在积分运算教学中重视思维训练

1、在积分运算教学中重视思维训练数学不仅具有应用价值 , 还具有人文价值。熟练掌握不定积 分运算是定积分运算以及解微分方程的基础。 不定积分运算的灵 活度大、技巧性高 , 掌握求积方法不仅是从事科学活动的需要 , 还有利于发展思维能力。因此 , 在积分运算教学中加强思维训练 尤为必要。一、向学生阐明积分运算的思维特点 由于积分运算是以微分运算的逆运算来定义的 , 并没有指出 完成运算的步骤过程 ,这种“非构造性”的特征 , 使得求原函数 远比求导函数困难 , 求导函数只要机械地反复运用导数的四则运 算以及复合函数的求导法则 , 而求原函数则没有统一的、确定的 运算方式。解一道积分题 ,除需要进行逻

2、辑思考外 , 还要依赖于个 体的直觉思维能力。关于互逆运算 , 教师应注意给学生总结出一定的规律性。数 学中的运算往往成对出现 ,例如, 加法与减法、 乘法与除法、 乘方 与开方、 三角函数与反三角函数以及指数函数与对数函数等。 作 为逆运算的减法、除法、开方、反三角函数以及对数函数等总要 比相应的正运算复杂一些 , 而处理逆运算又总是依赖于相应的正 向运算。例如 ,小学生做除法 ,是要背着乘法口诀去“凑”的 , 因 此做除法就比做乘法麻烦。另外 , 逆运算的结果有时会失去单值 性。例如 , “22=4”,但把 4开平方可得到 2。微积分运算也是 如此。求原函数必须倒回去套用求导公式 ; 另外

3、, 微分运算的结果 是一个函数 , 而积分运算却得到一族函数。因此积分运算就显得 复杂得多。在教学中要向学生指出 , 熟练求导运算是顺利进行积分运算 的必要前提 , 同时还要提醒学生适当复习三角函数的有关公式。二、给学生讲清直接积分法的变形技巧欲求一个不定积分 , 总是先看能不能直接应用积分基本公式 能不能分项积分。以上方法 , 课本里统称为直接积分法。由于有 时积分时先要对被积函数进行恒等变形 , 所以直接积分法也并不 “直接” ,往往需要一定的变形技巧 , 要求能灵活应用一些代数、 三角公式。为了使学生掌握变形技巧 ,教师应该选择典型例题。 一方面 , 讲清变形的目的 , 使被积函数变成可

4、直接应用积分基本公式的形 式或可分项积分的形式 ;另一方面 ,注意给学生归纳方法 ,突出变 形技巧 , 使学生触类旁通。除课本中的例题外 ,还可安排一些典型的口答题 , 要求学生 能说出变形的第一步应怎么办。例如 :(1) dx(=dx)(2) dx(=dx)(3) dx(=(+2)dx)(4) tg2xdx(=sec2x-1)dx)(5) dx(dx)实践证明 , 这方面的训练是必要的 , 是使学生逐步掌握积分 技巧的第一步。三、教会学生掌握换元的技巧 直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的 , 但有些不定 积分经过适当的转化后 , 就能引用积分基本公式。转化有两个基 本方法 换元积分法与

5、分部积分法。大家知道，复合函数的求 导法则是“微分学”中最重要、最基本、最常用的求导法 , 而换 元积分法则是由复合函数求导法则逆推而得的 , 因此也是“积分 学”中最重要、最基本、最常用的方法之一。换元法是教学中的 重点 , 也是难点。利用换元法积分 , 需要一定技巧。 为了引导学生掌握换元法 , 教师一方面要讲清换元的实质 , 指出变量代换是数学中常用的思 想和方法 , 从而引起学生重视。例如 , 解分式方程、无理方程、特 殊的高次方程以及计算极限时往往要作变量代换 ; 复合函数求导 法则引进中间变量也就是作变量代换 ; 换元积分法的关键也同样 是作变量代换。 三国时代 , 曹冲称象的办法

6、其实质就是代换 , 它是 用石堆来代替大象。变量代换的实质是对应 , 通过对应把不便研 究的集合上的问题转化到便于研究的集合上去。 另一方面还要选 择典型的例题 , 为学生归纳换元技巧。为了让学生有一个较完整 的印象 , 可罗列一些常见的代换形式。例如 :(1) f(ex)?exdx=f(ex)dex(2) f(lnx)?=f(lnx)d(lnx)(3) dx=f(tgx)d(tgx)(4) dx=f(arcsinx)d(arcsinx)(5) f()?=-f()d()(6) f()=2f()d()在此基础上再安排一些口答题 , 要求学生能说出怎样用换元 法积分。这样对于学生掌握换元技巧是非常

7、有效的。四、引导学生归纳积分技巧 , 进一步发展能力 因为不定积分本身灵活度大 , 同一问题常有多种解法。若能 注意技巧 , 就能提高功效。所谓“技巧”是指对被积函数进行适 当变形 , 使其能利用直接积分法、换元积分法或分部积分法来解 决。因此,为了有目的地变形 ,除了能灵活应用代数、 三角公式外 , 还必须熟悉积分基本公式、换元积分法及分部积方法的常见形 式。为了使学生进一步掌握积分技巧 , 教师可安排一次习题课 , 选择一些典型的课堂作业 ,在学生自己练习的基础上 , 师生共同 归纳总结。例如 :(1) dx=dx=(2) =-xd()=-+(3) dx=(4) sec4xdx=(tg2x+1)d(tgx)(5) =(6) xdx=-(2-x-2)dx=-(2-x)dx+2(2-x)dx(7) =dx=dx-(8) dx=dx-dx由于计算机