(完整word版)高数下期末考试及解答(8份)

1、课程名称高等数学试卷（I） 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 、填空（14分） 2 sin x x 0 1.设 f(x) x ,则 lim f(x) x 0 0, x 0 2 .曲线 y=x 3上切线斜率等于 3 的点是 3. y 2x2 Inx区间上单调减少。 1 4. lim (ctgx ) =。 X 0 x 1门 5. dx =。 Jx(1 x) 6.过点 A (2, -3, 4）且与y轴垂直相交的直线方程为 共2页，第1页 、完成下列各题（40 分） 1. lim() x 1 l n x x 1 2.已知： exy y l nx cos2x,求 dx

2、3.计算: 21dx x2 4x 29 4.计算: 2 (arcsinx) dx e|n 2x 5.计算： 1dx e x 三、求函数f（x）= x3x2x 1在-1 , 2上的最大值与最小值（8 分） 四、证明：当 x0 时，ln（1 x） arCtgx （8 分） 1 x 五、设f（x）在a, b上连续，证明: bb f (x)dx f (a b x)dx (8 分) aa 六、求曲线y In x当x在区间（2, 6）内的一条切线，使得该切线与y In x以及 x=2，x=6所围成的图形的面积最小。（8分） 七、求过点（-1，0，4）且平行于平面 3x-4y+z-10=0又与直线-相 1

3、1 2 交的直线方程。（8分） 八、 求抛物线y .等式两边对x求导 8x与其上点（2, 4）处的法线所围成图形的面积。并求该图形在 x轴上方部分绕y轴旋转后所得旋转体的体积。（6分） 课程名称高等数学试卷（I） 题号 -一- -二 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 九、填空（14分） 1. 0 2. (1 , +1), (-1, -1) (4 ) 共2页，第3页 4. 05. 2arctg、x+C 6. z 2x y 3 十、完成下列各题（40分） (2 ) 11x 1 ln x 1. lim () lim () x 1 ln x x 1 x 1 ln x(x 1) =lxm1 1 -

4、(x 1) x (2 ) ln x = lim x 1 x X 1 1 xln x lim x 11 1 In x x - x xy /、 e (y xy ) 1 y In x y x 2 sin 2x (3 ) 共2页，第5页 (3 ) / xy i 、-.-yxy y (xe In x)2 sin2xye x 2sin 2x yexy x 4. (arcsin x)2dx x(arcsin x)2 2xarcsin x dx (3 ) =x(arcsin x)2 arcs in x _1_ Jx2 d(1 2xsin 2x xy y xye (2 ) 2 xy x e x I n x 1

5、(5 ) 1 3 1 x 2 dx dx arctg 2 2 C x 4x 29 (x 2) 255 5 In x xexy 3. (2 ) =x(arcsin x)2 2 1 x2 arcs in x 2 x x2 dx (2 ) (1 ) e In x(3) e, (3) In3 x,e (2) 1 1 2 5.1 - 11n2 xd In x ie e x e 3 e 3 3 3 三、（8分） 令 f (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1) =x(arcsinx)22 1 x2 arcsinx 2x C (2 ) 得： X1 1 1 ,X2 3 1 1 32 1 1 , f(

6、) 1 3 27 9 3 27 (1 ) f(1)1 1110 (2 ) x(arcsin x)2 arcs in xd(2.1 x2) f( 1) 1 1 1 1 0, f(2) 842 1 3 （2） 取大值为 3， 最小值为0 四、（8分） 证明：令 f(x) ln(1 x) arCtgX （1） 1 x 1 x 1 2 arctgx f (x)- 1 1 x 2 1 x(1 x) (1 2 x X)2 arctgx = 1 x 2 （3） (1 x) x0 时, f (x) 0, x0 时, f（x）递增 （2） 又 f(0)=0. 当x0时, f(x)0 （1） arctgx 即 l

7、n(1 x) （1） 1 x 五、（8分） b b a f(a b x)dx a f (a b x)d (a b x) （2） 令 t=a+b-x， 则 x=a+b-t， 代入上式 （3） b b b b a f(a b x)dx a f(t)dt a f(t)dt a f(x)dx （3） 六、（8分） 设该切线的切点对应处，则 x Xo该切线为: y ln X。 1 (x X。 X。） （2） 则x=2时， 切线上 y1 ln 1 X0 (2 x) X0 x=6时，切线上y2 In X0 丄(6 X0) （2） X0 围成图形面积为： S丄 421n x0 1 丄(2 x) 2 X0 (2

8、 ) 16 c 4 16门 =4 ln x0 4,令 S 一 2 0 X0 Xo Xo 1 1 1 x 4,k ,该切线为： y In 4 (x 4) X。 4 4 七、（8分） 平面 3x-4y+z-10=0 的法矢量 n 3, 4,1 (2 ) (1 ) 设交点为（Xo,yo,zo）（即两直线交点） 1, yo,zo 4 3( xo 1) 4yo (Zo 4) oXo 15 则xo1 yo 3 Zo ，解得yo 19 （3） 2 2 2 Zo 32 则所求直线的方向矢量为 x0 所求直线的方向矢量为 16,19,28 x 1 所求直线为： y z 4 16 19 28 八、（6分） 2 在

9、y8x两边对x求导， 2yy 8,y 4 f .8x 当x=2时，y L 21，则法线的斜率为-1 (1) (2) 法线方程为：y=-1（x-2）+4=-x+6 与抛物线的另一个交点为：（18,-12） 所围成圆形如图，它的面积为 4 dy 12丿 (2) (1) S d D1 4 12(2 =2 16 d D2 2 V)dy 3 y_|4 1 12 24 2 ydx 8 18 dx 28x x 16 dy 18 2 ( 8x)dx 2 x 18 T|2 6x |? 3 2 .18 3 x 12 共2页，第7页 8 =32(72 3)(2162) 16 108 12 44 L 共2页，第9页

10、=40 8 160 96 144 =32( 2 ) 法线与x轴交于（6,0） V V1 V26x2dx 4 y2dy 122 08 3 3 x I6 y |4 = |2 b 3 24 8 64、 8 8、 =(72 )= (72 -) 3 24 3 3 200 (3 ) 3 课程名称高等数学试卷（山） 题号 -一- -二二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 、填空（14分） 1 2 1 1、若 f(x )= x +-y+3，则 f(x) xx 2、设 f(x) e2x1，则 f (x) =. sin 5x 3. Iim x sin 3x 4、设点（1, 3）为曲线 y ax3 bx2

11、的拐点，贝U a , b d 曲彳 2、10, -22; 3、 0； 4、 1 3 2，2，1 3 二、是非题（4分） 1、 X 三、计算下列各题（ .2 , 1 1、啊 =lim x 0 2、 18 分) 3、 4、X cosx .2 sin x 1 COSX x2C2 J cosx) (3 1 2 1-x 1 . 2 =lim2 22 x 0 x2 (3) 2、f(x) lim t x(1 f (x) (X 1) (3) 3、In y xln x In x 1 dy (Inx 1) (2 y dx xx (In x 1)dx (2 共2页，第43页 四、（8 分） limo f(X) x

12、0 0 lim0 f(x) x 0 0 f (x)在 x lim (bx x 0 0 lim a ln(x x 0 0 0连续(1 ) 2) 2(1) 1)a(1 ) (1 分) lim lim x 00 X 0 X 0 f (x) lim0 f(0) lim x 0 0X 0 x 0 f (x)在 X 0处可导(1) 五、(7分) 0 依题意, 0(bb(1) x 0 2 ln(X 1) 21(1) b 1(1) f(x)在Xi,X2, X2,X3上满足罗尔定理条件 至少 至少 f (x) (X1, X2)，使得 f ( 1)0 (X1,X2)，使得 f ( 2)0 2上满足罗尔定理条件 (

13、3) (2 (2 至少 X1,X3，使得 f (2 ) (21 分) 2 令 x=tgt,贝U dx=sec tdt 六、计算下列积分 1、 2 . 占亠sec t , 原式=2dt = tg t*sect cost dt = sin 2t d sin t sin 2t (3分) 1 ,1 +C=- si nt 2 x +C x (2分) 2、原式=1/21 ln x (1 x2)2d(1 X2) 1/2 In x* d1 =-lnx/(2+2x 2) +1/2 2 dx X(1 X ) =-1/2ln 宁 2 3、原式=1/2 arctgx * dx 2 =1/2x arxtgx-1/2 2

14、 x 1 x2 dx (2分) =1/2x 2arctgx 1/2 (1 T)dx(3 分) 1 x 2 =1/2x arctgx-1/2x+1/2arctgx+C (2 分) 共2页，第45页 x dt b f(t) (1分) 七、（8分） x (1) f(x)0,F(x)= a f (t)dt 共2页，第53页 F (x)=f(x)+ f(x) 1 2、f(x)f(x) (1分) F(x)0, F(x) 0至少只有一根 (1分) F (a)= b 屯 af(t) 単0 f(t) (1分) F(b)= a f水0 (1分) 所以F （x） =0至少有一根 (1分) 所以方程F（ X ） =0

15、有且仅有一根。 (1 分) 八、（8分） D=(- （等号仅在x=1取得） 2 2 2 Y =2x/(1+x)=(1-x) /(1 x )0 所以y=x-ln（1+x 2）在定义域内单调增加。 九、（8分） 如图选取坐标系，在坐标系中，三角形在X轴右侧腰所在直线的方程为 y xx八 + 匚=1 y b（1-）（2 分） b hh 设水的比重为r,则 2 x dp= rx 2y dx =2rb（x- ）dx （3 分） h p= ：2rb（x x2）dx （2 分） h rb h2 0 Y b| X / /X+dx h、 （1分） 23 心訓=3 十、（10分） 直线y y z x 0 。的点法

16、式方程为気 过点 P （1, -1, 1）而垂直干直线的平面为: y+1+z-1 （2分） （2分） x 0 y z 10 A x 0 y -,N 2 y z 0 1 即 y+z=0 该平面与直线的交点为: 1 1 （。，形）（1 分） 1 1 取PN的方向向量 S=PN =1, 2 2 or S=2,-1,1 设所求平面的法向量为n，贝V n k， n s， j k 0 1 1,2,0 1 1 （3分） (2分) 故所得平面为：x-1+2(y+1)=0.即 x+2y+1=0 课程名称高等数学试卷(X) 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 、选择题：(35 15

17、) 1、 f x dx A、f(x);B、f(x)+C; C、f (x) c 2、设f(x)在X。取得极值，则必有 A、f (x) 0 ；B、f (x)不存在； C、f (x)0或者f不存在。 3、f(x)在a, b上连续，则 a, b 上至少有一个 ，使得 A、f()=mO4； b a B、 )= f(x)dx b a b f(x)dx C、 f()= a b a 4、f(x)在X。处连续是f(x)在X。处可微分的 A、必要条件；E、充分条件; 5、x = 0 是 f(x) = x3 的 A 、驻点；E、极值点; C、充要条件。 C、拐点。 、填空题(3515) 1、曲线y2 = x 在P(

18、1 ,1)的切线方程为 2、y = tgx 在 0,4 上的平均值 y =. 3、f(x) = x -sinx 在 0, 上单调 ，曲线凸性是. 1 1 4 广义积分2dx敛散性是 1x2 2 3 5.曲线y x2, x 0,1之长s = 3 三、计算题(5840) 1.求极限 lim xtgx x 0 2.求极限 3.求y x2 lim笃 x x x e -的微分 x dyx 1 4.求摆线 x a(t sint) y a(1 切，所确定函数在t0 i相应点 xo 处的 y (xo). 5.计算不定积分 (excosex ln x )dx 6.计算不定积分 x 2 2 - x 2x -dx

19、5 7.计算不定积分 1 x I e dx 0 In xdx e 8.计算定积分1 e 四、证明题(9218 ) 1.利用函数单调性证明 x 0时, ln(1 x) 2.设 f(x) a.,a上连续，证明 (1) 若f(x)为奇函数，则 f(x)dx (2) 若f(x)为偶函数，则 f(x) a 0 f(x)dx. 五、综合题(12) 已知曲线y ex，求 (1).曲线y ex上过P(1,e)的切线方程； 上述切线与曲线及y轴所围成图形面积 A; (3).上述图形饶y轴旋转一周所得立体体积V. 课程名称高等数学试卷(X) 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 、选

20、择题(3515) 1.A2.C 二、填空题(3 3 .C 4 .A 15) 5 .A 1 .y-1 = 1 (x 1) 2 2 .出n 2 3 递增，下凸 4 .发散 二、计算题(5 、2(2 .2 3 40) 1) 1. lim Xtgx x 0 lim x 0 ln x 1 lim x 0 tgx e 2匸 sec x 2 x tg lim ( x 0 2 sin x 0. )e 1 x (5) 2. lim x 3. y dy x2 e 2 x 2x e 的微分 x 2x 3 2e x lim x 2xex2 2x dy |x1 c 2 2x 3x e 6 x dx (5) 2x (2x 3)e 4 x dx (3) dy |x 1=-e 2dx (2) dy 4. y(x)養 dt asint a(1 cost) si nt 1 cost (4)