第二章随机过程

1、附加 随机过程 给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1, 2, )是随机试 验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现）， 记作xi(t)，所有可能出现的结果的集合x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作(t)。 简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。 随机噪声特点：随机噪声特点：时间t的函数，但在任一时刻上噪声电压是随 机变化的，因而是一种随机过程。 随机过程是随机信号和随机噪声的统称。 图 1 样本函数的总体 x1(t) x2(t) xn(t) t t t 样本空间 S1 S2 Sn (t) tk 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的

2、时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性 可以用分布函数或概率密度函数来描述。 我们把随机变量(t 1)小于或等于某一数值x1的概率P (t1)x1，简记为F1(x1, t1)，即F1(x1,t1)=P(t1)x1 该试称为随机过程(t)的一维分布函数。 如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有 则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数。 ),( ),( 111 1 111 txf x txF 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一 个二元随机变量(t1), (t2)，称F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (

3、t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数。 如果存在 则称f2(x1,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。 );,( );,( 2121 21 2, 1212 2 t txxf xx ttxxF 任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn ).,;.,( . ).,.;,( 2121 21 2, 121 2 nn n nn tttxxxf xxx tttxxF 如果存在 则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。 n越大，用n维分布函数

4、、 n维概率密度函数对随机过 程统计特性的描述就越充分，但复杂性也随之增加。在一般 应用中，掌握二维分布函数就已经足够了。 1.1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过 程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布 函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机 过程的统计特性，更简单直观。 什么是数字特征？ 即包括数学期望、方差、相关函数等。 1. 数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机 变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则(t1)的数学期望为 1111 ),()()(dxtxfxt

5、Eta 时间t的函数，表示随机过程样本函数的平均 值，在电信号中相当于直流分量。 2. 方差方差 )(tD )()(tEtE 22 )()(tatE 2 1 )(),( 2 tadxtxfx 2 =2(t) 方差表示随机过程在某时刻相对于均值a(t) 的偏离程度，在电信号中表示信号的交流功 率 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关 联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 3. 协方差函数协方差函数 T1时刻交流成分T2时刻交流成分 R(t1,t2)=E(t1)(t2) 4. 相关函

6、数相关函数 B(t1, t2)=R(t1, t2)-E(t1) E(t2) =R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令 t2=t1+，则R(t1, t2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相关函数依赖 于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函 数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程不同时刻的相关程 度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。 对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。 设(t)和(t)分别表示两个随机过程，

7、则 互协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 而互相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1)(t2) 1.2 平稳随机过程平稳随机过程 1.2.1 定义定义 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而 变化。 当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限 维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间隔有关。 设有一个二阶矩随机过程(t)，它的均值为常数，自相关函 数仅是的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机 过程。 1.2.2 各态历经性各态历经性 平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全

8、可由随 机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。 随机过程(t)的统计特性为 假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的统计特 性分别为 a t 2 R a)( 2 t)(R )()(),( )()( )()( 11 222 RRttR tt atata 统计平均 时间平均 1.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性如果用幅频特性来表示很不方便，因 为随机过程的幅度是不确定的，因此随机过程的频谱特性是用 它的功率谱密度来表述的。 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于 任意

9、的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 随机过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计 平均。 T WF wP T T f 2 )( )( lim T WF T fwP T wPE 2 )( )(lim )( (t)的平均功率S则可表示成（傅立叶反变换） T wEE dwwpRs T T 2 )( 2 1 )( 2 1 )0( lim 经过推导，平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关与其自相关 函数函数R()是一对傅里叶变换关系是一对傅里叶变换关系。 deRwp jwr )()( dWeWPR jwr )( 2 1 )( 简记为 R() P() 维纳-辛钦关系

10、功率谱密度P()有如下性质： （1） P()0，非负性； （2） P(-)=P()，偶函数。 因此， 可定义单边谱密度P()为 P1()= )(2wp 0 W 0 W 0 几个数学期望的公式 随机过程（变量）的数学期望随机过程（变量）的数学期望 dxxxfE)( 连续随机变量函数的数学期望连续随机变量函数的数学期望 设是随机变量的函数， =g() 则 f(x)为x 的概率密度函数 dxxfxgE)()( 离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望 i i i pxE 1 Xi为所有可能的值，对应概率为Pi 例 2 - 1某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c 均为常数，是在(

11、0,2)内均匀分布的随机变量。 （1） 求(t)的数学期望、自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论(t)是否具有各态历经性。 解 (1) 先考察(t)是否广义平稳。 (t)的数学期望为 dtwAtEta c 2 1 )cos()()( 2 0 dtwtw A cc )sinsincos(cos 2 2 0 常数）(0sinsin(coscos 2 2 0 2 0 dtwdtw A cc (t)的自相关函数为 )()(),( 2121 ttEttR )cos( 1 twAE c 2)(cos)(cos 2 1212 2 ttwttwE A cc dttw A ttw A cc 2 1 2)(co

12、s 2 )(cos 2 12 2 0 2 12 2 0)(cos 2 12 2 ttw A c 见(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔有关， 所以(t)为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里 叶变换，即R()P()，则因为 cosc (-c)+(+c) 所以，功率谱密度为 P()= (-c)+(+c) 平均功率为 S=R(0)= )()( 2 2 cc wwww A 2 2 A (2) 现在来求(t)的时间平均。 根据式（2.2 - 6）可得 0)cos( 1 2/ 2/ lim dttwA T a T T c T dtttwACOStwA T R

13、 c T T c T )()cos( 1 )( 2/ 2/ lim dtwtwdtw T A c T T c T T c T )22cos(cos( 2 lim 2/ 2/ 2/ 2/ 2 c w A cos 2 2 比较统计平均与时间平均，得a= , R()= ， 因此， 随机相位余弦波是各态历经的。 a)(R 1.3 高斯随机过程高斯随机过程 1.3.1 定义定义 高斯随机过程又称正态随机过程，在通信信道中的噪声 通常是一种高斯过程。 若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布， 则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函 数表示如下： fn(x1,x2,x

14、n; t1,t2,tn) 2 1 21 2 1 .)2( 1 B n )( 2 1 exp. 11 k kk j kj n k jk n j ax ax B B 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协 方差矩阵的行列式，即 B b12 b1n B21 1 b2n Bn1 bn2 1 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协 方差函数，且 为简化分析，我们只研究一维概率密度函数 图2-3 正态分布的概率密度函数 f (x) 1 2 O ax ) 2 )( exp( 2 1 )( 2 2 ax xf 若随机变量的概率密度函数满足 称随机变量是

15、服从正态分布的随机变量 特性： (1) a为(t)的数学期望，即样值的均值，样值为a时，发生的概率 最大；2为方差 (2) f(x)对称于x=a这条直线。 (3) (4) a为分布中心，a不同时曲线左右平移； 当a固定,f(x) 将随着的减 小而变高和变窄。 (因为2方差表示样值与均值a的偏离程度， 2小则偏离小，样值靠近a 的概率越大） (5) 当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 2 1 )()( a a dxxfdxxf 1)( dxxf 且有 (6) 当我们需要在某个范围内的概率P时，还要用到正态 分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分。 ),( ),( 111

16、1 111 txf x txF 一维分布 函数 一维概率 密度函数 dz az xpxF x 2 )( exp 2 1 )()( 2 2 = 时当ax ax erf ), 2 ( 2 1 2 1 时当ax ax erfc ), 2 ( 2 1 1 Erf:误差函 数 Erfc:互补 误差函数 高斯过 程的正 态分布 函数 1.3.3 高斯白噪声高斯白噪声 白噪声：功率谱密度均匀分布在整个频率范围内的噪声 P()= (双边噪声功率谱密度) n0为一常数，单边噪声功率谱密度，单位是瓦/赫。 将P()进行傅立叶反变换，得到： 2 0 n R()= )( 2 0 n 白噪声只有在=0时才相关，而它在任

17、意两个时刻 上的随机变量都是互不相关的 带限白噪声的功率谱和自相关函数 fO Po() O Ro() fHf H n0 2 K0 2 1 2fH 1 2fH K0n0 fH 2 带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变 量才互不相关。因为R()=0。 后面讲到抽样定理就是利用这一点，选择合适的抽样抽 样时刻，使各个抽样值互不相关。 如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 白噪声：功率谱密度是均匀分布 高斯分布：概率密度符合高斯分布 实际上理想化的白噪声是不存在的。但是，如果噪声的功率 谱均匀分布的范围远远大于工作频带，我们就可以把近似看 为白噪声。 1

18、.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 Vo(t)=Vi(t)*h(t)= dthvi)()( 信号通过线性系统的模型： H()Vi()Vo() Vo()=H()Vi() 线性系统 响应 输入 信号 卷 积 系统单位 冲激响应 o(t)=dth i )()( 0 我们研究随机过程通过线性系统，就是把输入信号Vi(t) 换成i(t)，输出信号Vo(t)换成o(t)。 假设输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析o(t)的统计特 性 1. 数学期望 Eo(t)=aH(0) 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函 数H(0)的乘积，且与t无关。 自相关函数 若线性系统的输入过程是

19、平稳的，那么输出过程也是平 稳的。 3. o(t)的功率谱密度 系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率 传输函数|H()|2的乘积。可以用来方便地计算输出过程的自相 关函数（反变换）。 当k0=0时，R0(0)=n0fH=n0B 带限噪声的平均功率 )()()(),( 1010110 o RttEttR )()()()()( 2 * wpwHwPwHwH ii Po()= 4. 输出过程o(t)的概率分布 高斯过程线性变换后的过程仍然是高斯过程。 带限白噪声的功率谱和自相关函数 fO Po() O Ro() fHf H n0 2 K0 2 1 2fH 1 2fH K0n0 fH

20、2 带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变 量才互不相关。因为R()=0。 后面讲到抽样定理就是利用这一点，选择合适的抽样抽 样时刻，使各个抽样值互不相关。 1.5 窄带随机过程窄带随机过程 窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的 系统。 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统 的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的， 则称它们为窄带随机过程。 窄带过程的频谱和波形示意 fcO S( f ) ff fc f (a) t O S( f ) 缓慢变化的包络a(t) 频率近似为 fc (b) 窄带随机过程(t)表达式: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 =c(t)cosct-s(t)sinct 其中c(t)=a(t)cos(t) s(t)=a(t) sin(t) 式中, a(t)