杨辉三角综合测试题(含答案)

1、杨辉三角综合测试题 (含答案 ) 选修 2-31.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 一、选择题 1. 1 + (1+x)+(1 + x)2 +(1+x)n的展开式的各项系数之和为() A2n1B2n1 C. 2n+11D. 2n 答案C 解析解法一：令x= 1得，1+2 + 22+2n =1 X (2+ 1 1)2 1 = 2n+ 1 1. 解法二：令n=1,知各项系数和为3,排除A、B、D,选C. 2. (x y)7 的展开式中，系数绝对值最大的是 () A.第4项B.第4、5两项 C.第5项D.第3、4两项 答案B 解析(x y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n+ 1项，中间一 项

2、的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n+ 1项，中间两项的 二项式系数最大,而 (xy)7 的展开式中,系数绝对值最大的是中间两 项,即第 4、 5 两项. 3. 若x3+ 1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于() A. 210B. 120 C. 461D. 416 答案A 解析由已知得，第6项应为中间项，则n= 10. Tr+ 1 = Cr10?(x3)10- r?1x2r= Cr10?x30- 5r. 令 30- 5r= 0,得 r= 6.二 T7= C610= 210. 4. (2008?安徽？6)设(1 + x)8 = a0+ a1x + a8x8,则 a0, al

3、,，a8 中奇数的个数为 () A. 2B. 3 C. 4D. 5 答案A 解析t a0= a8= C08= 1, a1 = a7= C18= 8, a2= a6= C28= 28, a3= a5 =C38= 56, a4= C48= 70,二奇数的个数是 2,故选A. 5. 设 n 为自然数，贝卩 C0n2n C1n2n1 + ( 1)kCkn2n k+ ( 1)nCnn= () A. 2nB. 0 C. 1D. 1 答案D 解析原式=(2 1)n=1,故选D. 6. 设 A=37+C27?35+C47?33+C67?3, B=C17?36+C37?34+C57?32 +1,则 AB=()

4、A. 128B. 129 C. 47D. 0 答案A 解析A- B= 37 C1736+ C273A C3734+ 1 = (3 1)7= 128. 7. X2 + 2x8的展开式中x4项的系数是() A16B70 C560D1120 答案D 解析考查二项式定理的展开式 设第 r + 1 项含有 x4,则 Tr+ 1= Cr8(x2)8-r(2x 1)r = Cr8?2r?x16 3r， 16 3r = 4, 即卩 r = 4,所以 x4 项的系数为 C4824= 1120. 8. (2010?广东惠州)已知等差数列an的通项公式为an= 3n 5,则(1 + x)5 + (1+ x)6 +

5、(1 + x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的() A.第9项B.第10项 C.第19项D.第20项 答案D 解析v (1 + x)5 + (1 + x)6 + (1 + x)7展开式中含x4项的系数是C45?11+ C46?12+ C47?1A 5+ 15 + 35= 55,二由 3n 5= 55 得 n = 20,故选 D. 9. 若 n 为正奇数，贝卩 7n + C1n?7n 1 + C2n?7n 2+Cn1n?7被 9 除所得的余数是 () A. 0B. 2 C. 7D. 8 答案C 解析原式=(7 + 1)n Cnn= 8n 1 = (9 1)n 1 = 9n C1n?9n 1

6、+ C2n?9n 2+ Cn1n?9( 1)n 1+ ( 1)n 1, n 为正奇数，(1)n 1 = 2= 9+乙则余数为7. 10(2010?江西理， 6)(2x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为 () A 1B 0 C1D2 答案B 解析(2 x)8 的通项式为 Tr+ 1 = Cr828 r( x)r= ( 1)r?28 rCr8xr2, 则x4项的系数为1,展开式中所有项的系数之和为(2 1)8= 1,故不含 x4 项的系数之和为 0，故选 B. 二、填空题 11 . 若(1 2x)2011 = a0 + a1x + a2x2 + + a2010 x2010 + a2011x2

7、011(x R),则(aO+ a1) + (aO+ a2) + (aO+ a3) +(aO+ a2010) + (a0+ a2011)= .(用数字作答 ) 答案2009 解析令 x= 0,则 a0= 1. 令 x= 1,贝S a0+a1 + a2+ a2010 + a2011 = (1 2)2011 = 1. (a 0+ a1) + (a0+ a2)+ (a0+ a3)+ + (a0+ a2010) + (a0+ a2011) =2010a 0+(a0+ a1 + a2+ a3+ a2011) = 2010 1 = 2009. 12. (2008?北京？11)若x2+ 1x3n展开式的各项系

8、数之和为 32,则n = ，其展开式中的常数项为 (用数字作答 ) 答案510 解析令 x= 1,得 2n = 32,得 n = 5,贝S Tr+ 1= Cr5?(x2)5 r?1x3r= Cr5?x10-5r，令 10 5r = 0, r = 2.故常数项为 T3= 10. 13. (2010?全国H理，14)若 x ax9的展开式中x3的系数是一84,则a 答案1 解析 由 Tr+ 1 = Cr9x9 r axr= ( a)rCr9x9 2r 得 9 2r= 3,得 r = 3, x3 的系数为(一a)3C39= 84, 解得 a= 1. 14. 将杨辉三角中的奇数换成1 ,偶数换成 0,

9、得到如图所示的 01 三角数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次 全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 . 答案2n 132 解析用不完全归纳法,猜想得出. 三、解答题 15 .设(3x 1)8= a8x8 + a7x7 + a1x + a0.求： (1) a8+ a7+ + a1 ； (2) a8+ a6+ a4+ a2+ a0. 解析令x= 0,得a0= 1. (1) 令x= 1得 (3 1)8= a8+a7+a1 + a0, a8+ a7+ a2+ a1 = 28 a0=256- 1 = 255. (2)

10、 令 x= 1 得 (31)8= a8 a7+ a6a1 + a0. + 得 28+ 48= 2(a8+ a6+ a4+ a2+ a0)， a8 + a6 + a4 + a2 + a0 = 12(28 + 48)= 32896. 16. 设(1 2x)2010= a0+ a1x + a2x2 + a2010 x2010(x R). (1) 求 a0+a1+a2+ a2010的值. (2) 求 a1 + a3 + a5+ a2009 的值. (3) 求|a0| + |a1| + |a2| + |a2010| 的值. 分析分析题意t令x= 1求(1)式的值f 令x= 1求(2)式的值f令x= 1求

11、(3)式的值 解析(1)令x= 1,得： a0+ a1 + a2+ + a2010= ( 1)2010= 1 (2)令 x= 1,得：a0 a1 + a2+ a2010= 32010 与 式联立, 得： 2(a1 + a3+ a2009)= 1 32010, 二 a1 + a3 + a5+ + a2009= 1 320102. (3) v Tr+ 1 = Cr2010?12010- r?( 2x)r =(1)r?Cr2010?(2x)r, a2k 10(k N*). + |a1| + |a2| + |a 3| + |a2010| =a0 al + a2 a3+ + a2010, 所以令 x=

12、1 得：a0 a1 + a2 a3+ a2010= 32010. 17. 证明：(C0 n)2+ (C1 n)2+ (C2 n) 2+ (Cnn)2=Cn2n. 证明丁 (1 + x)n(1 + x)n= (1 + x)2n, (CO n+ C1nx+ C2nx2+ + Cnnxn )?(COr+ C1nx+ C2nx2+ + Cnnxn)= (1 + x)2n, 而Cn2n是(1 + x)2n的展开式中xn的系数， 由多项式的恒等定理得 COnCnr+C1nCr 1n + + Cnn COn= Cn2n. t Cmn= Cn mn (Ow me n) (C On )2+ (C1 n)2+ (

13、C2 n)2+ (Cnn)2=Cn2n. 18. 求(1+ x 2x2)5展开式中含x4的项. 分析由题目可获取以下主要信息： n=5;三项的和与差. 解答本题可把三项看成两项,利用通项公式求解,也可先分解因式, 根据多项式相乘的法则,由组合数的定义求解 解析方法一：(1+ x 2x2)5= 1 + (x 2x2)5, 则 Tr+ 1 = Cr5?(x 2x2)r?(x 2x2)r 展开式中第 k+ 1 项为 Tk+ 1 = Ckrxr k?( 2x2)k= (- 2)k?Ckr?x k. 令 r + k= 4,贝卩 k=4 r. TOWkr,0 r且5k、r N, /. r = 2k= 2 或 r = 3k= 1 或 r= 4k= 0. 展开式中含 x