二面角的平面角探求[学练结合]

1、二面角的平面角探求贵州省晴隆民族中学 刘玉峰二面角是空间几何中的一个重要概念，是空间图形的一个突出的量化指标，也是空间图形位置关系的具体体现，它以高频率的姿态出现在历届高考试题中。高三同学在复习二面角时，往往对于二面角的平面角感到茫然，二面角的平面角的作法是空间几何的难点之一，如何在变化多样的题型中抓住问题的实质呢？笔者将在教学中对二面角的思想方法总结如下，以供读者参考。二面角可以看作一个半平面绕其边界（直线）旋转而成的图形，其大小是二面角的平面角这一概念，主要从二个方面来理解：（1）角的顶点在棱形上，（2）角的两边分别在两个半平面上，（3）角的两边要与棱垂直，根据研究的需要，其取值范围为。二

2、面角的平面角的作法及求法：1、定义法：在二面角棱上取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角便是二面角的平面角。2、垂面法：作二面角棱的垂面，垂面与两半平面的两条交线所成的角即为二面角的平面角。3、利用三垂线定理（或逆定理）：在二面角的一个半平面内取异于棱的一点，过该点向棱和另一半平面引垂线，连接两个垂足，作出二面角的平面角，当涉及的问题中有二面角的一半平面的垂线（或需要作出此垂线）常用此方法。4、特殊图形作法：如将菱形沿对角线折成二面角后，根据菱形的对角线互相垂直平分，以及折前折后的不变性，易作出二面角的平面角。5、公式法：（1）利用公式，其中为相应二面角的平面角，为锐角，为

3、一半平面内的平面图形面积，为该平面图形在另一半平面上的射影图形面积。（2）利用公式，其中为侧面与底面所成角。（3）利用公式，其中为侧面与下底面所成的角。（4）利用异面直线上两点的距离公式，在两个半平面内分别作出垂直于棱的两异面直线，则这两异面直线所成角（或其补角）即为所求二面角的平面角。（5）利用公式，其中为二面角的平面角，为直线到的角，。（6）利用公式，其中为二面角的平面角，为在内且是的一斜线与的所成角，为该斜线与棱的所成角。（7）利用公式，其中为二面角的平面角或补角，、分别为、的法向量，多面体中“无棱”二面角的平面角求解常用此法。例1：已知射线每两条的夹角为60，求二面角的平面角。分析：由

4、课本习题结论可知在面内的射影为的角平分线，如图，由知，。设二面角的平面角为，则，。例2：已知为锐角二面角内一点，于，于，于，且，求二面角的平面角。分析：如图所示，依题意易证四点共面且为四边形的外接圆直径，由正弦定理知，由题意可证为二面角的平面角，其大小与到角相等，即所求二面角为。例3：在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，分别为的中点，求平面与平面所成的二面角的大小。分析1：如图取的中点为，连接，易证两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，。设为平面的一个法向量，则即，取，则，又为平面的一个法向量，。故所求二面角的大小为或。分析2：取的中点为，的中点为，易证为在面内的射影。由分析1可知：，设所求二面角的大小为（为锐角）或，则故所求二面角的大小为或。不同的题目解决问题的方法策略不尽相同，有时需要较强的技巧性，若是能结合以上诸方法，在解决问题时就会显得比