二项式定理(通项公式)

1、精品文档-11 -欢迎下载六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1.整数指数哥的概念.ana a a a(n n*)n个aa0 1(a0)2 .运算性质：am an am n(m,n z) , (am)nn 1a n(a 0,nn*).anamn(m,n z), (ab)n an bn(n z)3 .注意am an可看作am a n二 aa =anga,nn n a n n n a(一)可看作 a b (-) =a b = bbbm4、a nn/tm (a0,mncn*,且 n1) .例题：一213例 1 求值：83,100 2,(1) 3,() 4.481例2用分数指数哥的形式表示下列各式：

2、1) a2 x/a, a3 ；a27aja (式中a0)2) va v,a 3) 4aava例3计算下列各式（式中字母都是正数）2111(2a%，)( 6a，b3)1513(3a为2 (2)(mr?)8.2例 4 计算下列各式：(1) 一a(a 0)； (2)(v25 125) 45a3a211111133x2 x 2 ,(2)x2 x 2例 5 化简：（x， y2） （x4 y）例6已知x+x-1 =3，求下列各式的值:二、二项式知识回顾1.二项式定理（a b）n c；an c：an 1b1 l c：an kbk l cnbn,k n k. ktk 1 cna b叫做二项展开式的通项k以上展

3、开式共n+1项，其中cn叫做二项式系数,（请同学完成下列二项展开式）(a b)nc；anc：an 1b1 l% k n k k(1) cna b(1)nc：bn, tk 1k i n k k(1) cna b(1 x)nc0 c：xlc：xkcnxn(2x 1)nc0(2x)nc；(2x)nk n kcn (2x)c； 1(2 x) 1nanxann 1.1x lan kxn kl a1xa0cn2n ,即二项式系数和等于2n ； 式中分别令x=1和x=-1 ,则可以得到c0c； l偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即c；c；lc； c3 l2n 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项

4、系数和.2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即cm c； m.k(2)二项式系数cn增减性与最大值：n 1 n 1当k 时，二项式系数是递增的；当 k 时，二项式系数是递减的22当n是偶数时，中间一项nn 1 n 1cn2取得最大值.当n是奇数时，中间两项 cr7和cn相等，且同时取得最大值3.二项展开式的系数ao,a1,a2,a3,，an的性质：f( x)=ao+ax+a2x2+a3x3+anxn(1) 30+31+82+33+an=f(1) ao- 31+32- a3+(-1)n&=f(-1) ao+32+34+36 .=ff(1)(4) 31+33+3

5、5+37-= f(1) f( 1)22三、经典例题1、(3 b)n展开式例1.求(3人 _)4的展开式；一 x解：原式=(得)4=_(3=*0肉)4 ck3 c：(3x)2 ck3x) c；【练习1】求(入反2.求展开式中的项212181x84x 54x x;)4的展开式x例2.已知在(双-1=)n的展开式中，第23 x6项为常数项.(1) 求n； (2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项n r / rr1 r t解：(1)通项为 tr 1 cnx 3 ( 1) x 3 (n 2r一 .， 一.，一., , n 2r 一因为第6项为常数项，所以r=5时，有nj 二0，即n=10.

6、(2)令10 2r =2,得 2所以所求的系数为 c20( 1)2 丝324,10 2r(3)根据通项公式，由题意 z30 r 10,r z992,求(2 x 1)2n的展开x式中：(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项(先看例9).解：由题意知，22n 2n 992,所以2 n 32,解得n=5.(1)(1)由二项式系数性质,(2)x设第r 1项的系数的绝对值最大，110,，一(2x )的展开式中第6项的二项式系数最大.丁6_ 55g0(2x)(1 5-)8064 .xqtr 1c；010 r 1 rr 10 r _ r 10(2x)( -)( 1) 2cixx2rr q10

7、rc102r q10 rc102c r 。八 r 111 r c10 2c10r 1 q9c10 211 r2(r 1)2r11qr z, r3 ,故系数的绝对值最大的项是第104 项，t4八 3 c74c10 2 x415360x .人 10 2r3k令 k(k z),则r 5 故k可以取2,0, 2,即r可以取2, 5,8.32所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为 c1o( 1)2x2 c10( 1)5 c18)(-)22 2【练习2】若(41旷展开式中前三项系数成等差数列.求：24 x(1)展开式中含x的一次哥的项；(2)展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知

8、 即 x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x 1)n的展开式的二项式系数和大2*10： 1.练习3已知(jx )n(n n )的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 x3(1)求展开式中含x2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项4、求两个二项式乘积的展开式指定哥的系数例4. (x2 1)(x 2)7的展开式中，x3项的系数是解：在展开式中，x33的来源有:第一个因式中取出,则第二个因式必出x,其系数为c7( 2)6 ；第一个因式中取出1,则第二个因式中必出x3,其系数为4c7(2)43x3的系数应为:6c7(2)6 c7( 2)4 1008,填 1008。5、求可化为

9、二项式的三项展开式中指定哥的系数例5 (04安徽改编)(x 12)3的展开式中，常数项是2.解：(x2)333xj)-,该式展开后常数项只有一项 x3x3( 1)3c6 3,即 20x6、求中间项13vx)10的展开式的中间项;解：tr1 cx-.x)1。5（二）r,展开式的中间项为 c5（5（2）5即：252xk3 xc1。3 x当n为奇数时,(ab）n的展开式的中间项是c当n为偶数时,(ab）n的展开式的中间项是c7、有理项例 7 (., x1lx)10的展开式中有理项共有项;解：tr。（钟）（我）c。，1）10 4r r x =当r 。,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项

10、有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项(1)特殊的系数最大或最小问题（00上海）在二项式（x 1）11的展开式中，系数最小的项的系数是解:r 11 rrtr1cd (。要使项的系数最小，则 rr必为奇数，且使 c11为最大，由此得r 5,从而可知最小项的系数5c.( 1)5462（2） 一般的系数最大或最小问题一 1。例9求（jx il） 8展开式中系数最大的项;2： x解得解：记第r项系数为tr ,设第k项系数最大，则有k 1c8 kc8.2k1.2k

11、2c8 .2kc8.2即8(k 1)!.(9 k)!8!8! 2(k 2)!.(10 k)!tktk1k(k 1)!.(9 k)!8!k!l(8kj!tk 1tk 121 k 221k k又trc81.2 r 1,那么有(3)系数最大的项为第3项t37x2和第4项t41x。系数绝对值最大的项例10在（x y）7的展开式中，系数绝对值最大项是解：求系数绝对最大问题都可以将（a b）n型转化为（a b）n型来处理,故此答案为第4项c；x3y4,和第5 项 c：x2y5。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11.若(2x.3)4a。a1x a2x3a3xa4x4 ,则(a。

12、a2a,)2as)2的值为解： （2x43) 4 a。2axa?x3a3x4adx令 x 1 ,有(2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4-33)(% a2a)a3)故原式=(a0 a1 a2 a3 a4).(a0 a2a4)a3)=(2,3)4.( 2-44,3) =( 1)【练习1】若(1 2x)2004 a ax2a2x2004x2004,则 aj(aa2) (aa2004 )解： (12x)2004aaxa2*22004x2004,令 x 1 ,有(120042)a0a1a2a20041令x 0,有 (1 0) 2004a0故原式二(a。a1a2a 2004 )2003a0=1200

13、3 2004【练习2】设(2x 1)6a6x65 axaj a ,a6r -6 rc6(2x) (1)r同 |a2a6aa1a2a3a4aa6(a a2 a4a6) (ai a3 a) =110利用二项式定理求近似值例15.求0.9986的近似值，使误差小于 0.001 ;分析：因为0.9986=(1 0.002)6,故可以用二项式定理展开计算。解：0.9986=(1 0.002)6 = 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6t3 c6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于 0.001 , 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。0.9986 = (1 0.002)6 1 6 ( 0.002) = 1 0.01 2 0.988-12 cn小结：由(1 x) 1 cnx cnx . cnx，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x , x ,.x等项的绝对值都很小，因此