导数在解题中的应用

1、毕 业 论 文（ 2014 届）题 目 导数与函数单调性_ 学 院 数学计算机学院 _ 专 业 数学与应用数学（师范)年 级 2010级 学生学号 学生姓名 李菲菲 指导教师 汤晓燕 2014年 5月 8日 导数与函数的单调性数学计算机学院数学与应用数学专业 2014届 李菲菲摘 要: 这篇论文强调了导数在中学教学中的重要地位，它主要是通过研 究导数在函数单调性中的应用来体现的，关键词：导数；参数;函数；单调性。 1引言 在中学教学中，导数扮演着重要的角色，导数是高中新引入的内容，导数的引入对于高中知识的拓展有着重要的意义，使得学生在问题的解答思路上有了更新的认识，从而使复杂问题简单化，也为大

2、学学习的微积分打下了很好的基础。因此，导数中学教学中的应用时很广泛的，比如：求方程的根、求曲线的切线方程、求函数的解析式、证明不等式、研究函数的单调性质等等。然而，导数的引入不仅在数学教学中起到了不可忽略的作用，在物理、化学等教学中也涉及到了导数的运用，。在近几年的高考中，我们会发现，导数在解决问题上的地位越来越引起我们对它的重视。所以，重视导数在教学中的重要作用，是我们应该关注的问题，这就需要我们对导数有更深的认识，并利用导数在实际问题中解决问题。2 导数的产生及概念 对于导数的产生，我们 来看这样一个物理问题。有一个质点在x轴上运动，它在x轴上的位置x与时间存在这样一个关系：x=f(x)，

3、那么如何求得质点在t0 时的速度？ 解析：质点在x轴上的位移随着时间t的变化而在不断的变化，当时间t存在一定的增量t时，也存在相应的增量x，并有，它表示质点在一定时间段上的位移大小。然而，我们可以根据位移、速度、时间三者之间的关系求得质点某段时间内的平均速度为：.在这里，我们不知道质点做的是否是匀速运动，所以我们不知道质点的速度是否在发生变化。但我们可以肯定的是无论质点做的是什么运动，当时间段t接近0时，质点的平均速度接近t0 时的速度，存在：t0时的瞬时速度=。因此就有了导数的概念：导数的定义：对于一个函数，当函数从x1到x2发生变化时，函数的平均变化率为，也就是说当自变量有相应的增量x,则

4、函数的平均变化率为，而函数在x0 的瞬时变化率为，它表示函数在x=x0处的导数，记为。3 探究函数的性质 导数在函数中的应用时非常广泛的，利用导数，可以直接判断出函数的单调性质，让复杂问题简单化，避免运用求差法，而使得问题复杂化，从而达不到我们想要的教学效果。3.1 利用导数判断函数的单调性质设函数y=在某个区间中可导，若对中所有而言，存在 ），则在中是增函数；），则在中是减函数；）=0，则在中函数值不变.由此可见，要判断函数的单调性.直接可以通过对函数进行求导，然后对其导函数的正负性进行判断，从而判断出函数的单调性质。 注：应正确理解“某个区间”的含义它必是定义域内的某个区间。3.2 典型例

5、题题型一 利用导数求函数的单调性和单调区间 此类题目需注意函数的定义域，求的单调区间必须在定义域围内，以零为界点，通过判断导数的符号来判断单调性。 例1.求函数在0,1上的单调性（R）. 分析：此题因为a值未知，所以需先讨论a值得大小。 解：由题意可知，可令，得 ，t0,1上的单调性. 当a0时，在t0,1上为增函数； 当a0时, 因=， 则由 ， 得 =0. 有 t=， 即 当t(0, )时，在t（0，）上为增函数； 当t时，在t上为减函数.又因为当时，在上为增函数， ，当时，则在t（0，）上为增函数；在t上为减函数.例2 (2013 广东卷理）设函数f(x)=（x-1)ex-kx2(kR)

6、.求当k=1时，函数f(x)的单调区间。分析：此题利用求导求函数的单调区间，主要通过判断导数符号，同时，注意单调区间有多个是应该怎样表述。 解：由已知当k=1时，f(x)=（x-1)ex-x2 f(x)=x(ex-2), 当 f(x)=0时，（x-1)ex-x2=0 x1=0. x2=0x(,0)(0,ln2)(ln2,) f(x)000 f(x) 所以， f(x)在(,0)和(ln2,)上单调递增， 在(0,ln2)上单调递减 小结：如果f(x)=0的点不唯一，则哈数的单调区间有多个。 且不能用符号连接，需用“和”、“及”等连接。并且所求区间应考虑在定义域范围内。题型二 含参数的函数单调性讨

7、论 这类题目是历年考试中常见的题，不能直接求出函数的单调性，需对参数值进行讨论，体现了分类讨论的思想，扩展了人们的思维方式。例2：（2009安徽卷理） 已知函数，讨论的单调性。 分析：本题主要是利用导数的知识对函数单调性进行研究，因为a值未知，所以函数的单调性对a值进行讨论，这就需要我们用到分类讨论的思想，对的单调性质进行讨论。 解：由函数可知，所以函数的定义域为（0，+）， 设，则.讨论： 当0,则函数在（0，+）上是增函数。 当=0时，即时，对任意的m=0. 0，则函数在（0，+）上也是增函数。 当0时,即时，方程有两个不同的实根： 函数的单调性如下：000极大极小由上可得在 上单调递增，

8、在上是 单调递减，在上单调递减。例2 （09 重庆卷理 ）设函数在m=0处取得极值，且曲线 在点（1，）处的切线垂直于直线。 求m,n的值； 若函数，讨论的单调性。分析：这题综合了题型一和题型二，第一问由单调性求得参数值，第二问又求复合函数的单调性，考查了运算能力。 解：因，得 又在x=0处取得极值，故，即n=0 由在1，）处的切线垂直于直线，知切线的k=2，即 =2,2m=2，m=1 由上可知， ，令g（x）=0，有x2_ 2x+k=0 当=44k1时,g(x)0在R上恒成立，故当看k1时，g(x)在R上为增函数 当=44k=0,k=1时，g（x）=0（x0),故当k=1时，g(x)在R上为

9、增函数 当=44k0,0k0 即x(,x1)时，g(x)0，g(x)为增函数 x1x0，g(x)为减函数 x（x2，)时，g(x)为增函数小结:这类题目主要是考查了分类思想在数学中的运用，需要有缜密的逻辑思维，对参数进 行全面的讨论，这题主要就是结合了导数在函数单调性中的运用对参数值分类讨论。题型三 已知单调性求参数范围 此类题目通常转换为不等式的恒成立问题，通过函数的单调性判断 导数的正负性，继而求得参数值。例1 （2013 安徽卷理）“m0”是函数f(x)=|(mx-1)|在区间（0，）单 调递增的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 分析：这

10、题是一个一直参数的取值求函数单调性的题，也是一个由单 调 调性求参数取值范围的题，只是出题的形式不同。 解析：判断充分性。 当m=0时，f(x)=|x|,y=f(x)在在区间（0，）单调递增 当m0时，f(x)=(-mx+1)x,f(x)0,f(x)单调递增 判断必要性。 当y=f(x)在在区间（0，）单调递增时，m0 所以答案选D.例2 （05天津理）若函数，-(b0,b1)在区间(,0)内单调递增， 则b的取值范围是（)A,1) B,1) C(,+) D(1,)解析：f(x)是对数函数，需分0b1考虑. 令g(x)=x3-bx 因为f(x)在(,0)上是增函数，若0b1，则g(x)在(,0

11、)上为减函数，即g(x)=3x-b3x在(,0)上恒成立, 所以b3()=,此时，b1；若a1，则g(x)在(,0)上为增函数，要使g(x)=3x-b0在(,0) 上恒成立, 即b3x在(,0)上恒成立,故b0,与题意矛盾。 所以，a.1).点评：解决函数有关问题，要注意函数的单调性，通过讨论函数的单 调性，来判断参数的取值，是题型二的一种逆向思维，也体现了分类讨论 的思想。3 结束语.谢 辞 非常感谢我的导师，感谢她一直以来的虚心指导，我获得的不仅仅是一片论文，更重要的是我学得了对待事情的态度，态度决定一切。参考文献1同济大学数学教研室，高等数学M.4版.北京:高等教育出版社,1996:97. 2同济