高等数学上册映射与函数

1、第一章 分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数 元素 a 属于集合 m , 记作 元素 a 不属于集合 m , 记作 一、一、 集合集合 1. 定义及表示法定义及表示法 定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合. 组成集合的事物称为元素元素. 不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . ma( 或ma) . .ma 注注: m 为数集 * m表示 m 中排除 0 的集 ; m 表示 m 中排除 0 与负数的集

2、. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例例: 有限集合 n aaaa, 21 n ii a 1 自然数集,2,1,0nnn (2) 描述法： xm x 所具有的特征 例例: 整数集合 zx nx 或 nx 有理数集 q p q ,n,z qp p 与 q 互质 实数集合 rx x 为有理数或无理数 开区间 ),(xbabxa 闭区间 ,xba bxa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( aa ),(uxa ),xbabxa ,(xbabxa 无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xrx 点的 邻域邻域 a ),

3、(xaaxa xax ax0 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 半开区间 去心 邻域邻域 左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 : . ),(aa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 b 的子集子集 , 或称 b 包含 a , 2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算 定义定义2 .则称 a .ba 若ba,ab 且则称 a 与 b 相等相等,.ba 例如 , zn q z rq 显然有下列关系 : ;) 1 (aa;aa ba)2(cb 且ca , , a 若ax,bx设有集合,ba 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ac a b b 定

4、义定义 3 . 给定两个集合 a, b, 并集 xbaax 交集 xbaaxbx且 差集 xba axbx且 定义下列运算: a b ba 余集 )(abbab c a 其中 直积 ),(yxba,axby 特例: rr 记 2 r 为平面上的全体点集 a ba b ba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 bx或 二、二、 映射映射 1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 引例引例2. xxysin

5、rxry 引例引例3. ox y 1 q p 1),( 22 yxyxc 11), 0(yyy (点集) (点集) cp点 向 y 轴投影 yq投影点 xysin xy o x y 1 x 2 x xxysin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 x , y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得,xx有唯一确定的yy与之对应 , 则 称 f 为从 x 到 y 的映射映射, 记作.:yxf 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 . 集合 x 称为映射 f 的定义域定义域 ; y 的

6、子集)(xfxxxf)(称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . xyf x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 yxf: 若yxf)(, 则称 f 为满射满射; x y f )(xf 若, 2121 xxxxx有 )()( 21 xfxf 则称 f 为单射单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. x y )(xf f 引例引例2, 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2 引例引例2 例例1.三角形)(三角形集合

7、 海伦公式 b c a s面积),0( 例例2. 如图所示, s x y o x ey x ),0 x 对应阴影部分的面积),0s 则在数集 ),0 自身之间定义了一种映射(满射满射) 例例3. 如图所示, x y o ),(yx r cosrx sinry 2 r),(yx f )2,0),0),(r :f 则有 (满射满射) (满射满射) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x (数集 或点集 ) 说明说明: 在不同数学分支中有不同的惯用 x ( ) y (数集) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为x 上的泛函 x ( ) x f f 称为x 上的变换 r f f 称为定义在

8、 x 上的为函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射)(:dfdf为单射, 则存在一新映射 ,)(: 1 ddff 使 习惯上 ,dxxfy, )( 的逆映射记成 )(,)( 1 dfxxfy 例如, 映射, 0,(, 2 xxy其逆映射为 ,xy),0 x )(df d f 1 f ,)(, )( 1 xyfdfy 其中 ,)(yxf 称此映射 1 f为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 d f g 手电筒 d d 2 d 2 d 引例

9、. 复合映射 定义. dx g )()(dgxgu 1 du f )(ufy 则当 1 )(ddg 由上述映射链可定义由 d 到 y 的复 , )(xgfy .),(dxxgf 设有映射链 记作 )( 1 dfy 合映射 , 时, 或 )( 1 dfy )(ufy )(xgf 1 d d x )(xgu g f gf )(dg 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1 )(ddg不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. 定义域 三、函数三、函数 1. 函数的概念函数的概念 定义定义4. 设数集,rd则称映射r:df为定义在 d 上的函数 , 记为 dxxfy, )

10、( f ( d ) 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxc dx, )(xfy x y ) ,(bad abx y )(dfd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量 因变量 dx f dxxfyydfy),()( (对应规则)(值域)(定义域) 例如, 反正弦主值xxfyarcsin)( , 1, 1d,)( 22 df 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 定义域值域 x y o xy xxf)(又如, 绝对值函数 0,xx 0,xx 定义域rd 值 域 ),0)(df 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例

11、例4. 已知函数 1,1 10,2 )( xx xx xfy 求 )( 2 1 f及, )( 1 t f 解解: 2 1 2 1 2)(f2 )( 1 t f 10t, 1 1 t 1t, 2 t 时0t 函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 ),0d 值 域 ),0)(df 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性函数的几种特性 设函数, )(dxxfy且有区间.di (1) 有界性有界性 ,dx,0m使,)(mxf称 )(xf , ix,0m使,)(mxf称 )(xf 说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 p11 ) (2) 单调性单调性 为有界函数.

12、在 i 上有界. ,dx 使 若对任意正数 m , 均存在 ,)(mxf 则称 f ( x ) 无界无界. 称 为有上界有上界 称 为有下界有下界 ,)(,mxf ),(,xfm 当 , 21 ixx 21 xx 时, , )()( 21 xfxf若称 )(xf为 i 上的 , )()( 21 xfxf若称 )(xf为 i 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . x y 1 x 2 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y oxx (3) 奇偶性奇偶性 ,dx且有,dx 若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数; 若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)

13、(xf在 x = 0 有定义 , . 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时, 则当 必有 例如, 2 )( xx ee xfy xch 偶函数 x y o x e x e xych 双曲余弦 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o 又如, 2 )( xx ee xfy 奇函数 x e x e xysh xsh双曲正弦 记 再如, x x y ch sh xx xx ee ee 奇函数 o y x 1 1 xth双曲正切 记 xyth 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性周期性 ,0,ldx且 ,dlx )()(xflxf 则称)(xf为周期函数 , t o )(tf 2

14、 2 xo2 y 2 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 周期为 2 注注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数cxf)( 狄里克雷函数)(xf x 为有理数 x 为无理数 , 1 ,0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 若函数)(:dfdf为单射, 则存在逆映射 ddff )(: 1 习惯上, dxxfy, )(的反函数记成 )(,)( 1 dfxxfy 称此映射 1 f为 f 的反函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减) (减) . 1) yf (x) 单调递增,)

15、( 1 存在xfy 且也单调递增 性质: 2) 函数)(xfy 与其反函数 )( 1 xfy 的图形关于直线 xy 对称 . 例如 , ),(,xey x 对数函数),0(,lnxxy 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 . )(xfy )( 1 xfy xy ),(abq ),(bap x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数 (2) 复合函数 1 ),(duufy ,),(dxxgu 1 )(ddg且 则dxxgfy, )( 设有函数链 称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成

16、复合函数的条件 1 )(ddg不可少. 例如例如, 函数链 :,arcsinuy ,12 2 xu 函数 ,12arcsin 2 xydx,1 2 3 1, 2 3 但函数链 2 2,arcsinxuuy不能构成复合函数 . 可定义复合 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy 可定义复合函数: , 2 cot x y ,) 12( ,2(kkxzn 0 2 cot, 22 x k x k时 ),2, 1, 0(,cotkkvvu ),(, 2 x x v 4. 初等函数初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、

17、反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 2 xy y 0,xx 0,xx 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 ,称为初等函数 . 可表为故为初等函数. 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ( 自学, p17 p21 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例: 符号函数 xysgn 当 x 0,1 当 x = 0,0 当 x 0,1 x y o 1 1 取整函数 xy 当znnxn,1,n x y o 134212 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求y的反函数及其定义域. 解解:

18、01x当时, 2 xy 则1,0(,yyx 10 x 当 时, xyln 则0,(,yex y 21 x 当 时, 1 2 x ey 则2,2(,ln1 2 eyx y 反函数y1,0(,xx 0,(,xe x 2,2(,ln1 2 ex x 定义域为 2,2(1,(e 21,2 10 ,ln 01, 1 2 xe xx xx x 2 12 e2 1 y ox 1 , 1,0( , 0,( , 2,2(e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 集合及映射的概念 定义域 对应规律 3. 函数的特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构 作业 p21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20 2. 函数的定义及函数的二要素 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且 备用题备用题 0)0(f,)()( 1 x c x fbxfa ,ba 证明)(xf 证证: 令, 1 x t 则, 1 t x t ctfbfa t )()(1 由 x c x fbxfa)()( 1 xcxfbfa x )()( 1 消去),(1 x f得