平面向量的概念与线性运算

1、平面向量的概念及线性运算知识点：1 .向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量； 向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量a非零向量a的单位向量为|a|平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的 直线平行或重合，则称这两个向量平行 或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a + b = b + a结合律：(a + b

2、)+ c=a + (b + c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a b = a + ( b)数乘数入与向量a的积的运算（1）1也匸丨入；当0时，归的方向与a的方向相同；当0时， 的方向与a的方向相反；当 0 时， =0 =( )困；(2) ( - Qa= g；(3) a + b) = +3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数 人使得b 则向量b与非零向量a共线.选择题：给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a ,b都是单位向量，则a = b ;向量AB 与BA相等.则所有正确命题的序号是（）A. B.C.D.解析 根据零向量的定义可知 正确

3、；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定 相同，故两个单位向量不一定相等，故 错误；向量AB与BA互为相反向量，故 错误.已知下列各式：Ab + BC + CA:忑+ MIB + BO + OM :拆+ OB + BO + CO:忑一AC+ BD-CD，其中结果为零向量的个数为（）A1B2C3D4解析 由题知结果为零向量的是，故选 B.设ao为单位向量，若a为平面的某个向量，则a = |a|ao ；若a与ao平行，则a = |a|ao ；若a 与ao平行且|a|= 1，则a = ao.上述命题中，假命题的个数是（）AoB1C2D3解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao

4、的模相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若a 与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a = |a|ao，故也是假 命题综上所述，假命题的个数是 3.设ao， bo分别是与a，b同向的单位向量，贝U下列结论中正确的是（）B. ao bo= 1C. |ao| + |bo| = 2D . |ao + bo| = 2解析是单位向量，|ao| = 1，|bo|= 1设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是（）A. a与 也的方向相反B. a与*a的方向相同C. | ?a| |a| D. | ?a| |入a解析 对于A，当Ao时，a与2a的方向相同，当 衣0时，a与

5、 沦的方向相反，B正确；对于C， |一也| = | 2|a|，由于| 2的大小不确定，故| 21与|a|的大小关系不确定；对于 D， | 2a是向量， 而| 2a |表示长度，两者不能比较大小.设 a、b 是两个非零向量 ()A .若 |a + b| = |a| |b|，贝 U a 丄 bB.若 a 丄 b，则 |a + b|=|a| |b|C.若|a + b| = |a| |b|，则存在实数 入使得b =也D .若存在实数 入使得b = 2，则|a + b|=|a| |b| 解析 对于A，可得cosa，b= 1， a丄b不成立；对于B，满足a丄b时|a+ b| = |a| |b|不成立；对于

6、C,可得cosa , b= 1 ,成立，而D显然不一定成立.3131 131A. a + bB.a + 一 bC.a + _ b44D.a + 一 b44444如图，已知AB = a , AC = b , BD = 3DC，用a , b表示AD，则AD等于()解析 CB= AB AC= a b，又BD = 3DC , CD = CB = (a b)，44113=b + 4(ab)= 4a + 4b- AD = AC + CD如图，在正六边形 ABCDEF中，BA + CD + EF=()A. 0B.BEC.ADD.CF解析 由题图知 Ba+ Cd + Ef= Ba+Af+ Cb= Cb+ Bf

7、= Cf.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB = a，AC = b，则AD =1B.a b21C. a+_b21Da + b21 1解析连接CD , C, D是半圆弧的三等分点得CD ab且CD=AB寸AD = AC+CD=b已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , Cd = 3a + 3b，则()A.A,B, C三点共线B. A,B,D三点共线C.A,C, D三点共线D . B,C,D三点共线解析：t BD = BC+ CD = 2a + 6b = 2(a + 3b) = 2AB , / BD、AB共线，又公共点 B,二A、B、D点共线

8、设DABC所在平面一点，BC = 3CD，则（）14| 幵A.AD = 一 AB + 一 AC331 4B. AD =一 AB AC3341幵|C. AD =一 AB + 一 AC3341D.AD = AB _33ACTT1 4_解析 BC= 3Cd , AC AB = 3(AD AC)，即 4AC AB = 3AD ,二 AD = _AB + _AC.33设D , E, F分别为 ABC的三边BC, CA , AB的中点，贝U EB+ FC等于（）A.BC1 -B-AD2C.ADd.-BC2解析 EB+ FC= -(AB + CB) + -(AC + BC)J(AB+ AC) = AD在厶a

9、bc中，Ab = c, Ac = b，若点d满足Bd = 2dc，则ad等于（）1 2D. b +一 c332 15 221A.b + 一 cB.c 一 bC.b 一 c3 33 333解析 Bd = 2dC， Ad Ab = Bd = 2DC = 2(AC Ad)， 3AD = 2AC + AB,2 1 AD =_AC + _AB3 321=_ b + _ c.33设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面任意一点，则OA + OB +0C + 0D 等于()C. 30MD . 40MA.OMB. 20M, r 解析 0A + 0B+ 0C + 0D = (0A +

10、 0C) + (0B + 0D) = 20M + 20M = 40M已知点0, A，B不在同一条直线上，点 P为该平面上一点，且20P = 20A + BA，则（）A .点P在线段AB上B .点P在线段AB的反向延长线上C 点P在线段AB的延长线上D 点P不在直线AB上解析 20p = 20A + BA, 2Ap = Ba，点p在线段ab的反向延长线上，故选 B.在厶ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD = 2DB , CD = -建A + 2CB，贝U入等于（）321A.B-33C.解析1 2 AD = 2DB，即CD-CA = 2(CB-CD), CD=CA + CB,2 I A_.3在厶ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC = 3CD，点0在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO = xAB + (1 x)AC，则x的取值围是()111 1A. 0，B. 0，C. ，0D. ，02323解析设CO = yBC， AO = Ac + CO = Ac+ yBC = AC + y(AC AB) = yAB + (1 + y)AC. BC= 3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)， y 0，1，3T AO = xAB + (1 x)AC， x= y， x 已知a，b是不共线的两个向量,AB = xa + b，AC= a +