大量的社会调查表明，的比例标度早已为人们所熟悉和采用。再者，科学考察表明，的比例标度已完全能引起人们感觉差别的事物的各种属性。在我们所建

12、立的模型中：我们采用四个不同的人给出四组判断矩阵，先检验使四组判断矩阵通过一致性检验，再采用二次收敛模型，排出意见较大的专家图1 银行客户信用度层分析结构图最后经过程序算出各个元素在偿还能力和信用程度中所占的综合比重。准则层对目标层的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 子准则层对的判断矩阵 4.2.2 两两比较的判断矩阵的一致性检验：我们构造的两两比较的判断矩阵是正互反矩阵，但不一定是一致阵。我们现在对它进行一致性检验。若在判定判断矩阵的各个元素时皆保持相同的比较标准

13、，则最终形成的各个判断矩阵应该是严格的一致阵。验证矩阵是一致阵的充要条件是其最大特征根。一旦矩阵为一致阵时，由性质可知下一层对上一层的影响可由对应的特征向量的元素来确定。然而，对于一般的问题，尤其当考虑的因素较多时，很难保证判断矩阵为一致阵，因此必须先对进行一致性检验。令称为判断矩阵的一致性指标，为它的阶数，显然，当 时,为一致阵。可以证明，越大，的不一致程度越严重。但是，对于一个具体的矩阵来讲，很难说其一致性指标到底是很大还是很小。针对上述定义的不严格性，提出用平均随机一致性指标检验判断矩阵是否具有比较满意的一致性。给出了值，如下表所示： 表2 随机性指标直阶数12345678900令 称为

14、随机一致性比率。为了简化我们的模型，我们规定当时，认为具有比较满意的一致性。否则，则必须重新调整判断矩阵，直至其具有比较满意的一致性。 我们利用VB软件编制出检验判断矩阵是否一致性的程序，其界面如图2所示，利用此程序计算出各个判断矩阵的，（填入表3） 图2 一致性检验截面图 表3 一致性比率0 000 4.2.3 二次收敛方法的应用我们看到，在构造判断矩阵时，由于各个专家构造判断矩阵的角度不同，从而会给出不同的判断矩阵，我们运用层分析法时，在解决群体专家权重评价时没有剔除个别偏差很大专家意见的干扰，可能会使最终的结果有较大的失真。因此，我们在该模型的建立中借鉴聚类分析原理，在层分析法中运用两次

15、收敛的方法解决群体专家意见问题。在第一次收敛过程中，通过简化了的聚类方法，将个别专家意见淘汰。第二次收敛过程中，利用相似系数作为权值对筛选后的专家意见在进行加权，从而得到更加合理的综合权重。4.2.3.1 一次收敛分析（I）对四位专家的给出的判断矩阵进行一种变形，将各位专家的判断矩阵的中的所有元素按规则写在一行，使各位专家对任何两个指标比较的相互重要度能够相互对应。 按特定规则变形后的矩阵为： 这样，就将四位专家的判断意见综合成一个矩阵。 （II）计算专家意见的相似程度：由矩阵可得各个专家之间的相似系数，并由此组成相似系数 其中，表示专家与专家判断矩阵的相似程度。，由上式可知，越小，则相似程度

16、越小。此处仅仅介绍一次收敛原理并简单阐述方法，在我们所建立的模型中，针对于每一层中不同专家所给的意见都要进行一次收敛分析。（III）排除离异程度较大的专家所做的判断矩阵偏离程度的计算在剔除离异判断矩阵时，这里为了计算方便起见，屏弃了聚类分析法经常采用的，计算相当复杂的直接聚类方法，提出了一种简化手段，计算方便，原理简单，非常适合在我们的实践中使用。 式中，表示相似系数矩阵中的每一行元素之和，他表示第个专家判断所得出的判断矩阵与其他专家群体评价所得判断矩阵的相似程度。相似系数之和越小，此专家的意见越远离其他专家，偏离程度较大，故应舍去。表示专家人数，。剔除离异程度较大的判断矩阵排除某一位专家意见

17、时所把握的尺度，可以采用偏离程度进行鉴别，即用一个量化的指标来衡量各个专家的意见，如果某一位专家意见在中很小，则说明他与其他专家意见相差甚远，应该排除这个人的意见。也就是说，在下面的公式中，当大于某一阈值事，这个意见应该被排除掉。其中，表示第个专家的相似系数与最大相似系数的偏离程度。表示相似系数中的最大值。当时，该专家的权重意见将被排除。注意：这个5的阈值是在具体的信贷风险中总结出来的经验值。利用VB软件，编制程序计算每个专家的偏离程度D以及P其输入界面和输出界面所图3，图4示 : 图3 二次收敛输入界面 图4 一次收敛输出界面 表3 偏离程度向量D相似程度向量P%),%),%),%)%),%

18、),%),%)%),%),%,)%)%),%),%),%)（）,（）,（2,89）（）,（）,（）（）,（）,（）,%),%),%),%)%),%),%),%)%),%),%),%)%),%),%),%)%),%),%),%),4.2.3.2 二次收敛分析：（I）专家权重评价意见的取得 经过淘汰后，对剩余三个专家的判断矩阵分别进行权向量求解.在计算过程中采用根法求判断矩阵的最大特征值和对应的权向量为,其方法见附页.将所求出的三个权向量组合便可得到一次收敛处理后的权重矩阵 （II）剩余专家权重意见的加权： 对于表示第位专家与其他专家意见的相似程度，也就是说越大第位专家越能体现所有专家的综合意见，

19、所以在计算综合权重时，用相似系数对专家意见权重矩阵进行加权平均，而抛弃以前用算术平均的做法，应用以下公式：再对 进行归一化处理，得到了专家们对权重的综合意见式: 利用VB软件，编制程序计算出每一层各个影响因素的综合比其输出界面如图5所示：图5 二次收敛模型并将数据计入以下表格记法说明：MN表示N层中各个元素在M中所占的比重。如AB 表示B层中各个元素在A中所占的比重。表4 B层中元素在A中所占比重 AB权重 表5 C层中元素在中所占比重权重表6 C层中元素在中所占比重权重 表7 D层中元素在中所占比重 权重 表8 D层中元素在中所占比重 权重0,040,42 表9 D层中元素在中所占比重 权重 表10 层中元素在中所占比重 权重 表11 层中元素在中所占比重 权重 表12 层中元素在中所占比重权重5.2.3根据综合权重，计算多元线性回归的元素的系数= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =将所计算出的和代入我们第一步假设的多元线性回归方程根据以上二式求出 的值；其中：，(运用层次模型所确定的)利用我们建立的模型计算出银行客户的信誉度,进而确定该用户属于哪个级别的贷款用户。在此模型的基础上，我们开发了银行客户信誉度评判系统，当用户输入基本信息时，通过该系统判断，评判输出该用户的信誉度等级。评判系统输入、输出界面如下图所示:图6 评判系统