平面向量的概念及线性运算

1、平面向量的概念及线性运算基础梳理1向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于1个单位的向量.(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定:0与任一向量共线.(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律求两个向量和的运(1)交换律：da+ b= b+ a.加法算三角形法则(2)结合律：(a+ b) + c= a+a平行四边形法则(b+ c)求a与b的相反向减法量一b的和的运算7 a b= a+

2、 ( b)叫做a与b的差三角形法则3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 定义：实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作2a,它的长度与方向规定如下： “匸|桐； 当2 0时，2a与a的方向相同；当 X 0时，2a与a的方向相反；当 入=0时，2 = 0.(2) 运算律：设2卩是两个实数，则 2囘=(2)(a:(Ha=2+0: 2a+ b)=2+b4. 共线向量定理向量a（a 0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得b= a双基自测1. （固基升华）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“x”）（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量（）（2）若

3、 a / b, b II c，贝U a / c（ ）（3）a / b是a=入b（入 R）的充要条件（） 若0是厶ABC的重心，则 g OB OC= 0（）【解析】（1）中，“向量”和“有向线段”不同，向量只有两个要素：大小、方 向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.（1）不正确.（2）当b = 0, a与c 不一定平行，（2）错.（3）当 a 0， b= 0 时，a/ bD? /a=入 b，但 a=入 b? a I b， a/ b是a=入b（ X R）的必要不充分条件.（3）错误. 根据平行四边形法则， 正确.【答案】（1） x （2） x （3） x V2. 判断下列四个命题：若a/

4、b,则a= b；若|a|= |b|，贝U a= b；若|a匸|b|，则a/ b；若a= b,则 |a|= |b|.正确的个数是（）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析只有正确.答案A3. （人教a版教材习题改编）化简OP- QP Ma QM的结果为（）a.oMib.sMc.psd.oS8【解析】OP- QP 呛 QMk (SK pQ + (Qmp南=OU Qs= OS【答案】 d4. （2014 广州质检）设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使|a|b|成立的充分条件是（)A. a= bB.a / bC. a= 2bD.a / b 且 | a| = | b|【解析】ab|a|表示与a

5、同向的单位向量, |b|表示与b同向的单位向量，只要aa b与b同向，就有，观察选择项易知C满足题意.【答案】CI al 丨 b|5.（人教A版教材习题改编）D是厶ABC的边AB上的中点，贝U向量CD等于（）.A . 一 BC + iBAB. BC 2ba1 OC.BC 2BAD.BC + 1BA解析如图，cA4 D B1 OCD = CB+ BD = CB + qBA=-Bc+ 1BA.答案 a6、若O, E, F是不共线的任意二点，贝U以下各式中成立的是 ().A.EF = OF + OE B.EF = OF OEC.EF = -OF + OE D.EF= OF OE解析 ef=5+ oF

6、= ofoE.答案 b7、？如图，BED，E，F分别是 ABC的边AB，BC，CA的中点，贝U ().A.AD + BE+ CF = 0b.Bd CF + DF = 0C.AD + CE CF = 0d.Bd BE FC = 0解析 .AB+ BC+ CA= 0，/2Ad+ 2BE + 2CF = 0，即 AD + BE+ CF = 0.答案 A8 在厶 ABC 中，AB = c, AC= b,若点 D 满足 bD = 2DC，则 AD =3Ad=2AC + ABA 21A.|b+ |CB.fc |b2 1C.|b- |c1 2D.|b+ |c解析 -.BD = 2DC , /Ad AB =

7、2(AC AD),/Ad = |aC+3ab= |b+ 3c.答案 a9、（2013 广东高考）设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下 四个命题： 给定向量b，总存在向量c，使a= b+ c； 给定向量b和c，总存在实数入和卩，使a=入b+卩c； 给定单位向量b和正数卩，总存在单位向量c和实数入，使a=入b+卩c； 给定正数 入和卩，总存在单位向量b和单位向量c，使a=入b+卩c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】显然命题，是正确.对于，给定向量 b,则入b可以确定方向，不妨设如图所示，作AB丄入b,

8、B为垂足.当正数 卩v|AB = |a|sin a, b时， 不存在单位向量c,使a=入b+卩c,因此错.对于，根据向量的三角形法则， 必有 | 入 b| +1 卩 c| =入 + y|a|.若 入=卩=1, |a| 2 时，与 | a| = | b+ c| | b| + |c|= 2矛盾，则不正确.【答案】B10、（2011兰州模拟）已知a, b是不共线的向量，AB= 2a+ b, AC= a+ Q（人 氏R），那么A,B, C三点共线的充要条件是（)A .入+尸2B.入一尸1C.入话一1D.入尹1解析 由AB=也+ b, aC = a+ 2(人 凶R)及 A, B, C三点共线得：AB =

9、 t AC,社t,所以:a+ b= t(a+ Q) = ta +1 b,即可得S所以入尹1.故选D.答案 DJ=t ,11、设a与b是两个不共线向量，且向量 a+ 1b与2a b共线，则 Ak = 2k, 解析 由题意知：a+?b= k(2a b),则有：11=一 k,k71 1k=2，i= 2.答案 12如图4 1 1,在平行四边形ABCD中, E为DC边的中点，且AB- a, AD= b,则归图 4111 1 1 1【解析】归 BA+ AD+ 2血 a+ b+ 2a- b a.【答案】 bqa13、(2013 四川高考)在平行四边形ABC冲，对角线AC与BD交于点O, AB+ Adi aO

10、 贝 u i -.【解析】由向量加法的平行四边形法则，得 AB+ AD-AC又 0是 AC的中点， AC-2AO AC- 2AO AB+ AD 2A0又AB+ AD 1 AO, 1 2.【答案】214、设两个非零向量a与b不共线.(1) 若AB-a+ b, BC-2a + 8b, CD-3(a b).求证：A, B, D三点共线；(2) 试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.审题视点(1)先证明AB, BD共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定 理列出方程组求k.(1)证明/a+ b, BC = 2a+ 8b, CD= 3(a b).二 BD = BC+ CD = 2a + 8b+ 3(a b) = 5(a+ b) = 5AB. AB, BD共线，又它们有公共点， A, B, D三点共线.解 t